例談“去頂點(diǎn)法”處理三視圖問題

筅湖北省武漢市東湖中學(xué)馮煒

例談“去頂點(diǎn)法”處理三視圖問題

筅湖北省武漢市東湖中學(xué)馮煒

幾何體的三視圖從本質(zhì)上來說，是將一個(gè)幾何體放在某個(gè)對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)（正）方體中，再分別投影到該長(zhǎng)（正）方體的里面、右側(cè)面和下底面后，所形成的三個(gè)平面圖形（其中，側(cè)視圖還要將其向右翻折）.因此對(duì)于較復(fù)雜的三視圖還原出對(duì)應(yīng)幾何體的問題，可將其放到相應(yīng)的長(zhǎng)（正）方體中進(jìn)行考查，根據(jù)題目中給出的三（正、側(cè)、俯）視圖，然后通過排除長(zhǎng)（正）方體的頂點(diǎn)——“去頂點(diǎn)法”，可以快捷地確定原幾何體的形狀，進(jìn)而解決相關(guān)問題.

例1（1）如圖1，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的各條棱中，最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)度為（）.

圖1

（2）一個(gè)幾何體的三視圖如圖2所示，則該幾何體的全面積為（）.

圖2

（3）一個(gè)幾何體的三視圖如圖3所示，則該幾何體的各面面積中的最大值為（）.

圖3

圖4

解：（1）如圖4所示，作一棱長(zhǎng)為4的正方體.由正視圖知，頂點(diǎn)A、D應(yīng)去掉；又由俯視圖知，頂點(diǎn)A1應(yīng)去掉；再由側(cè)視圖知，頂點(diǎn)B、B1應(yīng)去掉.由于正視圖中含有高的中點(diǎn)且為實(shí)線，從而應(yīng)有棱BB1的中點(diǎn)E，這樣一來可確定原幾何體為D1-ECC1.其中，D1C1=CC1=4，D1C=4=6，故最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)度為D1E=6，故應(yīng)選B.

圖5

（2）如圖5所示，作一長(zhǎng)、寬、高分別為6、6、4的長(zhǎng)方體.由正視圖和側(cè)視圖知，頂點(diǎn)A1、B1、C1、D1應(yīng)去掉；又由俯視圖知，頂點(diǎn)C應(yīng)去掉；再由正視圖和側(cè)視圖知，應(yīng)有上底面的中心O，從而可知原幾何體為三棱錐O-ABD.其中，AB=AD=6，BD=6，OA=OB=OD=.從而可求得三棱錐O-ABD的全面積為48+12應(yīng)選A.

（3）如圖6所示，作一棱長(zhǎng)為4的正方體.由正視圖知，點(diǎn)A1、D1應(yīng)去掉；由側(cè)視圖知，點(diǎn)A、B、A1、B1應(yīng)去掉；結(jié)合俯視圖知，所對(duì)應(yīng)的幾何體為三棱錐E-DCC1，其面積最大的側(cè)面為三角形DCC1，易求得其面積為8，應(yīng)選B.

圖6

例2（1）一個(gè)幾何體的三視圖如圖7所示，則該幾何體的體積為（）.

圖7

（2）圖8是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（）.

圖8

圖9

圖10

（2）作棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1.由側(cè)視圖可去掉點(diǎn)A、B；當(dāng)有點(diǎn)C1時(shí)，正視圖中就沒有虛對(duì)角線，故應(yīng)去掉點(diǎn)C1.結(jié)合正、側(cè)和俯視圖可得原幾何體為四棱錐D1-A1B1CD，如圖10，故V故應(yīng)選A.

例3（1）某幾何體的三視圖如圖11所示，則該幾何體的體積為（）.

圖11

圖12

解：（1）作棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1.由正視圖可去掉點(diǎn)B1、C1；由側(cè)視圖（注意，要向右翻折），可去掉點(diǎn)C1、D1、C、D.結(jié)合正、側(cè)和俯視圖可得原幾何體為四棱錐A1-ABEF，其中E、F分別為CC1、DD1的中點(diǎn)，如圖13，易求得其體積為.故應(yīng)選B.

圖13

圖14

另外對(duì)于一些三視圖沒有全部給出的問題，也可以通過構(gòu)造對(duì)應(yīng)的正（長(zhǎng)）方體來處理.

例4（1）在如圖15所示的空間直角坐標(biāo)系中，一個(gè)四面體的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2），給出編號(hào)①、②、③、④的四個(gè)圖，則該四面體的正視圖和俯視圖分別為（）.

圖15

A.①和② B.③和①

C.④和③ D.④和②

圖16

解：（1）如圖16所示，作一正方體并建立對(duì)應(yīng)的空間直角坐標(biāo)系，作出題中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，則易知應(yīng)選D.

設(shè)該長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為x、y、z，

綜上所述，處理與三視圖有關(guān)的問題時(shí)，要用好其對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)（正）方體這個(gè)模型，同時(shí)要注意三視圖中各線段的虛實(shí)對(duì)幾何體還原的影響.只要熟練、準(zhǔn)確地掌握了上述方法，處理此類問題就會(huì)得心應(yīng)手了.