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      例談“去頂點(diǎn)法”處理三視圖問題

      2017-06-13 09:22:26筅湖北省武漢市東湖中學(xué)馮煒
      中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2017年11期
      關(guān)鍵詞:三棱錐三視圖中點(diǎn)

      筅湖北省武漢市東湖中學(xué)馮煒

      例談“去頂點(diǎn)法”處理三視圖問題

      筅湖北省武漢市東湖中學(xué)馮煒

      幾何體的三視圖從本質(zhì)上來說,是將一個(gè)幾何體放在某個(gè)對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)(正)方體中,再分別投影到該長(zhǎng)(正)方體的里面、右側(cè)面和下底面后,所形成的三個(gè)平面圖形(其中,側(cè)視圖還要將其向右翻折).因此對(duì)于較復(fù)雜的三視圖還原出對(duì)應(yīng)幾何體的問題,可將其放到相應(yīng)的長(zhǎng)(正)方體中進(jìn)行考查,根據(jù)題目中給出的三(正、側(cè)、俯)視圖,然后通過排除長(zhǎng)(正)方體的頂點(diǎn)——“去頂點(diǎn)法”,可以快捷地確定原幾何體的形狀,進(jìn)而解決相關(guān)問題.

      例1(1)如圖1,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖,則該多面體的各條棱中,最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)度為().

      圖1

      (2)一個(gè)幾何體的三視圖如圖2所示,則該幾何體的全面積為().

      圖2

      (3)一個(gè)幾何體的三視圖如圖3所示,則該幾何體的各面面積中的最大值為().

      圖3

      圖4

      解:(1)如圖4所示,作一棱長(zhǎng)為4的正方體.由正視圖知,頂點(diǎn)A、D應(yīng)去掉;又由俯視圖知,頂點(diǎn)A1應(yīng)去掉;再由側(cè)視圖知,頂點(diǎn)B、B1應(yīng)去掉.由于正視圖中含有高的中點(diǎn)且為實(shí)線,從而應(yīng)有棱BB1的中點(diǎn)E,這樣一來可確定原幾何體為D1-ECC1.其中,D1C1=CC1=4,D1C=4=6,故最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)度為D1E=6,故應(yīng)選B.

      圖5

      (2)如圖5所示,作一長(zhǎng)、寬、高分別為6、6、4的長(zhǎng)方體.由正視圖和側(cè)視圖知,頂點(diǎn)A1、B1、C1、D1應(yīng)去掉;又由俯視圖知,頂點(diǎn)C應(yīng)去掉;再由正視圖和側(cè)視圖知,應(yīng)有上底面的中心O,從而可知原幾何體為三棱錐O-ABD.其中,AB=AD=6,BD=6,OA=OB=OD=.從而可求得三棱錐O-ABD的全面積為48+12應(yīng)選A.

      (3)如圖6所示,作一棱長(zhǎng)為4的正方體.由正視圖知,點(diǎn)A1、D1應(yīng)去掉;由側(cè)視圖知,點(diǎn)A、B、A1、B1應(yīng)去掉;結(jié)合俯視圖知,所對(duì)應(yīng)的幾何體為三棱錐E-DCC1,其面積最大的側(cè)面為三角形DCC1,易求得其面積為8,應(yīng)選B.

      圖6

      例2(1)一個(gè)幾何體的三視圖如圖7所示,則該幾何體的體積為().

      圖7

      (2)圖8是某幾何體的三視圖,則該幾何體的體積為().

      圖8

      圖9

      圖10

      (2)作棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1.由側(cè)視圖可去掉點(diǎn)A、B;當(dāng)有點(diǎn)C1時(shí),正視圖中就沒有虛對(duì)角線,故應(yīng)去掉點(diǎn)C1.結(jié)合正、側(cè)和俯視圖可得原幾何體為四棱錐D1-A1B1CD,如圖10,故V故應(yīng)選A.

      例3(1)某幾何體的三視圖如圖11所示,則該幾何體的體積為().

      圖11

      圖12

      解:(1)作棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1.由正視圖可去掉點(diǎn)B1、C1;由側(cè)視圖(注意,要向右翻折),可去掉點(diǎn)C1、D1、C、D.結(jié)合正、側(cè)和俯視圖可得原幾何體為四棱錐A1-ABEF,其中E、F分別為CC1、DD1的中點(diǎn),如圖13,易求得其體積為.故應(yīng)選B.

      圖13

      圖14

      另外對(duì)于一些三視圖沒有全部給出的問題,也可以通過構(gòu)造對(duì)應(yīng)的正(長(zhǎng))方體來處理.

      例4(1)在如圖15所示的空間直角坐標(biāo)系中,一個(gè)四面體的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是(0,0,2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2),給出編號(hào)①、②、③、④的四個(gè)圖,則該四面體的正視圖和俯視圖分別為().

      圖15

      A.①和② B.③和①

      C.④和③ D.④和②

      圖16

      解:(1)如圖16所示,作一正方體并建立對(duì)應(yīng)的空間直角坐標(biāo)系,作出題中對(duì)應(yīng)的點(diǎn),則易知應(yīng)選D.

      設(shè)該長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為x、y、z,

      綜上所述,處理與三視圖有關(guān)的問題時(shí),要用好其對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)(正)方體這個(gè)模型,同時(shí)要注意三視圖中各線段的虛實(shí)對(duì)幾何體還原的影響.只要熟練、準(zhǔn)確地掌握了上述方法,處理此類問題就會(huì)得心應(yīng)手了.

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