正態(tài)分布在計(jì)算反常積分中的典型應(yīng)用

李拴柱+王華

摘 要：本文對于一類特殊的無窮反常積分形如 給出了比較新穎的求解方法，合理的利用概率論中正態(tài)分布的知識，使這類問

題迎刃而解，并且解答過程簡潔明了，充分體現(xiàn)了反常積分求解方法的多用性.

關(guān)鍵詞：反常積分；計(jì)算方法；正態(tài)分布；期望.

反常積分的應(yīng)用非常廣泛，反常積分包括兩類：無窮積分和瑕積分.反常積分的定義是計(jì)算反常積分的基礎(chǔ)，定積分的計(jì)算方法一般也可以用到反常積分的計(jì)算中，但對于一些特殊問題，例如形如

這個就計(jì)算量就會很大，在這我們結(jié)合概率論中的正態(tài)分布和期望的概念給出了一個簡單明了的求解方法.

設(shè)X是隨機(jī)變量，其概率密度函數(shù)f（x），期望記為E（X）， Y=f（X）是X的隨機(jī)變量函數(shù)，則我們有下列結(jié)論

定義 .

性質(zhì)1

性質(zhì) 2

性質(zhì)3

定義2隨機(jī)變量 ，則 .

由上述概率論知識我們可以得到如下公式：

定理

為任意實(shí)數(shù)。

證明因?yàn)?，所以

. （1-1）

設(shè)連續(xù)性隨機(jī)變量 ，則它的概率密度為

所以（1-1）式可以寫為：

（1-2）

設(shè)連續(xù)性隨機(jī)變量Y 為X的函數(shù)，且

，由定義1及性質(zhì)1-3得

因?yàn)?所以 ，又由

，得

所以（1-2）式變?yōu)?.

即

. （1-3）

以上我們利用連續(xù)性隨機(jī)變量的正態(tài)分布特點(diǎn)，將一內(nèi)反常積分的計(jì)算轉(zhuǎn)化為計(jì)算一個隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望，經(jīng)過嚴(yán)格推導(dǎo)得到了這內(nèi)反常積分的計(jì)算公式（1-3）， 使得計(jì)算該類反常積分的難題得以解決.

例如 這個反常積分的計(jì)算我們一般是構(gòu)造二

元函數(shù)，利用二重積分去計(jì)算的，而我們現(xiàn)在套用這個公式的話相當(dāng)于

，從而帶入公式（1-3）得到結(jié)果就是 .從而簡化了計(jì)算過程.

參考文獻(xiàn)：

[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系，數(shù)學(xué)分析，北京：高等教育出版社， 2001

[2]裴禮文，數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法，北京：高等教育出版社， 2006

[3]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系，高等數(shù)學(xué)，北京：高等教育出版社，2014

[4]李賢平，概率論基礎(chǔ)，北京：高等教育出版社，2012

[5]盛驟等，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)，北京：高等教育出版社，2010