基于有限-無(wú)限元法的CRTSⅢ板式無(wú)砟軌道系統(tǒng)動(dòng)力參數(shù)敏感度分析

李偉

（中鐵第一勘察設(shè)計(jì)院集團(tuán)有限公司，陜西 西安 710043）

基于有限-無(wú)限元法的CRTSⅢ板式無(wú)砟軌道系統(tǒng)動(dòng)力參數(shù)敏感度分析

李偉

（中鐵第一勘察設(shè)計(jì)院集團(tuán)有限公司，陜西 西安 710043）

CRTSⅢ型板式無(wú)砟軌道是具有完全自主知識(shí)產(chǎn)權(quán)的中國(guó)無(wú)砟軌道品牌，針對(duì)CRTSⅢ型板式無(wú)砟軌道車輛-軌道耦合系統(tǒng)動(dòng)力參數(shù)的確定與優(yōu)化問題，根據(jù)CRTSⅢ型板式無(wú)砟軌道系統(tǒng)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，運(yùn)用車輛-軌道耦合動(dòng)力學(xué)理論，采用時(shí)域動(dòng)力有限元方法，并引入無(wú)限單元法消除邊界效應(yīng)，建立CRTSⅢ型板式無(wú)砟軌道車輛-軌道耦合系統(tǒng)垂向振動(dòng)模型，并編制MATLAB計(jì)算程序，利用單因素敏感性分析法分析了結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)車輛-軌道系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)指標(biāo)的敏感度，從而可為CRTSⅢ型板式無(wú)砟軌道結(jié)構(gòu)動(dòng)力參數(shù)的確定與優(yōu)化提供理論支撐。

高速鐵路；無(wú)砟軌道；耦合動(dòng)力學(xué)；有限元；無(wú)限元

為了適應(yīng)我國(guó)高速鐵路“走出去”戰(zhàn)略，提升我國(guó)無(wú)砟軌道技術(shù)的創(chuàng)新水平,打造中國(guó)無(wú)砟軌道的自主品牌。為此，在總結(jié)我國(guó)既有無(wú)砟軌道研究與應(yīng)用經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，結(jié)合無(wú)砟軌道技術(shù)再創(chuàng)新成果，我國(guó)研發(fā)了具有完全自主知識(shí)產(chǎn)權(quán)的CRTSⅢ型板式無(wú)砟軌道。CRTSⅢ型板式無(wú)砟軌道是對(duì)既有無(wú)砟軌道結(jié)構(gòu)的優(yōu)化，創(chuàng)新之處主要包含：板式無(wú)砟軌道結(jié)構(gòu)的限位方式、板下采用自密實(shí)混凝土作為填充材料、提高了軌道彈性以及完善了設(shè)計(jì)理論體系等。CRTSⅢ型板式無(wú)砟軌道已在成灌鐵路成功鋪設(shè)，迄今運(yùn)營(yíng)狀態(tài)良好，另武漢城市圈城軌鐵路已確定采用CRTSⅢ型板式無(wú)砟軌道，同時(shí)盤營(yíng)客專、沈丹客專鐵路也準(zhǔn)備采用。

CRTS III型板式無(wú)砟軌道仍然主要由鋼軌、扣件系統(tǒng)、軌道板、板下填充層及混凝土底座板等組成，其設(shè)計(jì)理論原則是“路基縱連、橋隧單元、方便維修”。路基上CRTSIII型板式無(wú)砟軌道采用的是一種柔性的縱連結(jié)構(gòu)，增強(qiáng)軌道結(jié)構(gòu)的整體性，當(dāng)存在溫度梯度時(shí)，柔性縱連軌道結(jié)構(gòu)縱向具有一定自由伸縮能力；橋隧段單元板結(jié)構(gòu)又能很好規(guī)避連續(xù)結(jié)構(gòu)受溫度力造成的不利影響。CRTS III型板式無(wú)砟軌道采用自密實(shí)混凝土作為填充調(diào)整層，其與軌道板粘結(jié)形成牢固的復(fù)合結(jié)構(gòu)，軌道板與混凝土底座板間不再有薄弱的夾層。另外，CRTSIII型板式無(wú)砟軌道采用了“緩沖隔離層”技術(shù)，為日后實(shí)現(xiàn)方便維修創(chuàng)造了必要的條件。

隨著無(wú)砟軌道的發(fā)展，國(guó)內(nèi)外對(duì)無(wú)砟軌道結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)車輛動(dòng)荷載作用下的動(dòng)力響應(yīng)的影響進(jìn)行了大量研究[1-4]，但是對(duì)于CRTSⅢ型板式無(wú)砟軌道在車輛與軌道耦合作用下車輛-軌道系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)的研究并不多見。因而本文根據(jù)CRTSⅢ型板式無(wú)砟軌道系統(tǒng)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，運(yùn)用車輛-軌道耦合動(dòng)力學(xué)理論[1]，采用有限元及無(wú)限元方法，建立CRTSⅢ型板式無(wú)砟軌道車輛-軌道耦合系統(tǒng)動(dòng)力分析模型，編制MATLAB計(jì)算程序，并對(duì)CRTSⅢ型板式無(wú)砟軌道系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)的影響進(jìn)行計(jì)算分析，從而可為CRTSⅢ型板式無(wú)砟軌道結(jié)構(gòu)動(dòng)力參數(shù)的確定與優(yōu)化提供理論支撐。

1 CRTSⅢ型板式無(wú)砟軌道車輛-軌道耦合系統(tǒng)動(dòng)力分析模型

1.1 車輛系統(tǒng)方程的建立

將車輛系統(tǒng)假設(shè)為具有二系懸掛的多剛體系統(tǒng)，僅考慮單節(jié)車輛模型共有10個(gè)自由度[1，5，6，7]。單節(jié)高速車輛以速度v運(yùn)行，其車輛系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程為：

式中：MV，[CV]和[KV]分別為單節(jié)列車車輛系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣及剛度矩陣分別為車輛的位移、速度和加速度向量；{QV（t）}為輪軌力荷載向量。上式中各變量的表達(dá)式分別為式（2～6），其中[CV]和[KV]的表達(dá)式參考文獻(xiàn)[8]，此處限于篇幅不贅述。

1.2 軌道系統(tǒng)方程的建立

用有限元法建立車輛－無(wú)砟軌道耦合系統(tǒng)豎向振動(dòng)模型時(shí)，將鋼軌視為離散黏彈性點(diǎn)支承二維Euler梁?jiǎn)卧猍5-7]，扣件和軌下墊板采用2節(jié)點(diǎn)彈簧-阻尼單元模擬，預(yù)制軌道板離散為連續(xù)黏彈性支承的二維Euler梁?jiǎn)卧?，預(yù)制軌道板下自密實(shí)混凝土采用連續(xù)地基彈簧模擬，水硬性混凝土支承層離散為連續(xù)黏彈性支承的二維Euler梁?jiǎn)卧?，混凝土支承層下路基亦采用連續(xù)地基彈簧模擬，進(jìn)而建立軌道系統(tǒng)三層疊合梁模型，見圖1。

圖1 軌道系統(tǒng)三層疊合梁模型Fig.1 Three-layer laminated beam model of track system

鋼軌、軌道板及底座板等采用2節(jié)點(diǎn)僅考慮節(jié)點(diǎn)豎向和轉(zhuǎn)角兩個(gè)自由度的Euler梁?jiǎn)卧瑔卧L(zhǎng)度取為離散支承點(diǎn)的間距l(xiāng)，即鋼軌扣件間距。梁?jiǎn)卧灰菩魏瘮?shù)采用Hermite 3次插值函數(shù)，梁?jiǎn)卧|(zhì)量矩陣Me、剛度矩陣Ke分別為：

鋼軌、軌道板及底座板等的邊界采用無(wú)限梁?jiǎn)卧M以消除邊界效應(yīng)，以鋼軌邊界無(wú)限梁?jiǎn)卧獮槔?jiǎn)要說(shuō)明其原理。由于振動(dòng)計(jì)算中鋼軌僅取有限長(zhǎng)度，截取后鋼軌邊界對(duì)計(jì)算結(jié)果有一定影響，在鋼軌兩端各加一3節(jié)點(diǎn)無(wú)限映射梁?jiǎn)卧?，可明顯縮短鋼軌的長(zhǎng)度以消除邊界效應(yīng)，并提高模型計(jì)算效率。鋼軌無(wú)限梁?jiǎn)卧膯卧|(zhì)量矩陣及由支承彈性產(chǎn)生的單元?jiǎng)偠染仃嚭妥枘峋仃嚪謩e為：

式中：meq，ceq，keq分別為連續(xù)彈性支承軌道的等效分布質(zhì)量、鋼軌支承分布阻尼及分布彈性系數(shù)。引入坐標(biāo)變換，轉(zhuǎn)換矩陣：

式中：[J]為坐標(biāo)變換的雅克比矩陣的行列式。另由無(wú)限長(zhǎng)梁彎曲產(chǎn)生的單元?jiǎng)偠染仃嚍椋?/p>

無(wú)限梁?jiǎn)卧膯卧獎(jiǎng)偠染仃嚍閇k1]與[k2]之和，鋼軌無(wú)限梁?jiǎn)卧膯卧獎(jiǎng)偠染仃嚕?/p>

將軌道系統(tǒng)有限單元相應(yīng)的單元質(zhì)量矩陣、剛度矩陣及阻尼矩陣，按照“對(duì)號(hào)入座”法組集成系統(tǒng)總體剛度矩陣、總體質(zhì)量矩陣、總體阻尼矩陣，并通過將假設(shè)的初始輪軌力按照等效荷載節(jié)點(diǎn)力分配而形成初始總體荷載向量，從而得到軌道系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)控制方程：

式中：[M]、[C]、[K]分別為軌道系統(tǒng)總體的質(zhì)量、阻尼、剛度矩陣，{P}為廣義載荷向量；{q}為廣義位移向量為廣義速度向量，為廣義加速度向量。

1.3 車輛-軌道耦合相互作用的模擬

車輛運(yùn)動(dòng)方程(1)與下部軌道系統(tǒng)振動(dòng)方程(13)不是完全獨(dú)立的，而是通過輪軌接觸關(guān)系互相耦合的，輪軌間Hertz非線性接觸輪軌力pj（t）為：

式中：δZ，Zwj（x，t）-[zr（xpj，t）+zr0（xpj，t）]，輪軌接觸常數(shù)G=3.86 R-0.115×10-8m·N-2/3（磨耗型踏面車輪）；Zwj（x，t）為t時(shí)刻第j位輪對(duì)的垂向位移；zr（xpj，t）為t時(shí)刻第j位輪對(duì)下鋼軌的垂向位移；zr0（xpj，t）為t時(shí)刻第j位輪對(duì)下軌道的不平順。

1.4 軌道不平順的模擬

中國(guó)高速鐵路無(wú)砟軌道不平順譜采用冪函數(shù)分段擬合，各波長(zhǎng)區(qū)段的軌道譜均采用同一表達(dá)式[8]：

式中：S（f）的單位為mm2/(1/m)；f是空間頻率，1/m；A和n是擬合系數(shù)。表1為我國(guó)典型高速鐵路無(wú)砟軌道不平順的平均譜擬合系數(shù)，其中包括4段不同的擬合系數(shù)，各分段點(diǎn)的空間頻率和對(duì)應(yīng)波長(zhǎng)如表2所示，它們適用于300～350 km/h的無(wú)砟線路。

表1 高低不平順譜擬合系數(shù)Tab.1 Fitting coefficient of high and low uneven spectrum

表2 分段點(diǎn)空間頻率及對(duì)應(yīng)波長(zhǎng)Tab.2 The spatial frequency of the segmentation point and the corresponding wavelength

軌道隨機(jī)不平順常采用功率譜密度函數(shù)表示，然而在車輛-軌道耦合垂向振動(dòng)模型中，耦合系統(tǒng)激勵(lì)一般采用時(shí)域輸入方式，以便數(shù)值求解，因此需要根據(jù)無(wú)砟軌道高低不平順譜密度函數(shù)轉(zhuǎn)化為隨里程變化的軌道高低不平順空間樣本（相應(yīng)轉(zhuǎn)化為時(shí)域樣本）。

現(xiàn)軌道不平順常用的數(shù)值模擬方法主要有：二次濾波法、三角級(jí)數(shù)法、白噪聲濾波法和逆傅氏變換法等[1]。事實(shí)上，軌道不平順功率譜是對(duì)時(shí)域采樣信號(hào)通過周期圖法估計(jì)而獲得的，其計(jì)算核心是快速傅立葉變換。逆傅氏變換法基于功率譜快速數(shù)值算法原理，在計(jì)算方法上采用了傅氏逆變換，使隨機(jī)樣本的模擬速度較三角級(jí)數(shù)法有大幅度的提高。逆傅氏變換法通用性強(qiáng)，數(shù)據(jù)處理速度快，精度較高，因此本文中運(yùn)用逆傅氏變換法進(jìn)行數(shù)值模擬，以便快速準(zhǔn)確的得到結(jié)果，即首先根據(jù)軌道高低不平順功率譜求出高低頻譜的幅值和隨機(jī)相位，而后通過傅里葉逆變換得到軌道高低不平順的空間域（時(shí)域）樣本。

已有的軌道不平順功率譜均是空間域譜，應(yīng)先將其轉(zhuǎn)化成時(shí)域頻譜，再在時(shí)域功率譜密度函數(shù)上離散采樣，構(gòu)造出頻譜X（k），然后再對(duì)其進(jìn)行傅立葉逆變換，即可得到模擬不平順的時(shí)域激擾函數(shù)x（k）。利用逆傅氏變換法模擬的中國(guó)高速鐵路無(wú)砟軌道高低不平順時(shí)程曲線見圖2。

圖2 模擬的無(wú)砟軌道高低不平順時(shí)程曲線Fig.2 High and low irregularity time curve of ballas tless track

2 CRTSⅢ型板式無(wú)砟軌道車輛-軌道垂向耦合振動(dòng)模型的求解

車輛系統(tǒng)和軌道結(jié)構(gòu)的振動(dòng)方程不是完全獨(dú)立的，而是通過輪軌接觸力互相耦合的，故運(yùn)用迭代法對(duì)兩系統(tǒng)方程分別交叉求解。動(dòng)力學(xué)方程的求解利用Newmark-β數(shù)值積分法[5～6]。

起始時(shí)間步在車輛初始位置做重力平衡迭代計(jì)算后，在后續(xù)每一時(shí)間步需更新車輛沿軌道運(yùn)動(dòng)的位置，各時(shí)步首次迭代時(shí)，假設(shè)軌道結(jié)構(gòu)初始位移為上一時(shí)步計(jì)算結(jié)果，從而利用輪軌接觸點(diǎn)的鋼軌位移與新位置點(diǎn)的軌面不平順值，按照Hertz非線性接觸公式求得輪軌力，進(jìn)而將輪軌力代入車輛系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程以計(jì)算車輛系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)；利用計(jì)算所得輪對(duì)位移更新輪軌力，進(jìn)而代入軌道系統(tǒng)求解軌道結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)。車體運(yùn)動(dòng)時(shí)步計(jì)算中每一時(shí)步中迭代計(jì)算以前后兩次迭代步求得的軌道系統(tǒng)位移之差滿足所定義的收斂容差，則認(rèn)為收斂性得到滿足，而轉(zhuǎn)入下一時(shí)步計(jì)算，直至所有時(shí)步計(jì)算完畢。車輛-軌道系統(tǒng)耦合方程的交叉迭代求解流程見圖3。

圖3 模型求解流程Fig.3 Model solving process

3 模型計(jì)算參數(shù)與計(jì)算結(jié)果

利用本文模型仿真計(jì)算了CRH3型車輛以300 km/h速度通過CRTSⅢ型板式無(wú)砟軌道時(shí)車輛-軌道耦合系統(tǒng)的動(dòng)力響應(yīng)。車輛-軌道垂向耦合振動(dòng)模型計(jì)算參數(shù)見表3。

表3 模型計(jì)算參數(shù)Tab.3 Model calculation parameters

提取本文模型仿真計(jì)算結(jié)果的時(shí)程曲線，車體加速度時(shí)程曲線見圖4，垂向輪軌力時(shí)程曲線見圖5，鋼軌及道床板垂向位移時(shí)程曲線見圖6。

圖4 車體加速度時(shí)程曲線Fig.4 Time curve of body acceleration

圖5 垂向輪軌力時(shí)程曲線Fig.5 Time curve of vertical wheel force

鋼軌加速度時(shí)程曲線見圖7、道床板垂向加速度時(shí)程曲線見圖8。

參數(shù)敏感性分析是將其他因素保持在基準(zhǔn)值，來(lái)考察單項(xiàng)影響因素對(duì)主體指標(biāo)產(chǎn)生的影響。假設(shè)車輛-軌道耦合系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)P及它的n個(gè)因素，可以表示為P=f（x1，x2，x3，…，xn）。假定一個(gè)基準(zhǔn)狀態(tài)P*= f（x1*，x2*，x3*，…，xn*），分別令每單個(gè)因素在基準(zhǔn)狀態(tài)上下浮動(dòng)，計(jì)算單一因素的變動(dòng)對(duì)P的影響程度。定義敏感度[9]：

圖6 鋼軌及道床板垂向位移時(shí)程曲線Fig.6 Time curve of rail and track bed vertical displacement

不同于CRTSⅠ型、CRTSⅡ型板式無(wú)砟軌道[10]，CRTS III型板式無(wú)砟軌道采用自密實(shí)混凝土作為填充調(diào)整層。為確定CRTS III型板式無(wú)砟軌道結(jié)構(gòu)的合理參數(shù)，現(xiàn)分析自密實(shí)混凝土彈性模量、支承層彈性模量和路基支承剛度對(duì)車輛-軌道耦合系統(tǒng)鋼軌動(dòng)位移最大值、輪軌力最大值、車體加速度最大值等動(dòng)力響應(yīng)指標(biāo)的敏感度。采用單因素敏感性分析法，敏感性分析中，計(jì)算基準(zhǔn)狀態(tài)自密實(shí)混凝土彈性模量、支承層彈性模量和路基支承剛度的取值組合為（20 GPa，25 GPa，90 MN/m），每次在基準(zhǔn)狀態(tài)的基礎(chǔ)上只變動(dòng)自密實(shí)混凝土彈性模量、支承層彈性模量其中一個(gè)因素，而保持另一因素不變，分析結(jié)果見表4與表5。

表4 自密實(shí)混凝土彈性模量的敏感度計(jì)算Tab.4 Sensitivity calculation of elastic modulus of self-compacting concrete

表5 支承層彈性模量的敏感度計(jì)算Tab.5 Sensitivity calculation of elastic modulus of support layer

圖7 鋼軌加速度時(shí)程曲線Fig.7 Time curve of rail acceleration

圖8 道床板垂向加速度時(shí)程曲線Fig.8 Time curve of vertical acceleration of the bed plate

表6 路基支承剛度的敏感度計(jì)算Tab.6 Sensitivity calculation of subgrade support stiffness

由表4和表5可知，隨著自密實(shí)混凝土彈性模量、支承層彈性模量的提高及路基支承剛度的提高，鋼軌動(dòng)位移最大值減小，但輪軌力最大值與車體加速度最大值均增大；自密實(shí)混凝土彈性模量比支承層彈性模量對(duì)鋼軌動(dòng)位移最大值、輪軌力最大值和車體加速度最大值的影響程度大；但除了鋼軌動(dòng)位移最大值受路基支承剛度與自密實(shí)混凝土彈性模量的影響稍大外，且路基支承剛度比自密實(shí)混凝土彈性模量對(duì)鋼軌動(dòng)位移的影響程度大，而輪軌力最大值與車體加速度最大值對(duì)自密實(shí)混凝土彈性模量、支承層彈性模量與路基支承剛度的變化不很敏感，尤其是車體加速度最大值的變化不大。

4 結(jié)語(yǔ)

根據(jù)CRTSⅢ型板式無(wú)砟軌道系統(tǒng)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，運(yùn)用車輛-軌道耦合動(dòng)力學(xué)理論，采用時(shí)域動(dòng)力有限元方法，并引入無(wú)限單元法消除邊界效應(yīng)，建立CRTSⅢ型板式無(wú)砟軌道車輛-軌道耦合系統(tǒng)垂向動(dòng)力分析模型，進(jìn)而利用單因素敏感性分析法分析了結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)車輛-軌道系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)指標(biāo)的敏感度，并得到如下結(jié)論：

1）隨著自密實(shí)混凝土彈性模量、支承層彈性模量的提高及路基支承剛度的提高，鋼軌動(dòng)位移最大值減小，但輪軌力最大值與車體加速度最大值均增大；

2）自密實(shí)混凝土彈性模量比支承層彈性模量對(duì)鋼軌動(dòng)位移最大值、輪軌力最大值和車體加速度最大值的影響程度大；

3）除了鋼軌動(dòng)位移最大值受自密實(shí)混凝土彈性模量的影響稍大外，輪軌力最大值與車體加速度最大值對(duì)自密實(shí)混凝土彈性模量、支承層彈性模量與路基支承剛度的變化不很敏感，尤其是車體加速度最大值的變化不大。

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Sensitivity Analysis of Dynamic Parameters for CRTSⅢSlab Ballastless Track System Based on Finite-infinite Element Method

Li Wei
（China Railway First Survey&Design Institute Group Co.，Ltd.，Xi’an 710043，China）

The CRTS III slab ballastless track is China's self-brand ballastless track with independent intellectual property rights.Focusing on the dynamic parameter determination and optimization problem of CRTS III slab ballastless track system and based on the structure characteristics of CRTS III slab ballastless track system,this study established a vertical vibration analytical model for CRTS III slab ballastless vehicle-track coupling system by applying vehicle-track coupled dynamics theory，time-domain dynamic finite element method and the infinite element method to eliminate boundary effect.Then the MATLAB program was compiled and the sensitivity of structural parameters to the dynamic response of vehicle-track system was analyzed by single factor sensitivity analysis method，which may provide theoretical support for the determination and optimization of dynamic parameters of CRTS III type ballastless track.

high-speed railway；ballastless track；coupled dynamics；finite element；infinite element

U211

A

1005-0523（2017）03-0027-07

（責(zé)任編輯 王建華）

2017－03－27

李偉（1982—）男，工程師，研究方向?yàn)殍F道工程。