開放學(xué)習(xí)時空，促進(jìn)學(xué)生形成自己的理解

郭桂麗

摘要：如何精心地設(shè)計(jì)我們的教學(xué)，去建構(gòu)一種適合概念生成的教學(xué)策略，讓學(xué)生能在概念的發(fā)生、發(fā)展和同化過程中，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)，運(yùn)用數(shù)學(xué)，形成數(shù)學(xué)的理解力呢？本文通過“方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)”課例，探討如何緊扣概念教學(xué)過程中的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)，聚焦概念教學(xué)設(shè)計(jì)，探索學(xué)生形成數(shù)學(xué)概念理解的有效方法。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué)；教師；學(xué)生

中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1992-7711（2017）03-0111

如何精心地設(shè)計(jì)我們的教學(xué)，去建構(gòu)一種適合概念生成的教學(xué)策略，讓學(xué)生能在概念的發(fā)生、發(fā)展和同化過程中，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)，運(yùn)用數(shù)學(xué)，形成數(shù)學(xué)的理解力呢？本文通過“方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)”課例，探討如何緊扣概念教學(xué)過程中的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)，聚焦概念教學(xué)設(shè)計(jì)，探索學(xué)生形成數(shù)學(xué)概念理解的有效方法。

一、立足起點(diǎn)處的“切入點(diǎn)”，誘發(fā)理解動機(jī)

學(xué)習(xí)者的數(shù)學(xué)概念學(xué)得怎樣，首先是其領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的“起點(diǎn)”是否堅(jiān)實(shí)。起點(diǎn)的確定，全憑教師對學(xué)生、對教材的細(xì)致“解讀”，及借助于對數(shù)學(xué)教學(xué)規(guī)律的感悟與把握，通過有效情境最大限度地降低學(xué)生的理解難度，減緩學(xué)生的思維坡度，誘發(fā)學(xué)生主動、積極思考。

【案例片斷1】函數(shù)“零點(diǎn)”概念的引入

師：橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同。從兩個不同的角度看，或觀察重點(diǎn)不同，得出了不同的結(jié)果。類似y=x-1，說出對不同角度的思考結(jié)果？

生：一次函數(shù)，圖像是一條直線。

師：不錯，從函數(shù)、圖像看的確如此，那么，我們還可以將它看成什么，又可得出什么？令y=0，得x=1，問“1”怎樣理解？……

【評析】從習(xí)得者的視角切入，營造概念認(rèn)知的氛圍，在學(xué)生認(rèn)知的“原有發(fā)生區(qū)”與“最近發(fā)展區(qū)”的過渡處設(shè)問，學(xué)生思維易激活，能盡快融入課堂活動中。

二、立足生成處的“生長點(diǎn)”，夯實(shí)理解基礎(chǔ)

對新數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)，有些可以直接用下定義的方式，有的卻不行，如本課的“零點(diǎn)”，定義雖簡單，卻包含著重要的數(shù)學(xué)思想。所以，概念的習(xí)得需要一個過程，經(jīng)歷數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)概念的誕生與交融，也即學(xué)生原認(rèn)知結(jié)構(gòu)，需在不斷的問題解決與認(rèn)知中，不斷同化、發(fā)展和完善。教學(xué)設(shè)計(jì)就須為此營造出適合學(xué)生基礎(chǔ)、激活學(xué)習(xí)興趣、具有一定思維力度的氛圍，立足于概念生成處，做好細(xì)致的思維鋪墊工作。

【案例片斷2】函數(shù)“零點(diǎn)”概念的形成

師：通過解方程x2-2x-3=0，易知它的根為-1和3，那么，它對相應(yīng)的二次函數(shù)y=x2-2x-3的圖像有何作用？（即從“形”上看），從數(shù)的角度看，是什么？課本中，還將它稱為函數(shù)的什么？

生：方程的根，也稱之函數(shù)的零點(diǎn)。其實(shí)就是二次函數(shù)的圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。

師：是的，同是一個“數(shù)”，它在不同的背景下，我們有了不同的認(rèn)識，你能簡單地將它們“串連”起來嗎？用誰來“判定”它們的不同情況？

生：我感覺用“根→交點(diǎn)→橫坐標(biāo)→零點(diǎn)”將它們“串連”起來比較適合……

生：用方程的“判別式”來區(qū)別最好。若Δ<0，方程無解，則二次函數(shù)的圖像與x軸沒有交點(diǎn)，也就無所謂交點(diǎn)，也就沒有了“橫坐標(biāo)”，自然也就沒有了“零點(diǎn)”。

師：大家認(rèn)同他的說法嗎？若Δ>0，Δ=0呢？剛才大家說的，可推廣到“一般”情況，得出：二次函數(shù)的圖像、二次方程的根與二次函數(shù)的零點(diǎn)之間的“等價(jià)”關(guān)系說法，請以表格的形式揭示（見下表）。

【評析】

零點(diǎn)知識是陳述性知識，關(guān)鍵不在于向?qū)W生提出這個概念，而是理解提出零點(diǎn)概念的產(chǎn)生過程與含義作用，始終抓住“數(shù)與形”兩個角度詮釋零點(diǎn)的意義，特別是在“等價(jià)關(guān)系”的應(yīng)用上，使學(xué)生對函數(shù)零點(diǎn)概念本質(zhì)的理解更透些。

三、立足關(guān)鍵詞的“突破點(diǎn)”，形成自己的理解

學(xué)之道在于“悟”，在與理解，課堂教學(xué)如果進(jìn)一步為學(xué)生營造一個展示的舞臺，這無疑對概念形成自己的理解提供一個機(jī)不可失的機(jī)會，這不僅對當(dāng)堂的概念有更深入的理解，同時對學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)帶來潛移默化的影響。

【案例片斷3】函數(shù)“零點(diǎn)”存在性定理的探究

師：任意函數(shù)都有零點(diǎn)嗎？請舉例說明，你能說明什么條件下，函數(shù)零點(diǎn)存在嗎？

展示學(xué)生所畫的函數(shù)圖像（①反比例函數(shù)圖1；②二次函數(shù)（圖2-圖4）；③一次函數(shù)圖5）

師：能很清晰地看到函數(shù)圖像與x軸有無交點(diǎn)，即函數(shù)有無零點(diǎn)，但是若不給你圖，你覺得還有什么方法可以判斷函數(shù)有無零點(diǎn)呢？

師：觀察交點(diǎn)是怎么來的？是函數(shù)圖像穿過x軸得到的。這是幾何特征，那么能從數(shù)量上來描述特征嗎？函數(shù)圖像穿過x軸，穿過零點(diǎn)所在位置的一小段，我們不妨圈出一個小區(qū)間為[a，b]，零點(diǎn)設(shè)為c，（教師在圖5上示范）?？紤]函數(shù)值在a，c上的符號和c，b上的符號有什么特點(diǎn)？或者說在這些圖像上圈圈看，看看函數(shù)值滿足什么條件時，函數(shù)有零點(diǎn)？

（學(xué)生在自己畫的圖像上嘗試）

生1：零點(diǎn)附近的函數(shù)值異號。

生2：他說的不完全是，相對圖3，在零點(diǎn)的左右各取一個數(shù)，組成區(qū)間（a，b），則f（a）·f（b）>0。

生1：圖3有兩個零點(diǎn)，應(yīng)該一個一個看，比如左邊的零點(diǎn)的所在的區(qū)間（a，d），函數(shù)值異號。

師：現(xiàn)在我們發(fā)現(xiàn)可以是異號，也可以是同號，那你覺得哪個更靠譜？

生3：我在圖2上取區(qū)間（a，b），此時f（a）·f（b）>0，但函數(shù)沒有零點(diǎn)，所以我覺得用f（a）·f（b）<0用來判斷更靠譜。

生4：我覺得當(dāng)f（a）·f（b）>0時，函數(shù)在區(qū)間（a，b）可能有零點(diǎn)，可能沒有。而當(dāng)f（a）·f（b）<0時函數(shù)肯定有零點(diǎn)。

師：生4說得很好，除此外圖像本身有什么要求？

生5：圖像要連續(xù)不斷。以圖1為例，取區(qū)間（a，b），f（a）·f（b）<0，則函數(shù)沒有零點(diǎn)。

師：由此說明要使函數(shù)零點(diǎn)存在，則必須滿足什么條件？

生6：函數(shù)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷，并且有f（a）·f（b）<0，函數(shù)存在零點(diǎn)。

師：滿足定理?xiàng)l件的零點(diǎn)唯一嗎？為什么？增加什么條件零點(diǎn)是唯一的？

生7：不唯一。如圖6，我可以畫很多個零點(diǎn)，函數(shù)在區(qū)間（a，b）單調(diào)遞增或單調(diào)遞減時，零點(diǎn)唯一。

【評析】

學(xué)生思考問題時充滿個性化，面對同一問題都有自己的理解，都有自己的思考視角，教師要把思維空間讓給學(xué)生，讓學(xué)生形成對概念自己的理解。

四、立足成功處的“回歸點(diǎn)”，促進(jìn)深入理解

運(yùn)用概念解決問題有助于加深學(xué)生對概念的理解和鞏固，使概念的理解更具生成性，也有效地促進(jìn)學(xué)生發(fā)展遷移的能力。

【案例片斷4】函數(shù)“零點(diǎn)”知識的應(yīng)用

師：請看方程lnx+2x-6=0，怎么判斷是否有解？

生1：令y=lnx+2x-6，看函數(shù)y=lnx+2x-6是否有零點(diǎn)。

師：你可以想到用什么方法來判斷函數(shù)的零點(diǎn)？（生說用定理），那么如何確定零點(diǎn)所在的區(qū)間？

生2：取值試試，比如取x=1，y=-4<0；y=ln2-2<0，x=3；y=ln3>0；x=5，y=ln5+4>0；……我發(fā)現(xiàn)后面繼續(xù)取值，對應(yīng)的函數(shù)值都為正，我覺得零點(diǎn)的區(qū)間應(yīng)該在（2，3）之間。

師：對生2估算，大家感覺有效果嗎？為什么？這與問題的特點(diǎn)有何關(guān)系？

生3：應(yīng)該可以，它的做法符合“存在性定理”，因?yàn)椤爸粏柺欠裼薪?，沒問多少呀”，肯定可以。

生4：其實(shí)只能有一個。因?yàn)楹瘮?shù)y=lnx是單調(diào)遞增的，函數(shù)也是單調(diào)遞增的，由復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)，整個函數(shù)應(yīng)該單調(diào)遞增，所以它只能“穿過”軸一次。

師：有點(diǎn)意思，不僅知道存在，還知道有只有一個，那么，能知道這個根的具體值是多少嗎？大家想想。

生5：不能，最多能估計(jì)更精確一點(diǎn)，比如再取得小一點(diǎn)，算算看。

師：是的，為什么叫“存在性定理”，大家知道其真實(shí)含義了吧?。ㄉ酝＃┏送猓€有什么方法判斷函數(shù)只有一個零點(diǎn)？

生6：用函數(shù)單調(diào)性的定義法證明。

生7：把2x-6移到等號另一端，觀察函數(shù)y=lnx和函數(shù)y=-2x+6的圖像，發(fā)現(xiàn)兩個函數(shù)只有一個交點(diǎn)，因此方程只有一個根。

師：那么這個零點(diǎn)大約多少？

生8：繼續(xù)取值估計(jì)一下.我再取2.5試一試，估計(jì)是負(fù)的，那再取2.25……

【評析】

放手讓學(xué)生自己用估算思想去探索零點(diǎn)區(qū)間，并引導(dǎo)學(xué)生嘗試用多種方法去探索零點(diǎn)的個數(shù)，在這一過程中不僅回顧零點(diǎn)的本質(zhì)含義，同時“身臨其境”去找零點(diǎn)的區(qū)間、個數(shù)，與下節(jié)二分法求方程的近似解的思想一脈相承。

創(chuàng)設(shè)學(xué)生自主參與發(fā)展的學(xué)習(xí)環(huán)境，創(chuàng)設(shè)學(xué)生形成自己的理解的學(xué)習(xí)過程，以學(xué)生為本，通過學(xué)生自己實(shí)質(zhì)性的思維活動，才能讓學(xué)生對概念形成自己的理解，過程因探究而精彩，知識因理解而生動。

參考文獻(xiàn)：

[1] 朱漫麗.基于理解的數(shù)學(xué)教學(xué)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2012（2）.

[2] 渠東劍.提高數(shù)學(xué)內(nèi)容的理解力[J].數(shù)學(xué)教學(xué)，2009（3）.

（作者單位：浙江省溫嶺市松門中學(xué) 317500）