碳纖維增強復(fù)合材料加固中心孔鋼板綜合優(yōu)化

伍希志 程軍圣

1.中南林業(yè)科技大學(xué)交通運輸與物流學(xué)院，長沙,4100822.湖南大學(xué)汽車車身先進設(shè)計制造國家重點實驗室，長沙,410082

?

碳纖維增強復(fù)合材料加固中心孔鋼板綜合優(yōu)化

伍希志1程軍圣2

1.中南林業(yè)科技大學(xué)交通運輸與物流學(xué)院，長沙,4100822.湖南大學(xué)汽車車身先進設(shè)計制造國家重點實驗室，長沙,410082

采用多級優(yōu)化方法對碳纖維增強復(fù)合材料加固中心孔鋼板進行優(yōu)化設(shè)計，首先，采用拉丁超立方方法選取試驗樣本點，利用移動最小二乘法擬合近似代理模型，在代理模型基礎(chǔ)上采用自適應(yīng)響應(yīng)面優(yōu)化方法優(yōu)化基本鋪層厚度；然后，結(jié)合復(fù)合材料制造約束條件，利用Optistruct對鋪層順序進行優(yōu)化，得到最佳鋪層設(shè)計方案。經(jīng)過多級優(yōu)化設(shè)計后，鋼板中心孔處應(yīng)力分布更合理，最大Mises應(yīng)力減小了56.6%。

碳纖維增強復(fù)合材料；拉丁超立方；移動最小二乘法；自適應(yīng)響應(yīng)面；鋪層順序優(yōu)化

0 引言

碳纖維增強復(fù)合材料(carbon fiber reinforced polymer,CFRP)具有比強度和比剛度高、可設(shè)計性好、防腐蝕等優(yōu)點，在裂紋結(jié)構(gòu)修復(fù)中已得到廣泛研究和應(yīng)用[1-4]。伍希志等[5]采用止裂孔和CFRP加固聯(lián)合方法修復(fù)裂紋鋼板，不僅減小了缺口鋼板的名義應(yīng)力，而且降低了疲勞缺口敏感度，使得疲勞壽命比缺口鋼板疲勞壽命提高292倍。對于簡單單向拉伸裂紋鋼板的修復(fù)，復(fù)合材料鋪層設(shè)計比較容易確定，而實際結(jié)構(gòu)中鋼板的受力方向是多向的，對于受力復(fù)雜的裂紋鋼板的修復(fù)，復(fù)合材料層合板的鋪層設(shè)計非常復(fù)雜。目前國內(nèi)外已有學(xué)者對復(fù)合材料鋪層優(yōu)化進行了研究，如修英姝等[6]、TUAN等[7]、NAN等[8]分別采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法確定復(fù)合材料層合板規(guī)定角度下的鋪層數(shù),并采用遺傳算法優(yōu)化這種鋪層結(jié)構(gòu)下的鋪層順序。唐文艷等[9]、ALMEIDA等[10]、金達鋒等[11]以臨界屈曲載荷最大為目標(biāo)，采用遺傳算法對復(fù)合材料層合板的鋪層順序進行了優(yōu)化設(shè)計。這些方法具有全局收斂、無需可微性等優(yōu)點，但在結(jié)構(gòu)優(yōu)化中需要迭代多次，每次迭代都需要調(diào)用有限元計算，使得優(yōu)化效率較低[12]。本文采用多級優(yōu)化方法對CFRP加固中心孔鋼板進行優(yōu)化設(shè)計：首先采用移動最小二乘法(moving least squares)擬合鋼板中心孔最大Mises應(yīng)力的近似代理模型，在代理模型基礎(chǔ)上采用自適應(yīng)響應(yīng)面優(yōu)化方法(adaptive response surface method,ARSM)優(yōu)化復(fù)合材料的基本鋪層厚度，優(yōu)化過程中不需要進行有限元計算，提高了優(yōu)化效率；然后利用Optistruct對鋪層順序進行優(yōu)化，得到最佳鋪層設(shè)計方案。

1 問題提出

由于復(fù)合材料層合板具有各向異性，即纖維方向的彈性模量和強度遠大于橫向的彈性模量和強度，因此在復(fù)合材料加固中心孔鋼板中，為了獲得更好的修復(fù)效果，需要對復(fù)合材料鋪層進行優(yōu)化設(shè)計，包括基本鋪層的鋪層厚度和鋪層順序。

基本鋪層的鋪層厚度優(yōu)化是以基本鋪層的鋪層厚度為設(shè)計變量，在滿足鋼板中心孔處最大Mises應(yīng)力σ0約束條件下使復(fù)合材料總厚度最小。設(shè)T={t1，t2，…，tn},ti(i=1,2,…,n)為基本鋪層i的鋪層厚度，則鋪層厚度優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型可表示為

(1)

式中，f(X)為鋼板中心孔處最大Mises應(yīng)力；t為復(fù)合材料總厚度;ai為單層最大厚度。

鋪層順序優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型可表示為

(2)式中，f(Y)為鋼板中心孔處最大Mises應(yīng)力；gi(Y)為鋪層約束條件；Y為各鋪層的排列；A為所有鋪層排列的集合。

2 優(yōu)化算法

針對CFRP加固中心孔鋼板的鋪層優(yōu)化問題，本文采用一種多級優(yōu)化方法來優(yōu)化鋪層厚度和鋪層順序，優(yōu)化流程如圖1所示，首先利用ABAQUS建立CFRP加固中心孔鋼板的有限元參數(shù)模型；然后依據(jù)拉丁超立方方法(Latin hpercube)設(shè)計參數(shù)樣本點，代入樣本參數(shù)進行有限元計算，根據(jù)樣本模型計算結(jié)果，利用移動最小二乘法進行響應(yīng)面擬合，得到鋼板中心孔處最大Mises應(yīng)力的代理模型,再在代理模型基礎(chǔ)上采用自適應(yīng)響應(yīng)面優(yōu)化方法對復(fù)合材料基本鋪層厚度進行優(yōu)化(一級優(yōu)化)，此時無需進行有限元計算便可得到最佳的鋪層厚度參數(shù)；最后結(jié)合復(fù)合材料制造約束條件，利用Optistruct對鋪層順序進行優(yōu)化(二級優(yōu)化)，得到最終鋪層設(shè)計方案。

圖1 多級優(yōu)化流程圖Fig.1 Multi-level optimization flow chart

2.1 移動最小二乘法

傳統(tǒng)的響應(yīng)面近似模型一般使用最小二乘法進行擬合，它是根據(jù)誤差平方和最小得到一個線性方程組，從而求解待定系數(shù)。最小二乘法擬合的計算過程比較簡單，但當(dāng)擬合復(fù)雜形狀的響應(yīng)面時，擬合精度比較差，而采用移動最小二乘法擬合就可以解決上述問題。

移動最小二乘擬合函數(shù)u(x)是由系數(shù)矢量a(x)和基函數(shù)P(x)構(gòu)成，同時它認為點x處的函數(shù)值u(x)只受x附近區(qū)域Ωx內(nèi)點的影響，Ωx外的點對u(x)沒有影響，這個區(qū)域Ωx稱為點x的影響域。在點x處的近似函數(shù)u(x)可以表示為[13]

(3)

PT(x)=(p1(x),p2(x),…,pm(x))

a(x)=(a1(x),a2(x),…,am(x))T

式中，PT(x)為基函數(shù)向量；m為基函數(shù)個數(shù)；a(x)為待定系數(shù)。

常用的二維空間中的二次基函數(shù)為

在移動最小二乘法擬合中，系數(shù)a(x)是通過在點x的鄰域Ωx內(nèi)的近似函數(shù)u(x)與函數(shù)值y(x)的誤差加權(quán)平方和最小來確定的，即

(4)

pj(xi)=0

(5)

其中，n為點x的鄰域Ωx內(nèi)包含的采樣點數(shù)，ω(xi)為節(jié)點xi的權(quán)函數(shù)，工程中常采樣高斯權(quán)函數(shù)，即

(6)

式中，r為影響域相對半徑大小;β為參數(shù)。

2.2 自適應(yīng)響應(yīng)面優(yōu)化法

自適應(yīng)響應(yīng)面優(yōu)化法(ARSM)的基本思想是先通過較少的樣本點構(gòu)造一階響應(yīng)面，確定優(yōu)化方向，然后在梯度方向以適當(dāng)步長獲取新設(shè)計點，并引入新設(shè)計點來重構(gòu)響應(yīng)面，這樣便可以比較準(zhǔn)確且快速地找到最優(yōu)點。

在自適應(yīng)響應(yīng)面法中，約束函數(shù)和目標(biāo)函數(shù)都可以用以下二階多項式進行擬合：

j=1，2,…，m+1

(7)

式中,aj0、aji、ajik為二次多項式系數(shù)。

具體優(yōu)化過程如下：

(1)計算初始點和擾動設(shè)計變量產(chǎn)生的n個設(shè)計點。

(2)利用最小二乘法計算目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)的多項式系數(shù)。如果設(shè)計點數(shù)為n+1，可以確定常數(shù)項和一次項系數(shù)；隨著設(shè)計點數(shù)增加，二次項系數(shù)逐漸確定；當(dāng)設(shè)計點數(shù)大于1+n+(n+1)·n/2時，可通過加權(quán)來計算二次項系數(shù)。

(3)利用數(shù)學(xué)規(guī)劃法對響應(yīng)面進行優(yōu)化求解，如果優(yōu)化迭代結(jié)果已經(jīng)收斂，則終止迭代；反之，返回步驟(2)繼續(xù)迭代計算。

2.3 鋪層順序優(yōu)化

由于復(fù)合材料鋪層順序?qū)?fù)合材料結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能和工藝性能存在重要影響，所以在復(fù)合材料優(yōu)化設(shè)計中，鋪層順序優(yōu)化是必不可少的環(huán)節(jié)。本文鋪層順序優(yōu)化采用Optistruct的composite shuffle 模塊。

從力學(xué)和工藝性能考慮，復(fù)合材料鋪層設(shè)計一般遵循以下原則[14]：①鋪層纖維軸向應(yīng)盡量與所受載荷方向一致，以便利用纖維軸向高強度和高剛度的特點；②同一方向鋪層連續(xù)鋪層數(shù)量不得大于4；③鋪層纖維方向通常為0°、90°和±45°；④為了避免樹脂直接承載，應(yīng)同時包含0°、90°和±45°四種鋪層。

3 優(yōu)化算例

3.1 建立有限元模型

CFRP加固中心孔鋼板的有限元模型如圖2所示，鋼板長450 mm、寬400 mm、厚3 mm，中心有直徑10 mm的圓孔，材料是304不銹鋼，屈服強度σs為310 MPa；在圓孔處單面粘貼總厚度為4 mm的CFRP，CFRP由0°、90°和±45°基本鋪層組成，每種基本鋪層厚度為1 mm，膠層厚度為0.3 mm。鋼板和CFRP采用四節(jié)點減縮積分四邊形殼單元S4R模擬，膠層采用八節(jié)點粘貼單元COH3D8模擬，總共單元數(shù)量為7866，節(jié)點數(shù)量為6671。邊界條件是約束鋼板四邊節(jié)點的三個移動自由度，在鋼板上施加均勻壓力載荷0.02 MPa。

圖2 CFRP加固中心孔鋼板的有限元模型Fig.2 Finite element model of CFRP reinforcing center hole steel plate

碳纖維布采用東麗公司生產(chǎn)的CUDP-H150/T700-E7型碳纖維布，其性能指標(biāo)列于表1。膠層材料采用西卡Sikadur-330樹脂，屬性詳見文獻[15]。

表1 試驗碳纖維布的性能

假定每個CFRP基本鋪層厚度為1 mm，鋪層纖維方向為±45°,基本鋪層必須相鄰，分析基本鋪層順序?qū)︿摪鍒A孔處最大Mises應(yīng)力的影響，結(jié)果如表2所示。從表2中可以發(fā)現(xiàn)，基本鋪層順序為±45°/0°/90°時，鋼板圓孔處最大Mises應(yīng)力最小，因此后續(xù)分析模型以±45°/0°/90°為基本鋪層順序。

表2 基本鋪層順序?qū)︿摪鍒A孔處最大Mises應(yīng)力的影響

3.2 建立響應(yīng)面近似模型

建立響應(yīng)面近似模型需要一系列具有代表性的仿真數(shù)據(jù)點，這些仿真數(shù)據(jù)點的分布會影響近似響應(yīng)面的擬合精度，因此需要合理地布置數(shù)據(jù)點。本文采用拉丁超立方(Latin hypercube)方法進行試驗設(shè)計，為近似響應(yīng)面模型提供初始數(shù)據(jù)點。設(shè)計變量為基本鋪層0°、90°和±45°的厚度(±45°的厚度相等)，近似函數(shù)為鋼板中心孔處最大Mises應(yīng)力，總共30個數(shù)據(jù)點，拉丁超立方生成的設(shè)計變量空間如圖3所示。

圖3 拉丁超立方生成的設(shè)計變量空間Fig.3 Design variable space generated by Latin hypercube

根據(jù)拉丁超立方試驗計算結(jié)果，利用移動最小二乘法擬合鋼板中心孔處最大Mises應(yīng)力的近似模型。移動最小二乘法的基函數(shù)為二次基函數(shù)，權(quán)函數(shù)為高斯權(quán)函數(shù)，擬合計算結(jié)果如圖4所示。從圖4可以看出，鋼板中心孔處最大Mises應(yīng)力的擬合值與仿真值非常吻合，各個數(shù)據(jù)點的相對誤差基本都小于1%，平均相對誤差為0.19%。

圖4 仿真值與擬合值對比Fig.4 Comparison of simulation and fitting value

移動最小二乘和傳統(tǒng)最小二乘擬合相對誤差對比如圖5所示，兩者采用相同的數(shù)據(jù)點，傳統(tǒng)最小二乘擬合為二次多項式。從圖5中可以看出，移動最小二乘擬合的相對誤差明顯比傳統(tǒng)最小二乘擬合誤差小，傳統(tǒng)最小二乘擬合的平均相對誤差為1.10%，而移動最小二乘擬合的平均相對誤差為0.2%。

圖5 移動最小二乘和傳統(tǒng)最小二乘擬合相對誤差對比Fig.5 Relative error comparison of moving least squares and traditional least-squares fitting

3.3 自適應(yīng)響應(yīng)面優(yōu)化

根據(jù)移動最小二乘法擬合的代理模型，采用自適應(yīng)響應(yīng)面法對復(fù)合材料基本鋪層厚度進行優(yōu)化設(shè)計，優(yōu)化迭代時不需要進行有限元計算。設(shè)計變量的設(shè)置如表3所示。以鋼板中心孔處最大Mises應(yīng)力小于70 MPa為約束條件，復(fù)合材料總厚度最小為優(yōu)化目標(biāo)進行優(yōu)化計算，經(jīng)過24步迭代，得到如表3所示優(yōu)化結(jié)果。從表3中可以看出，復(fù)合材料總厚度為4.395 mm，鋼板中心孔處最大Mises應(yīng)力為70.003 MPa，滿足約束條件。

表3 設(shè)計變量和響應(yīng)的初始值和優(yōu)化值

3.4 鋪層順序優(yōu)化

對于CFRP層合板，所有基本鋪層的單層厚度均相等，單層CFRP厚度為0.125 mm。根據(jù)第一步尺寸優(yōu)化結(jié)果，采用下面公式可以計算出第i個基本鋪層的鋪層層數(shù)：

Ni=8xi

(8)

由尺寸優(yōu)化結(jié)果和式(8)計算出的各基本鋪層的鋪層數(shù)量如表4所示。假設(shè)初始鋪層順序為[(45°/-45°)6/0°12/90°12]，采用Optistruct的composite shuffle 模塊進行優(yōu)化，以鋼板中心孔處最大Mises應(yīng)力最小為優(yōu)化目標(biāo)，設(shè)置制造約束條件為連續(xù)鋪層數(shù)量不大于4層，45°鋪層必須成對排列。經(jīng)過7步迭代后，最終優(yōu)化后的鋪層順序為：[(45°/-45°)4/0°2/(45°/-45°)2/0°4/90°2/0°2/90°4/0°2/90°4/0°2/90°2]。

表4 基本鋪層的鋪層數(shù)量

CFRP加固前后鋼板中心孔局部Mises應(yīng)力如圖6所示，從圖中可以看出，未經(jīng)CFRP加固的鋼板，中心孔處左右兩邊的Mises應(yīng)力比上下兩邊大，最大Mises應(yīng)力為157.7 MPa，位于中心孔的左右邊緣；CFRP加固后的鋼板，中心孔邊緣的Mises應(yīng)力基本相等，最大Mises應(yīng)力為68.50 MPa。

(a)加固前

(b)加固后圖6 CFRP加固前后鋼板中心孔局部Mises應(yīng)力Fig.6 Mises stress of before and after CFRP reinforcing center hole steel plate

因此，經(jīng)過CFRP加固優(yōu)化設(shè)計后，鋼板中心孔處應(yīng)力分布更合理，最大Mises應(yīng)力減小了56.6%。

4 結(jié)論

(1)采用多級優(yōu)化方法對CFRP加固中心孔鋼板進行了優(yōu)化設(shè)計。整個優(yōu)化過程僅需試驗設(shè)計和鋪層順序優(yōu)化時進行有限元計算，提高了優(yōu)化效率；優(yōu)化設(shè)計后鋼板中心孔處應(yīng)力分布更均勻，最大Mises應(yīng)力減小了56.6%。

(2)傳統(tǒng)最小二乘擬合法的平均相對誤差為1.10%，而移動最小二乘擬合法的平均相對誤差為0.2%，明顯比傳統(tǒng)最小二乘擬合法小。

[1] 鄭云，葉列平，岳清瑞，等. CFRP板加固含裂紋受拉鋼板的疲勞性能研究[J].工程力學(xué)，2007，24(6)：91-97. ZHENG Yun, YE Lieping, YUE Qingrui, et al. Study on Fatigue Behavior of Cracked Tensile Steel Plates Reinforced with CFRP Plates[J]. Engineering Mechanics,2007,24(6)：91-97.

[2] COLOMBI P，BASSETTI A，NUSSBAUMER A. Analysis of Cracked Steel Members Reinforced by Pre-stress Composite Patch[J]. Fatigue Fract. Eng. Mater. Struct.，2003,26:59-66.

[3] TIEN C, YU B, ZHAO X L. Mechanical Characterization of Steel/CFRP Double Strap Joints at Elevated Temperatures[J]. Composite Structures,2011,93(2):1604-1612.

[4] JONES S C，CIVJAN S A. Application of Fiber Reinforced Polymer Overlays to Extend Steel Fatigue Life[J]. Journal of Composites for Construction，2003,7(4):331-338.

[5] 伍希志，林彬，程軍圣. 裂紋鋼板的止裂孔與CFRP加固及其疲勞壽命預(yù)測研究[J]．天津大學(xué)學(xué)報，2016,35(4):637-648. WU Xizhi, LIN Bin, CHENG Junsheng. Study on Cracked Steel Plates Repaired by Stop Holes and CFRP and Fatigue Life Prediction[J]. Journal of Tianjin University,2016,35(4):637-648.

[6] 修英姝，崔德剛. 復(fù)合材料層合板穩(wěn)定性的鋪層優(yōu)化設(shè)計[J].工程力學(xué)，2005,22(6)：212-216. XIU Yingshu, CUI Degang. Ply Optimization Design for Stability of Composite Laminates[J]. Engineering Mechanics，2005,22(6)：212-216.

[7] TUAN L M. JAE H L. Stacking Sequense Optimization for Maximum Strengths of Laminated Composite Plates Using Genetic Algorithm and Isogeometric Analysis[J]. Composite Structures,2014,116:357-363.

[8] NAN C, WANG W, YANG W, et al. Ply Stacking Sequence Optimization of Composite Laminate by Permutation Discrete Particle Swarm Optimization [J]. Structural and Multidisciplinary Optimization,2010,41(2):179-187.

[9] 唐文艷, 顧元憲, 趙國忠. 復(fù)合材料層合板鋪層順序優(yōu)化遺傳算法[J]. 大連理工大學(xué)學(xué)報，2004，44(2):186-189. TANG Wenyan, GU Yuanxian, ZHAO Guozhong. Stacking Sequence Optimization of Composite Laminate Plates by Genetic Algorithm[J]. Journal of Dalian University of Technology，2004，44(2):186-189.

[10] ALMEIDA F S , AWRUCH A M. Design Optimization of Composite Laminated Structures Using Genetic Algorithms and Finite Element Analysis[J]. Composite Structures,2009,88(3):443-454.

[11] 金達鋒, 劉哲, 范志瑞. 基于遺傳算法的復(fù)合材料層合板削層結(jié)構(gòu)鋪層優(yōu)化[J].復(fù)合材料學(xué)報, 2015,32(1):236-242. JIN Dafeng, LIU Zhe, FAN Zhirui. Ply Optimization of Composite Laminate with Ply Drop Based on Genetic Algorithm[J]. Acta Materiae Compositae Sinica,2015,32(1):236-242.

[12] 張勇,李光耀,鐘志華.基于移動最小二乘響應(yīng)面方法的整車輕量化設(shè)計優(yōu)化[J].機械工程學(xué)報, 2008,44(11):192-196.

ZHANG Yong, LI Guangyao, ZHONG Zhihua. Design Optimation Lightweight of Full Vehicle Based on Moving Least Square Response Surface Method[J]. Journal of Mechanical Engineering,2008,44(11):192-196.

[13] 楊建軍, 鄭健龍. 移動最小二乘法的近似穩(wěn)定性[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報, 2012,35(4):637-648. YANG Jianjun, ZHENG Jianlong. Stability of Moving Least Squares Approximation[J]. Mathematicae Applicatae Sinica,2012,35(4):637-648.

[14] 中國航空航天研究院. 復(fù)合材料結(jié)構(gòu)設(shè)計手冊[M]. 北京: 航空工業(yè)出版社,2004. Chinese Aeronautics and Astronautics. Composite Material Structure Design Manual[M]. Beijing: Aviation Industry Press,2004.

[15] 伍希志，任會禮，鐘懿.基于粘聚力理論的CFRP加固鋼板剝離機理研究[J].固體力學(xué)學(xué)報，2015，36(6)：197-203. WU Xizhi, REN Huili, ZHONG Yi. Theoretical and Experimental Study on Debonding Mechanism of Steel Plate Strengthened with CFRP[J]. Chinese Journal of Solid Mechanics,2015,36(6)：197-203.

(編輯 王艷麗)

Optimization of Carbon Fiber Reinforced Polymer Reinforcing Center Hole Steel Plates

WU Xizhi1CHENG Junsheng2

1.College of Transportation and Logistics, Central South University of Forestry and Technology, Changsha,410082 2.Stake Key Laboratory of Aduanced Design and Manufacturing for Vehicle Body, Hunan University, Changsha,410082

A multi-stage optimization method was adopted for carbon fiber reinforced polymer reinforcing center hole steel plate. The method was divided into two steps: firstly, sample points were selected based on the Latin hypercube method, an agent model was fitted by the moving least square, and the thickness of basic laminate was optimized based on the adaptive response surface optimization method. Secondly, considering composite’s manufacturing constraints, the stacking sequence was optimized by use of Optistruct software to obtain optimum design. Through the multi-stage optimization design, the stress of center hole steel plate is distributed more reasonable, and the maximum Mises stress is reduced by 56.6%.

carbon fiber reinforced polymer; Latin hypercube; moving least square; adaptive response surface method; stacking sequence optimization

2016-06-23

國家高技術(shù)研究發(fā)展計劃(863計劃)資助項目(2013AA040203)；國家自然科學(xué)基金資助項目(51305045)；中國博士后科學(xué)基金資助項目(2014M562099)；智能型新能源汽車國家2011協(xié)同創(chuàng)新中心資助項目；湖南省綠色汽車2011協(xié)同創(chuàng)新中心資助項目

TB33

10.3969/j.issn.1004-132X.2017.11.008

伍希志，男,1985年生。中南林業(yè)科技大學(xué)機電學(xué)院講師。研究方向為結(jié)構(gòu)優(yōu)化、復(fù)合材料加固技術(shù)、機器人技術(shù)。發(fā)表論文7篇。E-mail:wuxizhi2006@126.com。程軍圣，男，1967年。湖南大學(xué)機械運載與車輛工程學(xué)院教授。