基于分形與圖形學的自然條件下沙丘植被模擬

劉 蕓，張 燕

(遼寧石油化工大學 計算機與通信工程學院，遼寧 撫順 113001)

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基于分形與圖形學的自然條件下沙丘植被模擬

劉 蕓，張 燕

(遼寧石油化工大學 計算機與通信工程學院，遼寧 撫順 113001)

自然條件下的沙丘形狀多變，自然條件惡劣的沙丘地帶其賴以生存的植被常常呈現(xiàn)出不同狀態(tài)。利用計算機圖形學和分形幾何技術(shù)模擬沙丘及植被的生長狀況。通過函數(shù)迭代系統(tǒng)實現(xiàn)單棵樹木及樹林的形態(tài)模擬，對枝干進行加粗處理模擬樹木在沙丘中的生長狀況。采用追蹤仿射變換點的方法對著色樹木的樹葉顏色進行劃分，實現(xiàn)樹木顏色季節(jié)性的變化。利用計算機圖形學方法繪制花朵，采用隨機函數(shù)對樹木中的部分點用花朵替換，模擬繁花點點的林木。利用正弦曲線不同相位的組合繪制沙丘，與樹木結(jié)合實現(xiàn)沙丘植被場景模擬，通過加入外力影響因子模擬自然條件下沙丘迎風坡上的自然形態(tài)。最后增加沙丘密度及擴大樹木覆蓋面積生成局部樹林場景的模擬。

迭代函數(shù)系統(tǒng)； 樹木模擬； 沙丘模擬； 圖形學

與傳統(tǒng)計算機圖形學相比，分形幾何在描述自然景物方面具有非常大的優(yōu)勢。自然界中存在著大量的不規(guī)則事物，用傳統(tǒng)的歐式幾何是難以進行有效描繪的，而分形幾何則是以不規(guī)則物體為研究對象的幾何學，可以對云、山、樹木和水等自然景物進行逼真模擬。分形描述自然景物有迭代函數(shù)系統(tǒng)、L-系統(tǒng)、粒子系統(tǒng)等方法。迭代函數(shù)系統(tǒng)(Iterated Function System，IFS)是繪制分形圖形的重要方法之一[1]，主要通過仿射坐標轉(zhuǎn)換來生成幾何系統(tǒng)，利用幾何對象的整體和局部細節(jié)在仿射變換的意義下具有自相似結(jié)構(gòu)的特性對分形圖形進行模擬。目前已經(jīng)利用IFS實現(xiàn)了很多的植物分形模擬，文獻[2]利用IFS方法生成荷葉葉脈，用三次參數(shù)樣條曲線繪制葉邊緣輪廓，實現(xiàn)了荷葉的逼真模擬；文獻[3]利用IFS和隨機迭代方法實現(xiàn)樹木模擬；文獻[4]探究了樹木著色方法以及光照狀態(tài)下的樹影繪制方法；文獻[5-6]在IFS基礎(chǔ)上加入風力影響因子從而實現(xiàn)風中搖曳的樹木模擬。以上研究都是基于IFS對單棵植物的模擬，本文采用文獻[4]及文獻[5-6]的方法實現(xiàn)單棵樹木繪制，并對花朵以及沙丘進行的模擬融入到IFS算法當中，完成沙丘上樹木以及帶花樹木的豐富場景模擬。

1 IFS模型及樹木造型

1.1 IFS模型

IFS的主要思想是注重幾何對象的整體形態(tài)，并認定幾何對象的總體結(jié)構(gòu)與局部細節(jié)在仿射變換意義下，具有自相似性，即通過仿射變換將原有圖形變換到局部生成該圖形的縮小版復(fù)制品，這一過程可以迭代地進行下去，直到得到滿意的圖形。而產(chǎn)生復(fù)制品的過程相當于對原圖形做一次壓縮仿射變換，描述自然景物的關(guān)鍵是找到合適的壓縮因子從而描繪出相應(yīng)的圖形。一個二維的IFS由兩部分組成：(1)壓縮仿射變換集合{w1，w2，…，wn}；(2)概率集合{P1，P2，…，Pn}。仿射變換的數(shù)學表達式為：

(1)

式中，w表示仿射變換；(x，y)表示仿射變換前的坐標點；(x′，y′)表示經(jīng)過仿射變換后的坐標點；a、b、c，d、e、f表示仿射變換系數(shù)，a、b、c、d根據(jù)其取值的不同可以是旋轉(zhuǎn)變換、仿射變換、比例變換及錯切變換其中一種或這些變換的組合，e，f用來確定平移變換。仿射變換也可以用矩陣式(2)表示：

(2)

式中，A表示2×2矩陣，t表示列向量。

隨機迭代算法中的概率Pi可以近似由式(3)表示：

i=1,2,…,N

(3)

式中，Pi>0，且P1+P2+…+PN=1。

然而并不是所有的仿射變換都可以用于迭代函數(shù)系統(tǒng)，它必須是收縮的，即為壓縮仿射變換[7-10]。

1.2 樹木造型

IFS是確定性算法和隨機性算法相結(jié)合的一種方法，利用IFS方法生成分形圖形的步驟如下：

(1)確定仿射變換wi。

(2)確定概率Pi。

(3)按照相應(yīng)的概率，隨機地從仿射變換集中選擇一個仿射變換wi作為迭代規(guī)則迭代一次，不斷重復(fù)此迭代過程，產(chǎn)生的極限圖形就是所要繪制的分形圖形。

IFS碼是迭代函數(shù)系統(tǒng)的關(guān)鍵部分。IFS碼的獲取通常是通過拼貼方法實現(xiàn)的。對樹木模擬的拼貼圖形如圖1所示。根據(jù)拼貼圖形計算得出的一般樹木的IFS碼如表1所示，其中w1和w2區(qū)域表示枝干，w3、w4、w5和w6區(qū)域表示樹葉，根據(jù)式(3)利用仿射變換系數(shù)計算得出各個仿射變換相對應(yīng)的概率近似值為P1=P2≈0.1，P3=P4=P5=P6≈0.2，然后通過rand( )函數(shù)產(chǎn)生隨機數(shù)確定所利用的仿射變換并進行計算得出變換后的坐標點，并用SetPixel函數(shù)畫出坐標點實現(xiàn)IFS的單棵樹木模擬。生成的一般樹木模擬圖形如圖2所示。由于沙丘缺乏水分且風沙較大，所以沙丘中的樹木較一般的樹木枝干粗，粗枝干可以更多地儲存水分抵擋風沙。為了繪制出更適合沙丘特點的樹木，對樹木枝干進行加粗處理，將控制枝干的仿射變換w1和w2的系數(shù)進行細微調(diào)整，調(diào)整結(jié)果適合沙丘特點樹木的IFS碼如表2所示，最終實現(xiàn)適合沙丘特點的樹木模擬圖形如圖3所示。

圖1 對樹木模擬的拼貼圖形

表1 一般樹木的IFS碼

圖2 一般樹木模擬圖形

表2 適合沙丘特點樹木的IFS碼

圖3 適合沙丘特點的樹木模擬圖形

2 樹木顏色及形態(tài)變化模擬

2.1 樹木著色及隨季節(jié)變化的模擬

對IFS樹木進行著色可以直接通過對坐標點設(shè)置顏色來實現(xiàn)。設(shè)置變量k，用k=1，2，…，6分別表示仿射變換區(qū)域w1，w2，…，w6。根據(jù)不同的k值，利用SetPixel函數(shù)對坐標點賦予不同的顏色，如圖4中用原始著色方案生成的樹木。將落到w1、w2區(qū)域的點設(shè)置為棕色代表樹干，將落到w3、w4、w5和w6區(qū)域的點分別設(shè)置為淺藍、深藍、粉色和綠色。根據(jù)這種方法可以將樹干著上棕色樹葉著上綠色，即w1和w2區(qū)域著上棕色，w3、w4、w5和w6區(qū)域著上綠色。上述方法使樹木旁支的小枝干上也著上了綠色，顯示的樹木效果生硬不逼真。優(yōu)化后的樹木著色方案，著色時不僅要考慮當前的仿射變換點，還要跟蹤前3個仿射變換點，只要其中有1個點是依據(jù)原始樹干的仿射變換系數(shù)得到的，該點就著以棕色，否則著以綠色。優(yōu)化后的樹木著色算法流程如圖5所示。

圖4 原始著色方案生成的樹木

圖5 優(yōu)化后的樹木著色算法流程

優(yōu)化后著色方案生成的樹木如圖6所示?；谏鲜龇椒ㄟ€可以對追蹤點進行層次性的劃分，對所追蹤3個點中的1個或2個點進行判斷，對w3、w4、w5和w6區(qū)域進行仿射變換計算，依據(jù)得到的結(jié)果為當前點設(shè)置不同的顏色，使樹葉的顏色呈現(xiàn)出層次的變化，更加貼近生活中五彩繽紛的樹木顏色。夏季到秋季樹葉顏色變化模擬結(jié)果如圖7所示。

(a)夏初(b)夏末(c)秋初(d)秋末

圖7 夏季到秋季樹葉顏色變化模擬結(jié)果

2.2 外力因素影響樹木形態(tài)的模擬

現(xiàn)實生活中樹木的形態(tài)常常因外力的影響而變化。為了豐富樹木形態(tài)模擬，在仿射變換中加入風力影響因子的參數(shù)變量，來模擬自然環(huán)境中隨風搖曳的樹木。首先將仿射變換寫為極坐標的形式如下：

其中,r1和r2分別為x坐標和y坐標的伸縮因子，θ1為x軸旋轉(zhuǎn)角，θ2為y軸旋轉(zhuǎn)角。將原有IFS碼中的a、b、c和d改為r1、r2、θ1和θ2，而e、f和概率P保持不變。由于樹木各個部分受風力的影響程度不同，故加入的變量值也應(yīng)是不同的。設(shè)風力參數(shù)變量為wind，w1和w2區(qū)域受力為0，w3和w4區(qū)域受力為風力參數(shù)變量wind設(shè)置值的25%，w5和w6區(qū)域受力為wind。將參數(shù)θ1和θ2中加入受力情況可以實現(xiàn)搖曳樹木的模擬。wind取值不同時風中搖曳樹木模擬如圖8所示。

(a) wind=14 (b) wind=21 (c) wind=28

圖8 wind取值不同時風中搖曳樹木模擬

3 帶花朵的樹木模擬

3.1 花朵模擬

花朵的繪制是通過正弦余弦函數(shù)變換實現(xiàn)的。設(shè)置花朵半徑r，以及坐標點(x，y)。相關(guān)參數(shù)為:

r=d[1+1/128sin(6×i)][1+sin(3×i)]

其中,參數(shù)d用來控制花朵的大小，1/128用來改變半徑變化幅度，6與3用來改變變化周期。通過橫坐標x=rcos(0.6×i+PI/60)和縱坐標y=rsin(0.6×i+PI/60)來設(shè)置連線坐標x軸及y軸的變化，使其呈周期性變化。其中0.6用來改變控制周期，PI/60用來改變初始位置。帶花樹木模擬結(jié)果如圖9所示。當d=8時，圖9(a)表示用LineTo函數(shù)繪制的五瓣花朵樹木模擬圖案[11]。圖9(b)表示改變控制周期的參數(shù)0.6為0.5得到的六瓣花朵樹木模擬圖案。

3.2 帶花朵的樹木模擬

一般基于IFS算法的樹木模擬圖案都是由仿射變換計算出的坐標點所描繪的，模擬的圖案能形象地描繪出樹木的形態(tài)及顏色。但是想要描繪出帶有花朵和果實的圖案卻有一定的難度。本文對IFS算法進行一定的改進，將一部分坐標點用圖形學生成的花朵或果實圖案代替，使IFS算法與計算機圖形學的內(nèi)容結(jié)合，生成更加豐富的圖案。通過觀察自然界中帶有花朵的樹木可知，有些花朵生長在小枝干的邊緣，這里就可以將靠近小枝干的坐標點用花朵圖案的函數(shù)代替，從而實現(xiàn)想要的結(jié)果。貼近小枝干的坐標點選取可以由條件z[3]==0或者z[3]==1來實現(xiàn)，這些坐標點是初始枝干經(jīng)過仿射變換計算得來的最末端點。但是因為這類坐標點的數(shù)目過多，如果將這些點全部用花朵代替，生成的花朵數(shù)量過多并且疊加在一起，效果不好。所以添加了隨機函數(shù)，即從這些點中隨機選取一些點生成花朵，最終使結(jié)果更自然一些。

(a) 五瓣花朵樹木模擬

(b) 六瓣花朵樹木模擬

4 沙丘植被場景合成與效果

沙丘模擬圖案可以通過Bezier曲面和B-spline曲面來實現(xiàn)[12]。為了方便與IFS模擬的樹木進行結(jié)合，本文采用正弦曲線的不同相位組合來實現(xiàn)。正弦曲線是通過CDC類SetPixel函數(shù)的描點方式來繪制圖形，使用C語言庫函數(shù)sin計算得出橫坐標x對應(yīng)的縱坐標y的值，根據(jù)坐標值使用LineTo函數(shù)進行繪制。

將沙丘模擬圖案與IFS的模擬樹木結(jié)合在一起，可以模擬在自然界中沙丘上樹木的景象。將沙丘模擬圖案與樹木模擬圖案結(jié)合需要改變樹木的大小、數(shù)量及單棵樹木迭代次數(shù)等，這樣可以使最終得到的結(jié)果更加逼真。本文將樹木大小縮小至原來的10%，樹木的迭代次數(shù)減少到原來的1%，添加循環(huán)生成兩排間距相等的樹木，并確定初始位置使樹木剛好種植在沙丘的一個坡面，結(jié)果如圖10所示。在樹木模擬圖案中添加風力影響因子，模擬沙丘迎風坡上樹木被風吹動的效果場景，結(jié)果如圖11所示。將模擬沙丘曲線之間的距離由2縮小到1可以增加沙丘的密度，調(diào)整樹木間的距離增加樹木棵數(shù)及擴大樹木覆蓋面積形成小樹林，結(jié)果如圖12所示。

圖10 沙丘上的樹木模擬

圖11 沙丘迎風坡上的樹木模擬

圖12 增加樹木密度的沙丘上小樹林模擬

5 結(jié) 論

IFS算法作為分形理論的一個分支，在植物形態(tài)模擬方面有著很強的優(yōu)勢，尤其是對自然界中不規(guī)則的樹木的模擬。用IFS算法實現(xiàn)的樹木模擬圖形生動而形象。本文通過著色方法對樹木實現(xiàn)著色，使樹葉顏色呈現(xiàn)出層次變化模擬樹木隨季節(jié)變化的效果。為了使IFS算法模擬的圖形更加豐富，利用圖形學的方法生成了沙丘和花朵圖案，并將其融入到IFS算法當中，使得到的圖案達到理想效果，實現(xiàn)了更加豐富的植物場景模擬。

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(編輯 陳 雷)

Simulation of Dune Vegetation under Natural Conditions Based on Fractal and Graphics

Liu Yun，Zhang Yan

(SchoolofComputerandCommunicationEngineering，LiaoningShihuaUniversity，F(xiàn)ushunLiaoning113001，China)

Under the natural conditions，the shape of sand dunes is varied and the natural conditions of the sand dunes are very poor，and the vegetation on which they live depends is often on different states. The computer graphics and fractal geometry were used to simulate the growth of dune and vegetation. Through the function iteration system,it can achieve a single tree and forest of the morphological simulation,and also simulation the trees in the dune growth by bolding the branches. The color of trees is divided by the method of tracing the affine transformation points to achieve the color of trees changing with the season. Using computer graphics to draw flowers and the random function to replace some of the points on the trees for flowers，little flower of trees was simulated. Using the combination of different phases of the sine curve the dune is drawn and then the dune vegetation scene is simulated by combining with the trees. The external factors are used to simulate the natural shape of the dune windward slope under natural conditions. Finally,by increasing the density of dune and the number of trees to expand the area of trees the local forest scene simulation is generated.

Iterated function system； Tree simulation； Sand dune simulation； Graphics

1672-6952(2017)03-0058-06 投稿網(wǎng)址：http://journal.lnpu.edu.cn

2016-12-29

2017-02-03

遼寧省高等學校優(yōu)秀科技人才支持計劃項目(LR2013015)。

劉蕓(1991-)，女，碩士研究生，從事圖形圖像方面的研究；E-mail:332320361@qq.com。

張燕(1968-)，女，博士，教授，從事產(chǎn)品信息建模、虛擬現(xiàn)實技術(shù)方面的研究；E-mail:976802661@qq.com。

TP391.9

A

10.3969/j.issn.1672-6952.2017.03.013