泛函分析全英文教學(xué)方法實踐與反思

王丹齡　閔樂泉

泛函分析是在20世紀初期從數(shù)學(xué)分析中獨立并發(fā)展起來的新興學(xué)科，是整個分析數(shù)學(xué)中最年輕的學(xué)科之一[1-4]。它是研究無限維線性空間上的泛函和算子理論的一門數(shù)學(xué)，被譽為20世紀的微積分。但因其高度的抽象性，使得在教學(xué)過程中常常出現(xiàn)“學(xué)生難學(xué)、教師難教”的情形，再加上全英文教學(xué)使得該課程的講授成為一項具有挑戰(zhàn)性的工作。經(jīng)過近年教學(xué)實踐，對教學(xué)理念的更新做出如下幾個方面的探討。

一、充分利用數(shù)學(xué)語言與英語的相近性，培養(yǎng)學(xué)生閱讀專業(yè)英文書籍與文獻

的能力。由于我校數(shù)學(xué)專業(yè)的同學(xué)在大一大二的學(xué)習(xí)中，只經(jīng)過大學(xué)基礎(chǔ)英語的訓(xùn)練，具有一定的英語聽說讀寫能力，但在課程設(shè)置中暫時還沒有專業(yè)的相關(guān)課程。而在接下來的畢業(yè)論文又需要閱讀一定的英文文獻，因此本課程全英文教學(xué)不僅培養(yǎng)學(xué)生較強的抽象思維能力，邏輯思維能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)修養(yǎng)，更為今后能夠順利閱讀和學(xué)習(xí)英文專業(yè)書籍和文獻打下基礎(chǔ)。

二、注重培養(yǎng)學(xué)生的國際視野和競爭能力，探索實現(xiàn)高校教育與國際教育能

真正接軌的教學(xué)方法。隨著數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)生選擇出國深造的同學(xué)逐年增多，越來越多的高年級同學(xué)渴望獲得更多的國外高水平院校同專業(yè)的發(fā)展現(xiàn)狀。當中就包括主要專業(yè)基礎(chǔ)課的講授內(nèi)容，授課方式，學(xué)習(xí)重點等等。這樣不僅能幫助同學(xué)們了解本專業(yè)國內(nèi)外教學(xué)的異同，也為將來繼續(xù)深造打下基礎(chǔ)。

泛函分析是20世紀30年代從變分法、微分方程函數(shù)論以及量子物理的研究中發(fā)展起來的，它運用幾何學(xué)、代數(shù)學(xué)的觀點和方法研究分析學(xué)的問題，可以看做無限維的分析學(xué)。泛函分析在概率論、量子物理、計算數(shù)學(xué)、控制論、最優(yōu)化理論等學(xué)科中都有重要的作用；它的觀點和方法已經(jīng)滲入到很多工程技術(shù)性的學(xué)科中。作為現(xiàn)代數(shù)學(xué)主體部分的泛函分析，是數(shù)學(xué)專業(yè)本科階段的基礎(chǔ)課程之一。

對于數(shù)學(xué)系的學(xué)生來說，學(xué)好泛函分析這門課程，既能加深理解前面已學(xué)知識（如數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)和解析幾何），又能為以后進一步深造打下堅實的基礎(chǔ)。同時為結(jié)合全英文教學(xué)并在有限的學(xué)時內(nèi)盡量使同學(xué)們掌握該課程的經(jīng)典理論：度量空間，完備性，賦范空間， Banach空間，線性泛函，對偶空間，內(nèi)積空間，Hilbert空間，Banach不動點定理及其在線性方程、微分方程、積分方程方面的應(yīng)用等。

泛函分析知識點很多，知識體系也較龐大，不能講授過多或過難的內(nèi)容，但又不能忽略泛函分析的重要內(nèi)容。所選的內(nèi)容基本上體現(xiàn)了泛函分析知識體系的完整性和嚴謹性，既突出了重點，有明顯的層次結(jié)構(gòu)，又能與數(shù)學(xué)分析等基礎(chǔ)課程結(jié)合起來，起到延伸和拓展的作用。例如：極限作為數(shù)學(xué)分析中重要的概念及主要研究工具， 自然要被推廣到泛函分析中去。由于極限概念是利用兩點之間的距離來刻畫的，這就要求必須先推廣距離的概念，從而就有了距離空間。這樣在距離空間中就可以用距離來刻畫“收斂”了。那么距離空間之間映射的連續(xù)性概念也可以由函數(shù)的連續(xù)性概念推廣而來。同時歐氏空間中的集合：開集、閉集等概念也隨之推廣。數(shù)學(xué)分析中的柯西收斂準則給出了數(shù)列收斂的等價條件，也就是說，在歐氏空間中任何基本列都收斂。那么任何距離空間中的基本列都收斂嗎？ 答案是否定的， 于是就有了完備的概念，把具有上述性質(zhì)的空間稱為是完備的。我們將發(fā)現(xiàn)完備的空間具有非常好的性質(zhì)。數(shù)學(xué)分析中還有致密性定理， 即任何有界點列都有收斂子列。那么對一般的距離空間也有這個定理嗎？沒有，所以就有了列緊的概念。如果一個距離空間或它的子集具有這樣的性質(zhì)，我們就稱或是列緊的，列緊的閉集稱為自列緊集。

數(shù)學(xué)課給同學(xué)們的印象往往是深奧，抽象，再加上全英文教學(xué)，更讓同學(xué)們望而生畏。所以為了使泛函分析全英文教學(xué)能達到良好的教學(xué)效果，首先要活躍課堂氣氛，在課堂教授基本概念，理論時，盡量抓住本質(zhì)，對其來龍去脈加以說明。對于數(shù)學(xué)專業(yè)的同學(xué)來說，經(jīng)過前幾個學(xué)期數(shù)學(xué)分析，高等代數(shù)等課程的學(xué)習(xí)，已有一定的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，將泛函分析與先修數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課進行對照，讓同學(xué)們加入討論，鼓勵不同觀點的爭論。

學(xué)好泛函分析這門課程，既能加深理解前面已學(xué)知識（如數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)和解析幾何），又能為以后進一步深造打下堅實的基礎(chǔ)。那么如何去學(xué)習(xí)它呢？泛函分析可以看作無限維向量空間的解析幾何及數(shù)學(xué)分析。它是對古典分析的基本概念和方法的一般化，以及對這些概念和方法的幾何化。學(xué)習(xí)該課程時，應(yīng)將其中的內(nèi)容與古典分析中的相關(guān)概念、方法加以對比，從而來理解、學(xué)習(xí)它。在教學(xué)中，我們分析了古典分析和泛函分析之間的關(guān)系，介紹如何從古典分析中的一些概念、定理和方法出發(fā)，加以推廣、一般化或幾何化，從而引人泛函分析中的相關(guān)概念。例如歐氏空間中的元素之間是可以進行運算的，而在實際問題中，這種運算也是很有必要的。那么在一般的由抽象元素組成的集合中如何進行運算呢？能不能在集合上定義某些簡單運算，比如說線性運算，來達到元素間的運算目的呢？于是就有了線性空間的概念，帶有線性運算的集合稱為線性空間。在歐氏空間中我們用向量的模來表示向量的長度，那么在線性空間中能不能類似的定義元素的“大小”呢？于是便引人了范數(shù)。定義了范數(shù)的線性空間稱為賦范線性空間， 完備的賦范線性空間稱為巴拿赫空間。

泛函分析全英文教學(xué)，不僅使學(xué)生掌握泛函分析的基本概念，抽象思維方法和嚴密的邏輯思維能力與推理論證能力，體會泛函分析在實際問題中的重要應(yīng)用，還要培養(yǎng)學(xué)生對于專業(yè)英文文獻的學(xué)習(xí)能力。

參考文獻：

[1]E.Kreyszig，Introductory Functional Analysis with Applications，John Wiley &Sons，1978.

[2]L. V. Kantorovich and G. P. Akilov， Functional Analysis in Normed Spaces（translated by A. P. Robertson），Pergamon Press，1964.

[3]劉曙云，郭瑞平，李元左，工科研究生“應(yīng)用泛函分析”教學(xué)的幾點思考[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2011，27（1）：203-206.

[4]石智，趙君平，泛函分析課程教學(xué)點滴[J].教育教學(xué)論壇，2015，5（18）：177-178.