基于改進(jìn)型有限控制集模型預(yù)測的永磁電機(jī)直接轉(zhuǎn)矩控制

陳令榮，李 強(qiáng)，儲(chǔ)建華

（1．江蘇省徐州技師學(xué)院，徐州221151；2．東南大學(xué)，南京210096）

0 引 言

近年來，永磁同步電機(jī)（以下簡稱PMSM）在電力傳動(dòng)系統(tǒng)，尤其是電動(dòng)汽車中使用廣泛，主要是因?yàn)槠渚哂休^大的能量密度和較高的效率［1－3］。在PMSM驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)中，為了獲取更快的轉(zhuǎn)矩響應(yīng)，多采用直接轉(zhuǎn)矩控制（以下簡稱DTC），它不同于磁場定向控制的地方在于沒有電流閉環(huán)，所以響應(yīng)更快。傳統(tǒng)的DTC控制策略是基于2個(gè)非線性滯環(huán)調(diào)節(jié)器和開關(guān)狀態(tài)表實(shí)現(xiàn)的，因此導(dǎo)致了開關(guān)頻率不固定和轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)的問題［4－6］。

為了減少電流紋波和轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)，文獻(xiàn)［7－8］提出了一種結(jié)合空間矢量脈寬調(diào)制（以下簡稱SVPWM）和DTC的控制策略，控制中引入了PI轉(zhuǎn)矩閉環(huán)來計(jì)算電壓參考，進(jìn)而通過SVPWM生成固定開關(guān)頻率的脈沖，進(jìn)而減小電流和轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)，但是PI控制器的引入降低了DTC控制的響應(yīng)速度。與此同時(shí)，隨著預(yù)測控制技術(shù)和數(shù)字芯片的發(fā)展，高性能轉(zhuǎn)矩控制策略得以實(shí)現(xiàn)，例如轉(zhuǎn)矩預(yù)測控制和模型預(yù)測控制［9－13］。其中轉(zhuǎn)矩預(yù)測控制根據(jù)PMSM模型和需要的轉(zhuǎn)矩，用預(yù)測的方法計(jì)算定子電壓參考［9－10］，結(jié)合使用SVPWM 得到固定的開關(guān)頻率，進(jìn)而降低轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)，但是其難以考慮系統(tǒng)約束，例如電流限制等。文獻(xiàn)［14－16］提出了一種無差拍DTC控制策略，兼顧了較快的響應(yīng)速度和較低的轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)，但是計(jì)算復(fù)雜度高，難以低成本工程應(yīng)用。而有限控制集模型預(yù)測控制（以下簡稱FCSMPC）由于使用了由開關(guān)矢量構(gòu)成的有限控制集，同時(shí)還構(gòu)建了考慮系統(tǒng)約束的成本函數(shù)，故通過窮舉法可以得到使成本函數(shù)計(jì)算值最優(yōu)的開關(guān)矢量。該方法的一個(gè)主要優(yōu)點(diǎn)是通過構(gòu)建成本函數(shù)，可以考慮不同系統(tǒng)約束下提高控制性能［17］。因此，F(xiàn)CSMPC可以實(shí)現(xiàn)DTC和特殊控制目標(biāo)結(jié)合，例如最大轉(zhuǎn)矩電流比（以下簡稱 MTPA）［18－19］。但是 FCSMPC也存在DTC控制固有的問題，即不固定的開關(guān)頻率將導(dǎo)致較大的轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)。為此，文獻(xiàn)［20］提出了一種基于FCSMPC的轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)補(bǔ)償方案，但是其出發(fā)點(diǎn)是基于電機(jī)模型精細(xì)化，沒有考慮由變頻器導(dǎo)致的轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)。

本文基于上述研究，設(shè)計(jì)了一種基于改進(jìn)型有限控制集模型預(yù)測的PMSM直接轉(zhuǎn)矩控制策略，控制方案中引入了最優(yōu)占空比的概念，同時(shí)考慮了MTPA。新型控制策略結(jié)合了FCSMPC和李亞普洛夫理論，構(gòu)建了同時(shí)兼顧轉(zhuǎn)矩跟蹤，MTPA和其他系統(tǒng)約束的成本函數(shù)。同時(shí)還采用了李亞普洛夫函數(shù)來計(jì)算有限控制集中的電壓矢量占空比。最后，搭建了PMSM驅(qū)動(dòng)試驗(yàn)平臺(tái)，對(duì)新型FCSMPC控制策略的有效性進(jìn)行了試驗(yàn)驗(yàn)證。

1 d－q坐標(biāo)系下的PMSM模型

改進(jìn)FCSMPC的DTC控制是基于同步旋轉(zhuǎn)d－q坐標(biāo)設(shè)計(jì)的，其中PMSM在d－q坐標(biāo)系下的模型［12］：

式中：R，Ld，Lq和ψf分別為定子電阻，d，q軸定子電感和電機(jī)永磁磁鏈；p是電機(jī)極對(duì)數(shù)；ud和uq分別為d，q軸定子電壓；id和iq分別為d，q軸定子電流；ω為電角頻率。使用前向歐拉算法離散后的PMSM模型：

式中：T為一個(gè)較小的時(shí)間間隔，其小于或等于采樣時(shí)間；k為當(dāng)前步長。PMSM的輸入電壓由驅(qū)動(dòng)變頻器給出，udq，k＝［ud，k，uq，k］T。對(duì)于兩電平變頻器，其輸出開關(guān)矢量一共有8種不同的開關(guān)狀態(tài)組合，即｛（Sa，Sb，Sc）｜Sa，b，c∈｛0，1｝｝，其中Sa，Sb和Sc分別為ABC三相的開關(guān)狀態(tài)。根據(jù)文獻(xiàn)［21］和等幅值Par k變換，變頻器輸出電壓矢量在d－q坐標(biāo)系下的方程：

8個(gè)開關(guān)狀態(tài)000，001，…，111將生成8個(gè)電壓矢量，故但考慮到開關(guān)狀態(tài)000和111將生成相同的電壓矢量，故最后用于控制的有限控制集為｛｜j＝1，2，…，7｝。

2 基于改進(jìn)FCSMPC的直接轉(zhuǎn)矩控制

為了最大限度地減少電流紋波和轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)，基于李亞普洛夫在設(shè)計(jì)了改進(jìn)型FCSMPC直接轉(zhuǎn)矩控制控器，具體的控制器框圖如圖1所示。從圖1中可以看出，控制器中包含了單步長電流賦值算法、基于李亞普洛夫的占空比計(jì)算和成本函數(shù)計(jì)算等。

圖1 基于改進(jìn)FCSMPC的直接轉(zhuǎn)矩控制框圖

1． 1單步長賦值算法

在數(shù)字處理器中，由于參考電壓矢量的計(jì)算需要時(shí)間，所以計(jì)算得到的參考電壓不能及時(shí)實(shí)施，需要延遲到下一個(gè)采樣周期，具體的延時(shí)示意圖如圖2（a）所示。其中下標(biāo)k代表了當(dāng)前采樣，tc為參考電壓的計(jì)算耗時(shí)，xk為當(dāng)前采樣值（電流或轉(zhuǎn)矩），是基于xk計(jì)算而來的。由于計(jì)算耗時(shí)，將在下一個(gè)采樣間隔k＋1實(shí)施。在這種情況下，將不再是采樣間隔k＋1的最優(yōu)參考電壓，這是引起轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)的部分原因［22］。

為了減少數(shù)字處理器采樣延遲導(dǎo)致的轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)，設(shè)計(jì)了單步長賦值算法，具體示意圖如圖2（b）所示。圖中tc1代表了變量賦值時(shí)間，基于測量得到的xk和PMSM模型，可以得到第k＋1個(gè)采樣周期的狀態(tài)。然后基于更新狀態(tài)，用預(yù)測控制器計(jì)算后，在tc2時(shí)刻得到最優(yōu)參考電壓，進(jìn)而在第k＋1個(gè)采樣周期能夠及時(shí)的實(shí)施，即實(shí)施最優(yōu)的參考電壓。單步長賦值算法的執(zhí)行方程：

圖2 數(shù)字處理器延遲原理

上式 中 電 流id，k＋1和iq，k＋1將 用 于 預(yù) 測 計(jì) 算，電 壓和在上一個(gè)步長得到。而估計(jì)轉(zhuǎn)矩可以由式（3）計(jì)算得到。

1． 2 FCSMPC的成本函數(shù)構(gòu)建

為了實(shí)現(xiàn)MTPA條件下的轉(zhuǎn)矩控制，構(gòu)建了一個(gè)考慮轉(zhuǎn)矩跟蹤、MTPA和電流限制的成本函數(shù)，具體方程描述如下：

式中：Np為模型預(yù)測的預(yù)測尺度，由于FCSMPC算法基于窮舉所有的電壓矢量，故計(jì)算量是隨著Np成倍增加的。為了保證計(jì)算的實(shí)時(shí)性，通常選擇Np為1。上式中kT，kA和kL為成本函數(shù)的加權(quán)系數(shù)，而JT（k）和JA（k）具體如下：

在考慮PMSM 的電流限制后，JL1（k）和JL2（k）的表達(dá)式：

式中：Ir是PMSM的額定電流。JL1（k）為考慮電機(jī)發(fā)熱的電流限制，JL2（k）是確保在MTPA條件下d軸電流收斂。通過構(gòu)建成本函數(shù)，MTPA條件下的轉(zhuǎn)矩控制轉(zhuǎn)換為成本函數(shù)的最小化。在成本函數(shù)中，一般kL一般遠(yuǎn)大于kT和kA，以防止PMSM過電流和保證id≤0。對(duì)于kT和kA的選擇，可考慮kT＋kA＝1，較大的kT將導(dǎo)致快速的轉(zhuǎn)矩收斂，而較大的kA將使得MTPA條件快速達(dá)到。本文中設(shè)計(jì)kT＞kA，以獲取更快的轉(zhuǎn)矩響應(yīng)。

1． 3基于李亞普洛夫函數(shù)的占空比計(jì)算

為了進(jìn)一步降低轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)，引入了李亞普洛夫函數(shù)對(duì)每個(gè)電壓矢量的占空比進(jìn)行計(jì)算。由于JL1和JL2只是限制條件，并不是全局可微的，故在基于李亞普洛夫函數(shù)的占空比計(jì)算中不考慮。具體的李亞普洛夫函數(shù)設(shè)計(jì)：

當(dāng)滿足V（k）＝0時(shí)，第k個(gè)采樣周期的轉(zhuǎn)矩，同時(shí)MTPA條件可以達(dá)到。此外，當(dāng)滿足d V（k）／d t＝0時(shí)，轉(zhuǎn)矩和磁鏈將在MTPA工作點(diǎn)穩(wěn)定，進(jìn)而電流紋波和轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)可以最小化。首先闡述下面3個(gè)結(jié)論：

（1）結(jié)論1：定義電流函數(shù)如下：

如果PMSM的轉(zhuǎn)矩保持一個(gè)非零值，則f（id，iq）是沿恒定轉(zhuǎn)矩曲線嚴(yán)格單調(diào)的函數(shù)。證明如下：

轉(zhuǎn)矩Te＝1．5p［ψf＋（Ld－Lq）id］iq為常數(shù)，對(duì)f（id，iq）和Te求偏導(dǎo)數(shù)如下：

恒定轉(zhuǎn)矩下，工作點(diǎn)沿著矢量r方向的軌跡滿足r Te／idq＝0，矢量r的表達(dá)式：

式中：ε為正實(shí)數(shù)，可以注意到：

由于Ld－Lq≤0和id≤0，式（19）中等號(hào)右邊項(xiàng)為負(fù)，因此f（id，iq）是沿恒定轉(zhuǎn)矩曲線嚴(yán)格單調(diào)的函數(shù)。根據(jù)結(jié)論1，要保證李亞普洛夫函數(shù)嚴(yán)格遞減，可以控制工作點(diǎn)軌跡如下：首先沿著恒定轉(zhuǎn)矩曲線運(yùn)行到f（id，iq）＝0，然后沿著 MTPA曲線運(yùn)行到轉(zhuǎn)矩達(dá)到參考轉(zhuǎn)矩，如圖3所示，從A點(diǎn)到B點(diǎn)再到C點(diǎn)。因此，至少存在一條工作點(diǎn)軌跡曲線使得李亞普洛夫函數(shù)嚴(yán)格遞減。

圖3 滿足MTPA的工作點(diǎn)運(yùn)行軌跡

（2）結(jié)論2：對(duì)于任意初始條件，如果PMSM的反電動(dòng)勢在變頻器輸出電壓限制內(nèi)，那么存在一個(gè)滿足d V（k＋1）／d t≤0。證明如下：

對(duì)李亞普洛夫函數(shù)求導(dǎo)，可得：

上式中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)V（k＋1）＝0時(shí)成立，因此，存在電流微分d idq，k＋1／d t＝λΔd idq，k＋1使得V（k＋1）≤0，其中λ是一個(gè)非常小的正實(shí)數(shù)。電壓u＊dq，k滿足：

式中：idq，k＋1為電流矢量。由于至少存在一條工作點(diǎn)軌跡曲線使得李亞普洛夫函數(shù)嚴(yán)格遞減，則存在Δidq，k＋1滿足：

當(dāng)uE在變頻器電壓限制范圍內(nèi)，λ可以設(shè)置為足夠小來保證u＊dq，k＋1也在限制范圍內(nèi)，既滿足d V（k＋1）／d t≤0。

（3）結(jié)論3：對(duì)于給定的電流動(dòng)態(tài)：

如果PMSM的反電動(dòng)勢在變頻器輸出電壓限制內(nèi)，那么存在ujdq，k∈｛ujdq，k｜j＝1，2，…，7｝滿足：

結(jié)論3的具體證明過程參考文獻(xiàn)［23］。為了盡量減少穩(wěn)態(tài)時(shí)的轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)，期望李亞普洛夫函數(shù)穩(wěn)態(tài)時(shí)保持V＝0和d V／d t＝0，為此電壓矢量ujdq，k的占空比計(jì)算式：其中Tσ＜＜Ts為一常值，當(dāng)電流達(dá)到上限時(shí)，占空比設(shè)置為Tσ，此時(shí)電流限制JL在成本函數(shù)中占主導(dǎo)。FCSMPC中還需考慮電壓矢量Vj（k＋1）滿足d Vj（k＋1）／d t≤0。當(dāng)PMSM 的模型和相關(guān)預(yù)測是準(zhǔn)確的，那么Tσ＝0是保證最小電流紋波的理想設(shè)置。但是實(shí)際系統(tǒng)中總是有一些諸如電機(jī)參數(shù)偏移之類的擾動(dòng)，因此需要根據(jù)擾動(dòng)來選擇一個(gè)較小的Tσ，本文中選取Tσ＝0．1Ts以獲取較高的抗擾度，實(shí)際工程中可以適當(dāng)減小。

占空比計(jì)算結(jié)果Tj限制在［0，Ts］，根據(jù)結(jié)論3，在第k＋1個(gè)采樣周期至少存在一個(gè)ujdq，k＋1（占空比為Tjduty，k＋1），在不考慮電流限制的情況下能保證李亞普洛夫函數(shù)V（k＋2）＝J（k＋2）收斂到0。另一方面，基于式（25）計(jì)算的占空比Tjduty，k＋1能保證穩(wěn)態(tài)d V／d t＝0。因此，所有使d Vj（k＋1）／d t＜0的電壓矢量都是成本函數(shù)最小化的候選矢量。故計(jì)算占空比之后，實(shí)際的有限控制集為｛（ujdq，k＋1，Tjduty，k＋1）｜j＝1，2，…，7｝。

1． 4 FCSMPC的具體實(shí)施

為了實(shí)現(xiàn)固定采樣頻率和固定開關(guān)頻率，定義一個(gè)補(bǔ)充電壓矢量如下：

補(bǔ)充電壓矢量的使用將使d idq，k＋1／d t＝0，進(jìn)而使成本函數(shù)計(jì)算結(jié)果不變。最終實(shí)施的電壓矢量：

式（27）中只有作用到 PMSM 能對(duì)轉(zhuǎn)矩產(chǎn)生影響，即保證收斂和MTPA實(shí)現(xiàn)，后續(xù)作用使d V／d t＝0。作用后，在第k＋2個(gè)采樣周期的預(yù)測電流：

根據(jù)預(yù)測電流，基于成本函數(shù)計(jì)算在有限控制集中選取最優(yōu)電壓矢量：

最后的輸出電壓參考：

從上式中可以看出，暫態(tài)中設(shè)置最優(yōu)占空比等于Ts能最小化成本函數(shù)。因此，在同樣的采樣頻率下，新型策略策略的轉(zhuǎn)矩響應(yīng)和傳統(tǒng)FCSMPC一樣快。同時(shí)結(jié)論3保證了所提出的控制方案的穩(wěn)定性。另一方面，穩(wěn)態(tài)時(shí)補(bǔ)充電壓矢量將保持d V／d t＝0。因此，電流紋波和轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)可以最小化。

3 試驗(yàn)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證所提出控制策略的實(shí)際可行性和效果，搭建了PMSM驅(qū)動(dòng)試驗(yàn)平臺(tái)開展了試驗(yàn)研究，試驗(yàn)平臺(tái)如圖4所示。PMSM的參數(shù)以及試驗(yàn)平臺(tái)的主要參數(shù)如表1所示。核心算法基于實(shí)時(shí)仿真系統(tǒng)d SPACE（DS1103）實(shí)現(xiàn)，試驗(yàn)中控制轉(zhuǎn)速在300 r／min。同時(shí)進(jìn)行了新型控制策略和傳統(tǒng)FCSMPC控制方案的對(duì)比試驗(yàn)，以檢驗(yàn)其有效性。

圖4 試驗(yàn)平臺(tái)結(jié)構(gòu)示意圖

表1 PMSM參數(shù)和系統(tǒng)系統(tǒng)主要參數(shù)

圖5和圖6分別為傳統(tǒng)FCSMPC控制方案和改進(jìn)FCSMPC控制方案的試驗(yàn)波形。從圖中可以看出，2種控制策略下的轉(zhuǎn)矩響應(yīng)暫態(tài)過程是近似的，但是在同樣的開關(guān)頻率下，改進(jìn)型控制策略的轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)明顯減小。這個(gè)結(jié)論還可以從如圖7所示的電流和轉(zhuǎn)矩頻譜分析圖中更加準(zhǔn)確地得到。

圖5 傳統(tǒng)FCSMPC控制方案的試驗(yàn)波形

圖6 改進(jìn)FCSMPC控制方案的試驗(yàn)波形

圖7 2種控制方案的電流和轉(zhuǎn)矩頻譜分析

為了驗(yàn)證控制策略對(duì)電機(jī)參數(shù)誤差的魯棒性，將控制器中參數(shù)Lq設(shè)置為1．5倍Lq和參數(shù)ψf設(shè)置為1．3倍ψf，并分別進(jìn)行了2組對(duì)比試驗(yàn)。其中圖8和圖9分別為傳統(tǒng)FCSMPC控制方案和改進(jìn)FCSMPC控制方案在參數(shù)Lq擾動(dòng)下的試驗(yàn)波形；圖10和圖11分別為傳統(tǒng)FCSMPC控制方案和改進(jìn)FCSMPC控制方案在參數(shù)ψf擾動(dòng)下的試驗(yàn)波形。從Lq參數(shù)擾動(dòng)試驗(yàn)結(jié)果來看，Lq參數(shù)誤差對(duì)2種控制方案的影響很小，擾動(dòng)并沒有改變控制器的工作點(diǎn)，轉(zhuǎn)矩仍較為穩(wěn)定地跟蹤參考值，可以注意到傳統(tǒng)FCSMPC控制方案的轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)依然較大。從ψf參數(shù)擾動(dòng)試驗(yàn)結(jié)果來看，它對(duì)控制的影響大于Lq參數(shù)擾動(dòng)，這使得兩種控制方案下的轉(zhuǎn)矩偏離參考值，即存在一個(gè)轉(zhuǎn)矩跟蹤穩(wěn)態(tài)誤差，對(duì)比新型控制和傳統(tǒng)FCSMPC控制，可以看出新型控制策略的誤差更小，因而魯棒性更好。因?yàn)棣譮參數(shù)擾動(dòng)導(dǎo)致了傳統(tǒng)FCSMPC控制下的較大工作點(diǎn)偏移，從而選取的開關(guān)矢量不是最優(yōu)的開關(guān)矢量，進(jìn)而控制性能不佳。

圖8 傳統(tǒng)FCSMPC控制在參數(shù)L q誤差下的試驗(yàn)波形

圖9 改進(jìn)FCSMPC控制在參數(shù)L q誤差下的試驗(yàn)波形

圖10 傳統(tǒng)FCSMPC控制在參數(shù)ψf誤差下的試驗(yàn)波形

圖11 改進(jìn)FCSMPC控制在參數(shù)ψf誤差下的試驗(yàn)波形

4 結(jié) 語

本文提出了一種用于PMSM驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的基于李亞普諾夫函數(shù)的FCSMPC控制策略。通過理論研究和試驗(yàn)驗(yàn)證，現(xiàn)總結(jié)結(jié)論如下：

（1）改進(jìn)型FCSMPC控制策略使用了基于李亞普諾夫函數(shù)的占空比計(jì)算方案和綜合考慮MTPA和電流限制的成本函數(shù)，實(shí)現(xiàn)了固定開關(guān)頻率和電流紋波最小化。

（2）對(duì)比傳統(tǒng)的FCSMPC控制策略，新型控制方案的轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)明顯降低，同時(shí)參數(shù)擾動(dòng)試驗(yàn)驗(yàn)證了新型控制方案的魯棒性更好。

（3）后續(xù)的研究方向：考慮增加基于卡爾曼濾波或自適應(yīng)觀測器的模型誤差補(bǔ)償，以進(jìn)一步提高該控制策略的魯棒性。

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