微結(jié)構(gòu)表面磁極化共振頻率的色散關(guān)系預(yù)測(cè)模型

張玉濤，岳 慧，林嘉軒

(電磁散射重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海200438)

0 引言

負(fù)折射率材料是近二十年光譜控制領(lǐng)域的新課題，因其在超級(jí)透鏡、熱輻射器、傳感器等光電器件方面具有廣闊的應(yīng)用前景[1-3]，因此負(fù)折射率的概念一經(jīng)提出，就引起了廣泛的關(guān)注。近年來(lái)，在穿孔的金屬/介質(zhì)/金屬(MIM)結(jié)構(gòu)光譜特性研究中，有效實(shí)現(xiàn)了復(fù)磁導(dǎo)率和負(fù)折射率[4-5]。在穿孔MIM結(jié)構(gòu)的負(fù)折射率研究中，發(fā)現(xiàn)了一系列共振引起的吸收峰，并將這種共振效應(yīng)稱為磁極化。這種共振在其他的MIM微結(jié)構(gòu)中同樣存在，比如一維金屬光柵，二維光柵等[6-7]，同時(shí)這些吸收峰的位置隨著入射角的變化移動(dòng)很小，具有等方性的特征，預(yù)測(cè)磁極化效應(yīng)引起的共振頻率對(duì)微結(jié)構(gòu)表面的設(shè)計(jì)具有重要意義，可減少結(jié)構(gòu)表面設(shè)計(jì)的時(shí)間。

表面等離子激元(SPPs)是入射電磁波與金屬表面集體振蕩的電子之間相互作用產(chǎn)生的沿金屬表面?zhèn)鞑サ碾姶挪?，可以有效增?qiáng)微結(jié)構(gòu)表面的吸收，在單一的金屬/介質(zhì)界面上，SPPs引起的吸收峰位置隨入射角的變化會(huì)發(fā)生明顯的移動(dòng)。然而，在MIM微結(jié)構(gòu)表面中，SPPs會(huì)變得更復(fù)雜，在兩個(gè)金屬/真空界面和兩個(gè)金屬/介質(zhì)界面都會(huì)激發(fā)SPPs，金屬/真空界面上的SPPs為外SPPs(e-SPP)，金屬/介質(zhì)界面上的SPPs為內(nèi)SPPs(i-SPP)。當(dāng)介質(zhì)層厚度足夠小時(shí)，兩個(gè)i-SPP之間會(huì)相互耦合，這就是MIM微結(jié)構(gòu)表面中的磁極化效應(yīng)[8]。描述MIM結(jié)構(gòu)中SPPs傳播特性的方程即為色散關(guān)系，只要滿足色散關(guān)系，就可激發(fā)磁極化效應(yīng)。因此，利用色散關(guān)系可以預(yù)測(cè)出MIM微結(jié)構(gòu)表面的共振頻率。

本文將從描述SPPs的色散關(guān)系出發(fā)，建立MIM光柵結(jié)構(gòu)的共振頻率預(yù)測(cè)模型，并利用時(shí)域有限差分(FDTD)方法計(jì)算微結(jié)構(gòu)表面的光譜特性，對(duì)預(yù)測(cè)模型進(jìn)行驗(yàn)證，并討論結(jié)構(gòu)表面中的電磁場(chǎng)分布，分析磁極化效應(yīng)的物理機(jī)理。

1 計(jì)算模型

MIM結(jié)構(gòu)表面如圖1所示。上、下兩層金屬光柵之間夾著一層SiO2介質(zhì)膜;兩層金屬光柵的厚度分別為h1和h2;A為光柵周期;B為金屬帶寬度;b為光柵縫隙寬度;d為介質(zhì)層厚度。整個(gè)微結(jié)構(gòu)表面沿x方向周期性排布，沿y方向無(wú)限延伸。在MIM光柵結(jié)構(gòu)中，金屬材料選用銀，其介電常數(shù)由Drude模型表示為[9]

式中：ωp為銀的等離子頻率(2 175 THz);γ為電子碰撞頻率(4.35THz);w為電磁波頻率。SiO2的相對(duì)介電常數(shù)設(shè)為定值2.1。由于MPs和SPPs只能在TM波入射時(shí)激發(fā)，所以本文只考慮TM波入射，磁場(chǎng)沿y方向振蕩，電磁波沿-z方向入射，θ為入射角。微結(jié)構(gòu)的初始結(jié)構(gòu)尺寸：B=0.25μm，b=0.25μm，h=0.05μm，d=0.03μm。

色散關(guān)系是基于膜層結(jié)構(gòu)提出來(lái)的，如圖2所示MIM膜層結(jié)構(gòu)，上、下金屬膜層厚度分別為h1和h2，金屬薄膜中間夾著厚度為d的介質(zhì)層。

在TM波入射下，磁場(chǎng)可用波動(dòng)方程表示為[10]

上式稱為Maxwell旋度公式，由此可寫(xiě)出MIM結(jié)構(gòu)各層中的電磁場(chǎng)表達(dá)式。

當(dāng)z＞(d/2+h1)時(shí)，則有

當(dāng)d/2＜z＜(d/2+h1)時(shí)，則有

當(dāng)-d/2＜z＜d/2時(shí)，則有

當(dāng)(-d/2-h2)＜z＜(d/2+h1)時(shí)，則有

當(dāng)z＜(-d/2-h2)時(shí)，則有

式中：A1-A8為待定系數(shù);εm、εd和εv分別為銀、SiO2和真空的介電常數(shù);

令km/εm=qm，kd/εd=qd，kv/εv=qv，根據(jù)電磁場(chǎng)切向分量在四個(gè)界面上的連續(xù)性條件，可以得到關(guān)于待定系數(shù)的線性方程組為

將線性方程組寫(xiě)成矩陣形式為

式中：M為系數(shù)矩陣;A為未知數(shù)矩陣。

當(dāng)激發(fā)SPPs時(shí)，金屬/介質(zhì)表面的電磁場(chǎng)取得極大值，即A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7、A8有極值，而取得極值的條件是系數(shù)矩陣M的行列式為0。令det M=0，exp(kmh1)=l1，exp(kmh2)=l2，exp(kdhd)=ld，可得

求解方程(20)，就可以得到MIM膜層結(jié)構(gòu)的色散關(guān)系。

在光滑的金屬/介質(zhì)界面上，無(wú)法滿足色散關(guān)系要求的水平波矢，通常利用光柵結(jié)構(gòu)的衍射效應(yīng)來(lái)補(bǔ)償水平波矢，從而滿足色散關(guān)系，激發(fā)SPPs。對(duì)于一維光柵結(jié)構(gòu)，傳播常數(shù)和入射電磁波以及光柵結(jié)構(gòu)之間的關(guān)系為[11]

式中：k0為入射波矢;m為光柵衍射級(jí)數(shù);Λ為微結(jié)構(gòu)表面的周期。利用式(20)和式(21)，就可以預(yù)測(cè)MIM光柵結(jié)構(gòu)的磁極化共振頻率。

2 計(jì)算結(jié)果

根據(jù)圖1所示的MIM光柵結(jié)構(gòu)，取金屬層的厚度為h1=h2=0.05μm，介質(zhì)層厚度為d=0.03μm，色散關(guān)系曲線如圖3所示。深色線條為內(nèi)SPP曲線，其在Ag/SiO2界面激發(fā)。淺色線條為外SPP曲線，在Ag與真空界面激發(fā)。

結(jié)合式(21)，可以預(yù)測(cè)當(dāng)結(jié)構(gòu)周期為0.5μm時(shí)，一級(jí)內(nèi)SPP的激發(fā)波長(zhǎng)為259.2 THz，二級(jí)和三級(jí)內(nèi)SPP的波長(zhǎng)分別為494.1 THz和692 THz。當(dāng)m=1時(shí)，該共振頻率為577.8 THz。

為了對(duì)預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證，利用FDTD方法計(jì)算了MIM光柵結(jié)構(gòu)的光譜特性，如圖4所示，在光譜吸收曲線明顯呈現(xiàn)出四個(gè)吸收峰，分別位于228.8，551.5，600.0，642.4 THz。通過(guò)將吸收峰的位置與SPP引起的共振頻率對(duì)比分析，認(rèn)為228.8 THz和642.4 THz處的吸收峰分別是由i-SPP(1)和i-SPP(3)模式引起的。600 THz處的吸收峰是由e-SPP(1)的激發(fā)引起的。由于垂直入射下電磁場(chǎng)的對(duì)稱性分布，i-SPP(2)模式并沒(méi)有引起明顯的吸收峰。

圖5 為Ag/SiO2/Ag光柵結(jié)構(gòu)在228.8 THz處的磁場(chǎng)分布，從圖中看出，當(dāng)激發(fā)磁極化效應(yīng)時(shí)，電磁場(chǎng)被束縛在中間的介質(zhì)層內(nèi)，并且在Ag/SiO2界面上磁場(chǎng)較強(qiáng)，并沿界面法線方向衰減，與SPP的特征吻合，并且兩個(gè)界面上的電磁場(chǎng)之間相互耦合。

3 結(jié)束語(yǔ)

本文利用色散關(guān)系建立了金屬/介質(zhì)/金屬光柵結(jié)構(gòu)共振頻率預(yù)測(cè)模型，利用FDTD方法計(jì)算了微結(jié)構(gòu)表面的光譜特性，并對(duì)預(yù)測(cè)頻率進(jìn)行驗(yàn)證，預(yù)測(cè)模型可以較好的預(yù)測(cè)磁極化共振頻率。計(jì)算了MIM光柵結(jié)構(gòu)中的磁場(chǎng)分布，研究發(fā)現(xiàn)激發(fā)磁極化效應(yīng)時(shí)，電磁場(chǎng)分布與SPP的電磁場(chǎng)分布特征吻合，并且內(nèi)SPP之間相互耦合，從而證明磁極化效應(yīng)是由內(nèi)SPP耦合產(chǎn)生的。