“折紙做60°，30°，15°的角”教學(xué)設(shè)計(jì)

王鑫

[摘 要] 數(shù)學(xué)活動(dòng)課在實(shí)際教學(xué)課堂中能培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手操作能力，發(fā)展學(xué)生的幾何直觀，加深學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合的理解. 運(yùn)用“活力課堂”教學(xué)模式，能培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)習(xí)慣和思維品質(zhì)，通過(guò)教學(xué)反思與評(píng)價(jià)，能達(dá)到教學(xué)相長(zhǎng).

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)活動(dòng)課；幾何直觀；教學(xué)模式

教材分析

本節(jié)課位于人教版義務(wù)教育教科書(shū)《數(shù)學(xué)》八年級(jí)下冊(cè)第十八章平行四邊形數(shù)學(xué)活動(dòng)1“折紙做60°，30°，15°的角”. 在此之前，教材已呈現(xiàn)折角平分線，折紙研究軸對(duì)稱(chēng)、全等等活動(dòng). 通過(guò)折紙，發(fā)展學(xué)生的幾何直觀，既是對(duì)學(xué)生之前所積累的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)活動(dòng)能力的鞏固和提升，也是為學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)幾何變換和幾何論證、進(jìn)一步強(qiáng)化動(dòng)手操作能力奠定基礎(chǔ). 在傳統(tǒng)教學(xué)中，本節(jié)數(shù)學(xué)活動(dòng)課往往被教師們所忽視甚至省略，難以呈現(xiàn)在課堂教學(xué)中，然而在課程標(biāo)準(zhǔn)中，“綜合與實(shí)踐”部分具有加深了解所學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，進(jìn)一步理解相關(guān)知識(shí)，發(fā)展應(yīng)用意識(shí)和能力的作用.

教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)技能 （1）能折出60°，30°，15°等特殊度數(shù)的角；（2）加深對(duì)前面所學(xué)的軸對(duì)稱(chēng)變換、全等的性質(zhì)、垂直平分線、三角形、矩形等知識(shí)的綜合應(yīng)用.

數(shù)學(xué)思考 通過(guò)折紙觀察，加深“數(shù)與形”的緊密結(jié)合，讓學(xué)生經(jīng)歷“觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明、綜合應(yīng)用”的過(guò)程，發(fā)展學(xué)生的幾何直觀與推理能力.

問(wèn)題解決 （1）學(xué)生從不同的角度分析問(wèn)題和解決問(wèn)題，發(fā)展創(chuàng)新意識(shí)；（2）提高學(xué)生的實(shí)踐能力，初步形成評(píng)價(jià)與反思的意識(shí).

情感態(tài)度 （1）積極參與數(shù)學(xué)活動(dòng)，激發(fā)學(xué)生的好奇心與求知欲；（2）感受數(shù)學(xué)活動(dòng)與實(shí)際生活的聯(lián)系，在活動(dòng)中獲取成功的體驗(yàn).

學(xué)情分析

有利因素 筆者所教班級(jí)的學(xué)生基礎(chǔ)好，思維活，學(xué)生已經(jīng)基本具備運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力.

不利因素 （1）操作和探究的經(jīng)驗(yàn)欠缺，歸納能力尚需提升；（2）從數(shù)學(xué)的幾何直觀到抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述轉(zhuǎn)化能力不夠強(qiáng)，嚴(yán)密的推理能力還有待進(jìn)一步提高.

重難點(diǎn)

重點(diǎn) 讓學(xué)生通過(guò)讀書(shū)學(xué)會(huì)折紙做特殊角.

難點(diǎn) 從幾何直觀折圖到抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述，用多種方法推理證明所折的角為30°角.

教法學(xué)法

本堂課通過(guò)筆者所在學(xué)?！盎盍φn堂”的教學(xué)模式，采用學(xué)生“動(dòng)手三讀”來(lái)獲取簡(jiǎn)單的知識(shí)結(jié)構(gòu)，再運(yùn)用“兩說(shuō)合作”來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)所學(xué)知識(shí)的完整理解，最后通過(guò)“三個(gè)追問(wèn)”來(lái)打開(kāi)學(xué)生思維的廣度和深度.

教學(xué)過(guò)程

（一）情境導(dǎo)入——感受數(shù)學(xué)與生活

教師活動(dòng) 折紙是一門(mén)藝術(shù)，動(dòng)物、花、船和人等都是折紙的創(chuàng)作題材，折的過(guò)程中會(huì)用到很多數(shù)學(xué)知識(shí)，比如如何折出特殊的角度，這就需要我們通過(guò)數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題，下面我們就來(lái)具體學(xué)習(xí)一下如何通過(guò)折紙折出特殊的角度.

教師提出問(wèn)題，并引發(fā)學(xué)生思考.

問(wèn)題1：在一張矩形紙片上，你怎么折出一個(gè)45°的角？

問(wèn)題2：用一張矩形紙片你還能折出哪些度數(shù)的角？

問(wèn)題3：具有倍數(shù)關(guān)系的60°，30°，15°的角，你能否用折紙的方法折出呢？怎樣折？

學(xué)生活動(dòng) 用矩形紙片動(dòng)手折紙，并回答問(wèn)題.

預(yù)設(shè) 把矩形紙片的90°角折疊成三等份，那么每一等份就是30°，由此，60°，15°也容易得到.

設(shè)計(jì)意圖 讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，感受折紙可以得到具有倍數(shù)關(guān)系的角. 問(wèn)題由淺入深，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)新舊知識(shí)的聯(lián)系，突出所學(xué)知識(shí)的整體性、系統(tǒng)性.

（二） 動(dòng)手三讀 ——自主學(xué)習(xí)新知識(shí)

教師活動(dòng) 設(shè)置教材中有關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本思想和方法等問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手三讀.

學(xué)生活動(dòng) 閱讀教材，動(dòng)手折紙，完成導(dǎo)學(xué)案上的問(wèn)題.

1. 對(duì)一張矩形紙片ABCD進(jìn)行折疊，具體操作如下：如圖1，第一步，______矩形紙片ABCD，使AD與______重合，得到折痕______，再把紙片展平；第二步，再一次折疊紙片，使點(diǎn)A落在______上，并使折痕經(jīng)過(guò)點(diǎn)______，得到折痕______，同時(shí)得到線段______.

2. 演示折疊過(guò)程，你能試試嗎？

3. 觀察并猜想∠ABM，∠MBN和∠NBC的大小關(guān)系：______________.

預(yù)設(shè) 準(zhǔn)確回答上述3道題.

設(shè)計(jì)意圖 問(wèn)題引領(lǐng)，以具體問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生帶著目的和興趣來(lái)閱讀，增強(qiáng)學(xué)生的積極性和主動(dòng)性，培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力.

（三）兩說(shuō)合作 ——自己解決新問(wèn)題

教師活動(dòng)1 提出問(wèn)題，引發(fā)思考：猜想出來(lái)的結(jié)論需要理論證明其正確性.

為什么∠ABM=∠MBN=∠NBC=30°？教師參與學(xué)生活動(dòng)，傾聽(tīng)并指導(dǎo)學(xué)生交流.

學(xué)生活動(dòng)1 學(xué)生先獨(dú)立思考，再進(jìn)行小組合作學(xué)習(xí)，最后用數(shù)學(xué)語(yǔ)言寫(xiě)出證明過(guò)程.

對(duì)一張矩形紙片ABCD進(jìn)行折疊，具體操作過(guò)程如下：

第一步，對(duì)折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，再把紙片展平.

第二步，再一次折疊紙片，使點(diǎn)A落在EF上，并使折痕經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，得到折痕BM，同時(shí)得到了線段BN.

求證：∠ABM=∠MBN=∠NBC=30°.

設(shè)計(jì)意圖 合作學(xué)習(xí)應(yīng)該為每個(gè)學(xué)生提供“學(xué)了以后馬上應(yīng)用、講給別人聽(tīng)”的機(jī)會(huì)（一說(shuō)），還應(yīng)該為更多學(xué)生提供對(duì)別人所說(shuō)的內(nèi)容進(jìn)行評(píng)價(jià)的機(jī)會(huì)（二說(shuō)），通過(guò)評(píng)價(jià)使合作學(xué)習(xí)成為一種比較學(xué)習(xí). 合作學(xué)習(xí)能培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)腦動(dòng)手動(dòng)口的能力，提高學(xué)習(xí)效率，能培養(yǎng)學(xué)生良好的合作品質(zhì)和學(xué)習(xí)習(xí)慣. 學(xué)生寫(xiě)出嚴(yán)密的推理過(guò)程，還能培養(yǎng)其推理證明的邏輯思維能力.

教師活動(dòng)2 對(duì)學(xué)生代表的表現(xiàn)進(jìn)行總評(píng)，總結(jié)解題要點(diǎn)，對(duì)本課的知識(shí)要點(diǎn)進(jìn)行總結(jié).

學(xué)生活動(dòng)2 各組選派代表進(jìn)行全班交流，其他組的同學(xué)也可以發(fā)表見(jiàn)解.

預(yù)設(shè) （方法1）如圖2，連接AN，由折疊可知EF垂直平分線段AB，所以AN=BN. 由折疊知AB=BN，所以AN=BN=AB. 所以△ABN是等邊三角形. 所以∠ABN=60°. 由折疊知△ABM≌△NBM，所以∠ABM=∠NBM=30°. 所以∠NBC=90°-∠ABN=90°-60°=30°. 所以∠ABM=∠MBN=∠NBC=30°.

設(shè)計(jì)意圖 把課堂真正還給學(xué)生. 在同學(xué)講解的過(guò)程中，發(fā)表自己的意見(jiàn)，虛心向他人請(qǐng)教，使合作學(xué)習(xí)成為一種比較學(xué)習(xí)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)正確地評(píng)價(jià)自己和他人，讓班級(jí)形成民主和諧的合作氛圍，有利于學(xué)習(xí)的順利發(fā)展. 教師要總結(jié)解題要點(diǎn)，發(fā)展學(xué)生的歸納總結(jié)能力.

（四）三個(gè)追問(wèn)——進(jìn)行深層探索

教師活動(dòng) 提出問(wèn)題，引發(fā)思考.

追問(wèn)1 用矩形紙片ABCD折出30°的角，還有其他方法嗎？

學(xué)生活動(dòng) 動(dòng)手折紙，學(xué)生代表上臺(tái)展示新的折疊方法.

設(shè)計(jì)意圖 讓學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)認(rèn)識(shí)更為清晰，能對(duì)知識(shí)間的聯(lián)系融會(huì)貫通，體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的靈活性. 問(wèn)題引導(dǎo)，不斷追問(wèn)當(dāng)前認(rèn)識(shí)的問(wèn)題還能不能從別的角度去認(rèn)識(shí)，還有沒(méi)有別的方法可以解決，追問(wèn)更多新角度，打開(kāi)學(xué)生思維的深度、廣度和創(chuàng)新度，形成良好的思維品質(zhì)，讓學(xué)生逐步形成一種新的思維方式和習(xí)慣.

追問(wèn)2 用矩形紙片ABCD怎么折出60°的角？

追問(wèn)3 用矩形紙片ABCD怎么折出15°的角？

設(shè)計(jì)意圖 呼應(yīng)課題，從而完成教學(xué)目標(biāo).

（五）總結(jié)測(cè)評(píng)——共享學(xué)習(xí)快樂(lè)

（1）用矩形紙片折疊能折出哪些度數(shù)的角？__________________

（2）用矩形紙片折30°角的方法的共同之處是__________________.

（3）數(shù)學(xué)活動(dòng)是經(jīng)歷設(shè)計(jì)并解決具體問(wèn)題的方案，同時(shí)加以實(shí)施，體驗(yàn)建立模型、解決問(wèn)題的過(guò)程，并在此過(guò)程中嘗試發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題，會(huì)參與活動(dòng)的全過(guò)程，同時(shí)進(jìn)行交流，進(jìn)一步獲得數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

教師活動(dòng) 引導(dǎo)學(xué)生從所學(xué)知識(shí)、方法、獲得的數(shù)學(xué)思想進(jìn)行自我總結(jié)，并展示中考題供學(xué)生欣賞.

中考鏈接 1. 如圖7，將正方形對(duì)折后展開(kāi)（圖④是連續(xù)兩次對(duì)折后再展開(kāi)），再按圖示方法折疊，能夠得到一個(gè)直角三角形，且它的一條直角邊等于斜邊的一半. 這樣的圖形有（ ）

A. 4個(gè) B. 3個(gè)

C. 2個(gè) D. 1個(gè)

2. 對(duì)一張矩形紙片ABCD進(jìn)行折疊，具體操作如下：

第一步，先對(duì)折，使AD與BC重合，得到折痕MN，展開(kāi)；

第二步，再一次折疊，使點(diǎn)A落在MN上的點(diǎn)A′處，并使折痕經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，得到折痕BE，同時(shí)，得到線段BA′，EA′，展開(kāi)，如圖8；

第三步，再沿EA′所在的直線折疊，點(diǎn)B落在AD上的點(diǎn)B′處，得到折痕EF，同時(shí)得到線段B′F，展開(kāi)，如圖9.

（1）證明：∠ABE=30°；

（2）證明：四邊形BFB′E為菱形.

學(xué)生活動(dòng) 完成導(dǎo)學(xué)案，自我總結(jié)當(dāng)堂課的收獲.

設(shè)計(jì)意圖 知識(shí)、方法、數(shù)學(xué)思想的總結(jié)，能充分發(fā)揮學(xué)生的自我總結(jié)能力，并突出重點(diǎn)，抓住關(guān)鍵. 課程標(biāo)準(zhǔn)中對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)課的要求是，能擴(kuò)大學(xué)生的視野，調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性、主動(dòng)性，能讓學(xué)生體驗(yàn)到成功的喜悅. 中考鏈接能讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)折紙活動(dòng)在中考中的地位，并將其布置成課后作業(yè)，讓學(xué)生獨(dú)立思考，不斷追求新知，通過(guò)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析，創(chuàng)造性地解決問(wèn)題.

（六）教學(xué)評(píng)價(jià)

筆者以“情境導(dǎo)入——?jiǎng)邮秩x——兩說(shuō)合作——三個(gè)追問(wèn)”為主線，讓每位學(xué)生在自主探索和合作交流的過(guò)程中真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能、數(shù)學(xué)思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn). 回顧這節(jié)課，成功之處主要有如下幾點(diǎn).

1. 情境引入巧妙. 一開(kāi)始讓學(xué)生欣賞折紙花，繼而欣賞折紙藝術(shù)的圖片，從而把學(xué)生的思緒帶進(jìn)特定的學(xué)習(xí)情境中，激發(fā)了學(xué)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣和強(qiáng)烈的求知欲.

2. 扶放把握適度. 折紙做60°，30°，15°的角是本課重點(diǎn)，教師課前深鉆教材，課中引導(dǎo)得當(dāng)、扶放適度，使每位學(xué)生都有最大的收獲.

3. 體現(xiàn)課改精神. 通過(guò)填空抓住關(guān)鍵詞，實(shí)現(xiàn)全體同學(xué)參與，再通過(guò)同學(xué)間的相互提問(wèn)、答疑，人人掌握證明方法；通過(guò)全班交流，體會(huì)證明方法的多樣性，提升思維廣度. 教師適時(shí)點(diǎn)撥方法，提煉方法關(guān)鍵詞，為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)提供幫助，真正做到“學(xué)生是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主人，教師是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者和合作者”.

本節(jié)課設(shè)計(jì)的理念是：以面向每個(gè)學(xué)生、服務(wù)每個(gè)學(xué)生為原則，讓人人動(dòng)手，讓每位學(xué)生在不同層次上得到發(fā)展. 具體來(lái)說(shuō)，本節(jié)活動(dòng)課體現(xiàn)了一個(gè)“探”字，落實(shí)了一個(gè)“動(dòng)”字，突出了一個(gè)“趣”字，提倡了一個(gè)“放”字，讓學(xué)生自主探究問(wèn)題，在活動(dòng)中動(dòng)腦、動(dòng)手、動(dòng)口，培養(yǎng)學(xué)生的合作交流意識(shí)，發(fā)展想象能力、創(chuàng)新能力.