一道橢圓典型習(xí)題的教學(xué)實(shí)錄與感悟

胡科杰

[摘要]在橢圓中點(diǎn)弦問(wèn)題的教學(xué)中，如果聯(lián)立方程組，往往計(jì)算比較煩瑣，本節(jié)課堂實(shí)錄通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生尋找利用合理的方法，教會(huì)學(xué)生自主探究，動(dòng)手實(shí)踐，合作交流，用問(wèn)題探究的方式讓學(xué)生親歷知識(shí)的發(fā)現(xiàn)的過(guò)程，體現(xiàn)學(xué)生思維的多樣性，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，激發(fā)學(xué)生自動(dòng)探究數(shù)學(xué)的興趣，達(dá)到自主學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的。

[關(guān)鍵詞]橢圓習(xí)題實(shí)錄感悟合作交流

[中圖分類號(hào)]G633.6

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A

[文章編號(hào)]1674-6058（2016）32-0015

在講授橢圓幾何性質(zhì)時(shí)，我選了一道習(xí)題讓學(xué)生在課前思考，然后在課堂上講解，教學(xué)過(guò)程有點(diǎn)偏離了預(yù)設(shè)的軌道，但整個(gè)課堂鮮活靈動(dòng)，是一個(gè)有效生成的課堂，我從中也收獲了很多。

師：非常好！把橢圓問(wèn)題用圓來(lái)處理了，這種方法通過(guò)坐標(biāo)的伸縮變換，巧妙地把橢圓中的弦中點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓中的弦中點(diǎn)問(wèn)題，利用圓的垂徑定理，使問(wèn)題迅速解決，但是要注意經(jīng)過(guò)伸縮變化后，原坐標(biāo)下的點(diǎn)也要相應(yīng)轉(zhuǎn)化，還有其他方法嗎？

生8：用幾何畫板畫圖，從圖中直接得出直線AB與x軸的交點(diǎn)為D，且點(diǎn)D關(guān)于直線PQ與原點(diǎn)0對(duì)稱，所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為（8，0），結(jié)合點(diǎn)P（4，2）得到直線AB的方程為x+2y-8=0。

師：生8觀察很敏銳，看到了對(duì)稱性，如果是客觀題的話非常好，不過(guò)這種方法需要畫出比較精確的圖示，我們?cè)僮屑?xì)觀察一下，還有其他方法嗎？可以對(duì)照所求直線的方程來(lái)看，

生9：（0，3）（6，0）這兩點(diǎn)的連線與所求的直線是平行的，

師：我們能不能利用觀察所得的結(jié)論把問(wèn)題解決呢？誰(shuí)來(lái)試一試？

生10：設(shè)橢圓與坐標(biāo)軸正方向的交點(diǎn)分別為L(zhǎng)，M，作直線LM，交直線OP于Q根據(jù)題意，得直線LM的方程為y=-0.5x+3，直線OP的方程為y=0，5x，聯(lián)立上述方程解得x=3，y-1.5，得到Q坐標(biāo)為（3，1.5），而L（0，3），M（6，0），這樣點(diǎn)Q正好是線段LM的中點(diǎn)，于是就有了一條與直線LM平行的直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于這條直線與直線OP的交點(diǎn)對(duì)稱，即有過(guò)點(diǎn)P且與直線LM平行的直線交橢圓的線段被點(diǎn)P平分，從而得到所求直線的斜率為-O.5，有點(diǎn)斜式直線方程得到所求的直線方程為y-2=-0.5（x-4），即x+2y-8=0。

師：厲害！你是怎么得到有過(guò)點(diǎn)P且與直線LM平行的直線交橢圓的線段被點(diǎn)P平分的？能否證明一下？是不是對(duì)任意的橢圓都會(huì)有這樣的一個(gè)結(jié)論呢？如果存在，你能證明嗎？請(qǐng)同學(xué)們課后思考。

師：下面我來(lái)簡(jiǎn)單小結(jié)一下。

（1）生1的解法是通法，對(duì)橢圓適用，對(duì)其他圓錐曲線也是適用的，我們要掌握、理解這樣的通法。

（2）要積極運(yùn)用基礎(chǔ)知識(shí)，同學(xué)們給出這么多的解法都來(lái)源于牢固的基礎(chǔ)知識(shí)，生6的類比思想，生8的猜想，用合情推理來(lái)解決問(wèn)題，這是同學(xué)們良好基礎(chǔ)知識(shí)融會(huì)貫通的體現(xiàn)。

（3）解題時(shí)要注意條件的限制，一定要檢驗(yàn)。

二、教學(xué)感悟

第一，對(duì)于中點(diǎn)弦問(wèn)題，我們要理解并掌握它的通法，更應(yīng)深入理解通法的利弊，其最大的弊端是運(yùn)算量較大，為了突破這一難點(diǎn)，要讓學(xué)生探究是否還有其他方法來(lái)解決，通過(guò)學(xué)生自主探究，動(dòng)手實(shí)踐，合作交流，加上教師的適當(dāng)引導(dǎo)，打開了學(xué)生的思路，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)了學(xué)生自主學(xué)習(xí)、積極探索的能力，這與新課標(biāo)倡導(dǎo)的積極主動(dòng)、勇于探索的學(xué)習(xí)方式是相吻合的，同時(shí)讓學(xué)生先思考后交流，允許他們發(fā)問(wèn)、質(zhì)疑、交流、合作，達(dá)到共同發(fā)現(xiàn)好的方法或者一致性的結(jié)論，學(xué)生暫時(shí)不能發(fā)現(xiàn)的，教師予以適當(dāng)點(diǎn)撥，讓學(xué)生領(lǐng)悟到解題的思路和策略，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心。

第二，本題是橢圓的中點(diǎn)弦問(wèn)題，學(xué)習(xí)橢圓之前，學(xué)生已經(jīng)全面學(xué)習(xí)了圓的知識(shí)，橢圓中點(diǎn)弦問(wèn)題可以類比成圓的中點(diǎn)弦問(wèn)題，聯(lián)系之前學(xué)會(huì)的坐標(biāo)的伸縮變換，把橢圓轉(zhuǎn)化為圓，利用圓的知識(shí)來(lái)解決會(huì)比較容易，既降低了解題的難度，又拓展了學(xué)生的解題思路。

第三，當(dāng)題目解法比較多時(shí)，首先要掌握通法，這是解決圓錐曲線中點(diǎn)弦問(wèn)題的基本方法，要熟練應(yīng)用這種基本方法，其次，要運(yùn)用解題技巧，如“設(shè)而不求”“點(diǎn)差法”“巧用對(duì)稱”“利用類比聯(lián)想”等，提高解題效率，提升解題能力，最后，要學(xué)會(huì)總結(jié)、歸納、反思，各種方法要擇優(yōu)選用，解完題后要認(rèn)真總結(jié)解題步驟，認(rèn)真反思不同的方法和應(yīng)注意的問(wèn)題及如解法規(guī)律、運(yùn)算規(guī)律、涉及的相關(guān)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想及哪些地方容易忽視等，解完題后也要總結(jié)一下解法中簡(jiǎn)化運(yùn)算的技巧，這樣才能真正在教學(xué)中真正落實(shí)“授人以魚，不如授人以漁”，充分體現(xiàn)“以學(xué)生為主體，以教師為主導(dǎo)”“全面提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)”的教學(xué)理念。

第四，當(dāng)學(xué)生的想法出乎教師的意料時(shí)，教師要有較強(qiáng)的應(yīng)變能力和足夠的耐心，決不能輕易地否定學(xué)生的想法，要善于從學(xué)生的思路中找出其合理部分，從而設(shè)法將“預(yù)設(shè)性課堂”變成“生成性課堂”，并抓住學(xué)生思路中的合理部分，引導(dǎo)學(xué)生展開探究，進(jìn)一步完善問(wèn)題的解法。