巧用數(shù)軸構(gòu)建數(shù)概念 提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

陳曦

數(shù)學(xué)是什么？就今天而言，數(shù)學(xué)已經(jīng)不僅僅是“研究數(shù)量關(guān)系和空間形式”的科學(xué)，還是一種思維方式，一種理性精神，一種科學(xué)態(tài)度、交流語言和特殊工具。數(shù)學(xué)教育也不應(yīng)該僅僅放在對(duì)學(xué)生知識(shí)的對(duì)錯(cuò)負(fù)責(zé)，更應(yīng)該為學(xué)生的后續(xù)發(fā)展積蓄力量。因此提倡學(xué)科德育，關(guān)注核心素養(yǎng)的形成是當(dāng)下的重要任務(wù)。

數(shù)概念的學(xué)習(xí)是學(xué)生認(rèn)識(shí)和理解數(shù)學(xué)的開始。我國(guó)兒童心理學(xué)家林崇德有關(guān)兒童數(shù)概念形成的研究表明，兒童數(shù)概念形成經(jīng)歷了口頭數(shù)數(shù)──給物說數(shù)──按數(shù)取物──掌握數(shù)概念四個(gè)階段。根據(jù)兒童數(shù)概念形成的過程我們對(duì)數(shù)概念的構(gòu)建策略進(jìn)行了研究，以期幫助學(xué)生形成數(shù)感，引領(lǐng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成。

數(shù)軸，盡管在小學(xué)階段不出現(xiàn)具體的概念，但是其在數(shù)概念的建構(gòu)領(lǐng)域，它不僅僅是形象思維走向抽象思維的橋梁，更是建立清晰數(shù)概念的半直觀半形象的學(xué)具。同時(shí)對(duì)建構(gòu)完整的數(shù)系觀念起著很重要的作用。

一、對(duì)接數(shù)軸，厘清數(shù)概念的認(rèn)知序列

小學(xué)階段，數(shù)的認(rèn)識(shí)一般包括以下內(nèi)容：（以青島版為例）

1. 以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)──20以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)──100以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)──萬以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)──萬以上數(shù)的認(rèn)識(shí)──認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)──認(rèn)識(shí)小數(shù)──認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù)。

二、依托數(shù)軸，從“點(diǎn)狀”到“多維”構(gòu)建數(shù)概念的策略

從上述分析來看，數(shù)概念知識(shí)之間是緊密聯(lián)系的，要想提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，培養(yǎng)數(shù)感，形成問題意識(shí)，就要認(rèn)真挖掘教材結(jié)構(gòu)，把握知識(shí)間的聯(lián)系，依托數(shù)軸，從“點(diǎn)狀”到“多維”構(gòu)建數(shù)概念的策略。

1.《10以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)》──體現(xiàn)自然數(shù)的順序性、方向性、無限性和排列等差性特點(diǎn)

學(xué)生接觸數(shù)學(xué)就是學(xué)習(xí)數(shù)數(shù)，也就是《10以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)》。自然數(shù)按照邏輯從左往右依次是0，1，2……每相鄰兩個(gè)數(shù)相差1，每一個(gè)自然數(shù)后面都跟著一個(gè)比他大1的自然數(shù)。自然數(shù)不僅僅有基數(shù)的意義，還具有序數(shù)的意義，即每個(gè)自然數(shù)既可以看成“第幾個(gè)”還可以看成“有多少個(gè)”。這些意義反應(yīng)在數(shù)軸上便是構(gòu)建數(shù)軸的三要素，（原點(diǎn)、單位長(zhǎng)度、正方向）以及向右無限延展的特點(diǎn)。初步構(gòu)建數(shù)軸最基本的原點(diǎn)、基本單位、正方向，為后續(xù)構(gòu)建數(shù)軸的右半軸奠定基礎(chǔ)。

2.《20以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)》──核心是建構(gòu)計(jì)數(shù)單位“十”的概念

《20以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)》是數(shù)軸上的數(shù)繼續(xù)往右的繼續(xù)延伸。數(shù)軸上的繼續(xù)延伸繼續(xù)體現(xiàn)自然數(shù)的順序性、方向性、無限性和排列等差性等特點(diǎn)，這一點(diǎn)上的遷移是非常必要的，可以讓學(xué)生在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中感受“溫故而知新”，體會(huì)結(jié)構(gòu)上的相同。

這個(gè)節(jié)點(diǎn)僅僅有數(shù)軸是不夠的，計(jì)數(shù)器的使用是必須的。因?yàn)橐荒昙?jí)學(xué)生大多數(shù)能按順序從1數(shù)到20，甚至更多，口頭數(shù)數(shù)占主要層面，數(shù)概念的理解和認(rèn)識(shí)都幾乎沒有，對(duì)計(jì)數(shù)單位“十”、“滿十進(jìn)一”、“位值”等概念還很模糊。因此這個(gè)節(jié)點(diǎn)讓學(xué)生體會(huì)計(jì)數(shù)單位“十”產(chǎn)生的必要性是本節(jié)點(diǎn)的核心點(diǎn)。例如用小棒表示11時(shí)，是用形態(tài)不同的1捆和1根小棒來區(qū)別計(jì)數(shù)單位“十”與計(jì)數(shù)單位“一”，不論它們放置的位置如何，都表示11。但是用計(jì)數(shù)器表示11時(shí)，只用形態(tài)相同的2顆珠子，是通過珠子的不同位置來區(qū)別“十”與“一” 的。既體現(xiàn)了“十進(jìn)制”原則，又體現(xiàn)了“位值制”原則，所以數(shù)軸與計(jì)數(shù)器的聯(lián)合使用也為后續(xù)學(xué)習(xí)《100以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)》做好了鋪墊。

3.《100以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)》──認(rèn)識(shí)計(jì)數(shù)單位“百”，初步感知十進(jìn)制和位值制

《100以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)》是在《20以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)》以及《20以內(nèi)加減法》的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)的，也是數(shù)軸向右的繼續(xù)延伸。學(xué)生已有了計(jì)數(shù)單位“一”“十”的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，所以這部分核心點(diǎn)就是創(chuàng)造計(jì)數(shù)單位“百”，并再次感知“十進(jìn)制”和“位值制”。

對(duì)接數(shù)軸，引導(dǎo)學(xué)生感知任何一個(gè)新數(shù)的產(chǎn)生和認(rèn)識(shí)都需要遵循這樣的原則：

（1）+1，體現(xiàn)數(shù)的順序性和方向性。

（2）十進(jìn)制。即“一而十，十而百，百而千，千而萬。”這樣個(gè)位、十位、百位、千位、萬位以及更大的計(jì)數(shù)單位就產(chǎn)生了，而達(dá)到數(shù)軸往右的無限擴(kuò)展。

4. 分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)──在相鄰自然數(shù)之間的擴(kuò)充，認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)單位（也是一種計(jì)數(shù)單位）

在數(shù)軸上的點(diǎn)并非只有自然數(shù)這些點(diǎn)稀疏的排列著，實(shí)際上它們是緊密排列，而且是連續(xù)的，每?jī)蓚€(gè)點(diǎn)之間都還有無數(shù)個(gè)點(diǎn)。這也是數(shù)軸無限性特征的表現(xiàn)之一。而分?jǐn)?shù)就是對(duì)數(shù)軸上的點(diǎn)繼續(xù)填充。比如在測(cè)量物體時(shí)，當(dāng)度量單位太大而不能順利度量，就需要將度量單位平均分成n份，以其中的1份1/n為度量單位，數(shù)出m個(gè)單位，度量長(zhǎng)度就是m/n。1/n為分?jǐn)?shù)單位，分?jǐn)?shù)單位的累加就是分?jǐn)?shù)值。從這個(gè)意義上來講，分?jǐn)?shù)與自然數(shù)的構(gòu)成與結(jié)構(gòu)是一致的。認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)需要源于當(dāng)一個(gè)數(shù)無法用我們最小的計(jì)數(shù)單位“一”來組成時(shí)，我們就需要產(chǎn)生更小的計(jì)數(shù)單位。因此在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)時(shí)，我們需要重點(diǎn)體會(huì)的就是先分后數(shù)，即先分得出分?jǐn)?shù)單位，數(shù)就是分?jǐn)?shù)單位的累加。

5. 小數(shù)的認(rèn)識(shí)──體會(huì)計(jì)數(shù)單位向右的擴(kuò)張，以十進(jìn)分?jǐn)?shù)體會(huì)“十進(jìn)制”和“位值制”計(jì)數(shù)原則

小數(shù)與分?jǐn)?shù)，從邏輯上來講，小數(shù)是分?jǐn)?shù)中分母是10、100、1000……等十進(jìn)分?jǐn)?shù)的特殊表現(xiàn)形式；從概念上來講，小數(shù)是十進(jìn)分?jǐn)?shù)，是一種特殊的分?jǐn)?shù)，同時(shí)體現(xiàn)從一般到特殊的學(xué)習(xí)規(guī)律。一位小數(shù)的計(jì)數(shù)單位是十分之一，兩位小數(shù)的計(jì)數(shù)單位是百分之一，三位小數(shù)的計(jì)數(shù)單位是千分之一……于是小數(shù)點(diǎn)后的第一位為十分位，第二位為百分位，第三位為千分位……這也就不難解釋為什么1/10，1/100，1/1000為什么寫成0.1，0.01，0.001了。1個(gè)十分之一，十分位上寫1，整數(shù)沒有寫0來占位，整數(shù)與小數(shù)之間填上小圓點(diǎn)來隔開，寫作0.1（同理其他）。因此小數(shù)符合十進(jìn)制與位置制原則，所以數(shù)軸上也有無數(shù)個(gè)小數(shù)。從性質(zhì)來看，小數(shù)的出現(xiàn)標(biāo)志著十進(jìn)制計(jì)數(shù)法從整數(shù)擴(kuò)展到了分?jǐn)?shù)，使分?jǐn)?shù)與整數(shù)在形式上獲得了統(tǒng)一，同時(shí)也是計(jì)數(shù)單位個(gè)、十、百、千、萬……向右的無限擴(kuò)張。

三、貫通數(shù)軸，凸顯數(shù)概念的建構(gòu)價(jià)值

以上是小學(xué)階段右半軸的所有節(jié)點(diǎn)。數(shù)軸不僅僅可以往右無限擴(kuò)張，還可以往左無限擴(kuò)張，于是也就有與正數(shù)的根本屬性是表示意義相反的量──負(fù)數(shù)。

《負(fù)數(shù)的認(rèn)識(shí)》無論在學(xué)習(xí)方式的選擇上還是素材的呈現(xiàn)上都力求對(duì)接學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知，試圖激活學(xué)生的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。在由單向的數(shù)射線變?yōu)殡p向延伸的數(shù)直線時(shí)，可以嘗試是把電梯、溫度計(jì)模型旋轉(zhuǎn)，從而抽象出一條數(shù)直線，從而讓學(xué)生的抽象有一定的現(xiàn)實(shí)依據(jù)，從而使數(shù)直線的抽象不那么突兀，至此，數(shù)軸在小學(xué)階段已經(jīng)貫通。同時(shí)，貫通的數(shù)軸也讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)獨(dú)有的正反兩面的結(jié)構(gòu)美，體會(huì)數(shù)學(xué)的美學(xué)價(jià)值。

以上通過數(shù)軸把小學(xué)階段數(shù)概念全部串聯(lián)起來，從根上理解知識(shí)的淵源。有了這個(gè)過程，教師的教學(xué)更具有啟發(fā)性，學(xué)生的學(xué)習(xí)也更具有生發(fā)意義。學(xué)生有了對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)的類比，也有利于數(shù)感的有效培養(yǎng)。對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng)，提升核心素養(yǎng)有著廣泛而深遠(yuǎn)的意義。