多像空間前方交會(huì)的抗差總體最小二乘估計(jì)

李忠美，邊少鋒，瞿 勇

1. 海軍工程大學(xué)導(dǎo)航工程系，湖北 武漢 430033； 2. 海軍工程大學(xué)理學(xué)院，湖北 武漢 430033

?

多像空間前方交會(huì)的抗差總體最小二乘估計(jì)

李忠美1，邊少鋒1，瞿 勇2

1. 海軍工程大學(xué)導(dǎo)航工程系，湖北 武漢 430033； 2. 海軍工程大學(xué)理學(xué)院，湖北 武漢 430033

為充分利用現(xiàn)有觀測(cè)數(shù)據(jù)來(lái)確定地面點(diǎn)位置，根據(jù)立體像對(duì)的前方交會(huì)原理，通過(guò)建立目標(biāo)點(diǎn)到多條同名射線距離的加權(quán)平方和作為目標(biāo)函數(shù)，對(duì)其求一階和二階導(dǎo)數(shù)，得到多像空間前方交會(huì)的抗差總體最小二乘估計(jì)。相對(duì)于立體像對(duì)，多張像片的空間前方交會(huì)方法可利用更多的觀測(cè)信息并引入了穩(wěn)健估計(jì)理論，具有更高的交會(huì)精度及穩(wěn)健性能。最后，通過(guò)算例驗(yàn)證了該方法的正確性與穩(wěn)健性，可一定程度上豐富攝影測(cè)量空間前方交會(huì)理論。

攝影測(cè)量；多張像片；前方交會(huì)；空間距離；總體最小二乘法；選權(quán)迭代法

攝影測(cè)量有著悠久的歷史，目前已廣泛用于不同比例尺的地形測(cè)量及工業(yè)、建筑等非地形測(cè)量[1-3]。盡管其對(duì)象與任務(wù)千差萬(wàn)別，但主要方法都是從二維影像重建三維模型[4-5]，在重建的三維模型上提取所需的各種信息，其中重建三維模型的基礎(chǔ)就是根據(jù)影像確定目標(biāo)點(diǎn)的空間位置。作為一種常用定位方法，立體像對(duì)的空間前方交會(huì)是根據(jù)立體像對(duì)左右兩影像的內(nèi)、外方位元素和同名像點(diǎn)的影像坐標(biāo)量測(cè)值來(lái)確定該點(diǎn)的物方空間坐標(biāo)[6]。這種方法易于理解，運(yùn)算簡(jiǎn)便，卻無(wú)法充分利用更多像片的觀測(cè)數(shù)據(jù)。一旦立體像對(duì)中的某張影像量測(cè)數(shù)據(jù)包含較大誤差，則必然導(dǎo)致錯(cuò)誤的解算結(jié)果，即其抗差性能較差。隨著近景、航空、航天等攝影測(cè)量技術(shù)的發(fā)展[7-10]，包含同一目標(biāo)點(diǎn)的影像在數(shù)量上已經(jīng)相當(dāng)可觀，充分利用這些像片信息，并盡可能降低誤差對(duì)解算結(jié)果的影響，最終實(shí)現(xiàn)地面點(diǎn)定位，具有重要意義。文獻(xiàn)[11]曾提出基于多張像片前方交會(huì)的人工標(biāo)志點(diǎn)匹配方法，并取得較好的匹配效果，然而該方法仍是通過(guò)依次實(shí)現(xiàn)雙片空間前方交會(huì)的方法進(jìn)行物方點(diǎn)篩選。在地面點(diǎn)定位過(guò)程中，若能直接利用所有的觀測(cè)信息，不僅可以減少依次篩選與逐個(gè)剔除而引起的時(shí)間耗費(fèi)，也能有效避免因個(gè)別像片觀測(cè)條件差而引起的定位偏差，最終解算出更精確的地面點(diǎn)位置?？傮w最小二乘方法[12-18]顧及了所有的觀測(cè)信息，被廣泛用于解決測(cè)量學(xué)中觀測(cè)數(shù)據(jù)含有誤差的問(wèn)題，均取得較好成效?？紤]到空間前方交會(huì)的主要思路是“同名射線必在物方空間交于一點(diǎn)”，而實(shí)際作業(yè)中通常會(huì)有測(cè)量誤差的存在，同名射線不會(huì)嚴(yán)格相交，因此，可利用總體最小二乘方法，根據(jù)“目標(biāo)點(diǎn)到多條同名射線的距離平方和最短”這一原則構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)地面點(diǎn)定位[19-21]。最后，通過(guò)引入穩(wěn)健估計(jì)理論和借助選權(quán)迭代法以規(guī)避粗差干擾，并為精度高的觀測(cè)信息賦予較高的權(quán)重[22-27]，給出可直接用于多張像片的空間前方交會(huì)公式。

1 多像片前方交會(huì)定義

如圖1所示，在多個(gè)攝影站點(diǎn)S1、S2、…、Sn對(duì)地面進(jìn)行攝影，可獲取n張像片。地面點(diǎn)A在這n張像片的構(gòu)象分別為a1、a2、…、an。已知n張像片的內(nèi)、外方位元素，將像片按內(nèi)、外方位元素置于攝影時(shí)的位置，在理想情況下，同名射線S1a1、S2a2、…、Snan必將交于一點(diǎn)，即地面點(diǎn)A。這種利用多張像片的內(nèi)、外方位元素及同名像點(diǎn)的像空間坐標(biāo)，通過(guò)交會(huì)解算相應(yīng)模型點(diǎn)坐標(biāo)的過(guò)程，稱為多張像片的空間前方交會(huì)。

圖1 多像空間前方交會(huì)示意圖Fig.1 Sketch of space intersection appropriate for multi-images

2 多像片前方交會(huì)過(guò)程

2.1 構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)

考慮到像點(diǎn)的量測(cè)誤差等因素，這些同名射線并不一定交于同一點(diǎn)甚至不一定相交，在綜合考慮所有觀測(cè)信息的條件下，可通過(guò)構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)，求到同名射線距離的平方和最小的點(diǎn)作為A點(diǎn)

(1)

(2)

考慮到矢量叉乘與點(diǎn)乘之間的關(guān)系，則式(2)可等價(jià)變換為

(3)

式中，各像片權(quán)重pi，旋轉(zhuǎn)矩陣Ri，攝影中心XSi，像點(diǎn)坐標(biāo)xi均為已知，僅地面點(diǎn)A的坐標(biāo)X為未知。通過(guò)解算“到同名射線距離的平方和最小”這一條件而得出的X，即為考慮了所有觀測(cè)點(diǎn)信息的地面點(diǎn)坐標(biāo)。

2.2 總體最小二乘估計(jì)

(4)

(5)

(6)

故式(5)系數(shù)矩陣正定，可逆。因此，必然可確定滿足目標(biāo)函數(shù)最小的地面點(diǎn)A，為

(7)

由于目標(biāo)函數(shù)對(duì)X的一階導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)有且僅有一個(gè)，且其二階導(dǎo)數(shù)即為式(5)的系數(shù)矩陣，根據(jù)上述判定，可知其正定，說(shuō)明該駐點(diǎn)確實(shí)是極小值點(diǎn)，故式(7)即為地面點(diǎn)A的加權(quán)總體最小二乘估計(jì)。

2.3 選權(quán)迭代法

由于在實(shí)際測(cè)量工作中客觀條件的限制，很難完全避免粗差的存在或做到完全同等精度量測(cè)。在平差過(guò)程中，通常引入權(quán)作為比較觀測(cè)值之間相對(duì)精度高低的指標(biāo)，并為精度較高的觀測(cè)數(shù)據(jù)賦予較高的權(quán)重。但是，在各像片量測(cè)誤差分布未知的情況下，難以對(duì)各像片進(jìn)行定權(quán)。隨著解算地面點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)可利用像片數(shù)目的增多，為使參數(shù)的估值盡可能充分利用觀測(cè)數(shù)據(jù)中的有效信息，規(guī)避有害信息的干擾，經(jīng)常會(huì)引入穩(wěn)健估計(jì)的方法。本文選用IGG選權(quán)迭代法來(lái)為觀測(cè)像片賦權(quán)。主要步驟如下：

(2) 分別求地面點(diǎn)A到各射線Siai的距離di，及標(biāo)準(zhǔn)差，如下

(8)

(3) 根據(jù)IGG方案[27]，定義等價(jià)權(quán)因子wi，如下

(9)

(5) 重復(fù)(2)～(4)步，進(jìn)行迭代運(yùn)算，直至兩次估值結(jié)果差異小于限差為止。

3 算例分析

為驗(yàn)證本文方法的可靠性，并分析誤差對(duì)于該方法的影響，以及其對(duì)粗差的探測(cè)效果，假定地面點(diǎn)A的地面攝影測(cè)量坐標(biāo)真值X0=[20010050]T，單位為m以及3組已知內(nèi)、外方位元素的像片(見表1—表3)，其中f為焦距；XS=(XSYSZS)T為攝影中心的地面攝影測(cè)量坐標(biāo)；φ、ω、κ為像片旋轉(zhuǎn)角。

3.1 算法可靠性驗(yàn)證

3.1.1 算法正確性驗(yàn)證

為驗(yàn)證算法的正確性，利用嚴(yán)格共線方程可以推算出該地面點(diǎn)在不同像片上對(duì)應(yīng)像點(diǎn)的像空間坐標(biāo)xi。之后，將這3組像片分別進(jìn)行空間前方交會(huì)，可得出地面點(diǎn)A的新坐標(biāo)X，最后將其與真值進(jìn)行比較。

表1 小航高像片的內(nèi)、外方位元素

Tab.1Bothinteriorandexteriororientationelementsofknownimagesatsmallheights

方位元素像片1像片2像片3像片4像片5像片6f/mm8080100100200200XS/m-600-2000400600800YS/m-500-300-100300500700ZS/m600600700700800800φ/°102015101510ω/°10202052015κ/°10-105-5-105

表2 大航高像片的內(nèi)、外方位元素

Tab.2 Both interior and exterior orientation elements of known images at large heights

方位元素像片1像片2像片3像片4像片5像片6f/mm8080100100200200XS/m-600-2000400600800YS/m-500-300-100300500700ZS/m200002000022000220002500025000φ-20°-5°-100'15'5°20°ω10°-5°-20'20'5°0κ-10°1-30'1'35°

該算例中已知每組6張像片的內(nèi)、外方位元素，地面點(diǎn)坐標(biāo)真值按照嚴(yán)格共線方程模擬出每張像片上對(duì)應(yīng)的像點(diǎn)坐標(biāo)，此時(shí)可認(rèn)為各像片具有同等精度條件，即各像片的權(quán)重均為1，利用本文方法解算出的地面點(diǎn)坐標(biāo)為X=[20010050]T，單位為m與真值相同，該算例驗(yàn)證了本文算法的正確性。

表3 混合航高像片的內(nèi)、外方位元素

Tab.3Bothinteriorandexteriororientationelementsofknownimagesatmixedheights

方位元素像片1像片2像片3像片4像片5像片6f/mm8010020080100200XS/m-6000600-200400800YS/m-500-100500-300300700ZS/m600700800200002200025000φ10°15°15°-5°15'20°ω10°20°20°-5°20'0κ10°5°-10°11'5°

3.1.2 算法穩(wěn)健性驗(yàn)證

為驗(yàn)證本文方法的穩(wěn)健性，以第1組數(shù)據(jù)為例，在各像片像點(diǎn)坐標(biāo)上加入0.5個(gè)像素(像素大小為4 μm)的高斯噪聲，并在像片1中的像點(diǎn)橫坐標(biāo)加入2 mm的粗差，再利用本文方法進(jìn)行多張像片的空間前方交會(huì)，ds為交會(huì)結(jié)果與真值的位移偏差。初次運(yùn)算時(shí)為每張像片賦予權(quán)重為1，每次運(yùn)算的權(quán)和地面點(diǎn)估計(jì)結(jié)果，列于表4。

表4 地面點(diǎn)坐標(biāo)的加權(quán)最小二乘估計(jì)

由表4可以看出，經(jīng)過(guò)多次迭代，含有粗差的像片權(quán)重逐漸減小到0，使其在平差中不起作用。本文方法可通過(guò)在平差過(guò)程中為觀測(cè)值重新賦權(quán)來(lái)規(guī)避粗差， 具有較好的抗差性。而傳統(tǒng)立體像

對(duì)空間前方交會(huì)方法， 由于難以利用多余的觀測(cè)信息，受單張像片觀測(cè)精度的影響較大，抗差性能較差。從圖2、表5中可以看出，由于粗差的存在，立體像對(duì)空間前方交會(huì)結(jié)果中至少有5個(gè)估值與地面點(diǎn)真值相比具有較大偏差。

此外，本文方法除了可剔除粗差的影響外，對(duì)于隨機(jī)誤差也有較好的平衡作用。由圖2、表4、表5可以看出，采用加權(quán)總體最小二乘的多像空間前方交會(huì)結(jié)果精度優(yōu)于立體像對(duì)的解算精度，能取得更穩(wěn)定的交會(huì)結(jié)果，該算例驗(yàn)證了本文方法的穩(wěn)健性。

圖2 不同方法解算結(jié)果的空間分布Fig.2 Distributions of calculated ground point by different methods

交會(huì)結(jié)果X/mY/mZ/mds/m1176.90674.73581.72746.6722193.68989.3170.53123.9933204.15798.4163.54814.2614206.422100.36262.03713.6485208.513102.1860.64213.8026200.027100.03849.9350.087199.986100.00649.9920.0178199.99399.99749.9820.029199.98999.99549.9870.01810199.998100.01650.030.03411200.005100.00850.0050.01112200.005100.0150.0070.01313199.96999.98149.9370.07314199.98199.99549.9770.0315200.009100.00750.0110.016

3.2 不同誤差對(duì)算法的影響分析

為系統(tǒng)分析該算法的特點(diǎn)，需分別研究像點(diǎn)觀測(cè)值誤差及外方位線元素、角元素誤差對(duì)解算結(jié)果的影響，以及它們的綜合影響。以下將從誤差對(duì)于交會(huì)精度的影響以及目標(biāo)點(diǎn)交會(huì)偏差兩方面進(jìn)行分析。

3.2.1 誤差對(duì)交會(huì)精度的影響分析

經(jīng)試驗(yàn)，3種誤差分別對(duì)本文算法交會(huì)精度的影響具有類似的特性。因此，為節(jié)省篇幅，文中將重點(diǎn)針對(duì)像點(diǎn)坐標(biāo)誤差對(duì)于交會(huì)精度的影響進(jìn)行分析，同時(shí)直接給出外方位線元素、角元素分別對(duì)于算法交會(huì)精度的影響結(jié)果，而對(duì)其過(guò)程不再贅述。

為分析本文方法交會(huì)精度受像點(diǎn)坐標(biāo)誤差的影響情況，重復(fù)進(jìn)行10 000次試驗(yàn)后，將99.9%置信度對(duì)應(yīng)的精度值作為其交會(huì)精度。圖3(a)—圖3(f)分別為不同誤差水平下(像點(diǎn)觀測(cè)誤差由0.5～3個(gè)像素(像素大小為4 μm)遞增)，10 000次試驗(yàn)中小航高像片的定位精度頻數(shù)直方圖。

圖3 小航高像片在不同噪聲水平下的交會(huì)精度Fig.3 Intersection accuracy of images at small heights under different noises in image coordinates

由圖3可以看出，當(dāng)像點(diǎn)坐標(biāo)的誤差水平不同，本文方法具有不同的交會(huì)精度。像點(diǎn)坐標(biāo)含有的誤差越小，交會(huì)精度越高；像點(diǎn)坐標(biāo)誤差越大，交會(huì)結(jié)果的精度越低。其中，在像點(diǎn)坐標(biāo)含有1.5個(gè)像素誤差水平下，可實(shí)現(xiàn)1 dm的交會(huì)精度?？紤]到本文交會(huì)方法可以綜合考慮多張像片的信息，具有更好的穩(wěn)健性，因此它對(duì)于觀測(cè)誤差的敏感程度較低。為說(shuō)明這一特性，并與傳統(tǒng)立體像對(duì)空間前方交會(huì)方法進(jìn)行對(duì)比，在置信度為99.9%的情況下，可繪制其交會(huì)精度隨著像點(diǎn)坐標(biāo)誤差(0～100像素誤差，間隔0.5像素進(jìn)行試驗(yàn))的變化曲線，如圖4(a)所示。

同理，可繪制出另兩組像片組合(大航高像片組合(0～0.5像素誤差，間隔0.01像素進(jìn)行試驗(yàn))及混合航高像片組合(0～15像素誤差，間隔0.5像素進(jìn)行試驗(yàn)))的交會(huì)精度隨著像點(diǎn)坐標(biāo)誤差的變化曲線，分別如圖4(b)、圖4(c)所示。

由圖4可以看出，傳統(tǒng)立體像對(duì)與本文多像空間前方交會(huì)方法的交會(huì)精度均隨著像點(diǎn)坐標(biāo)誤差的增大而近似線性下降。且同等誤差水平條件下，各組像片采用本文方法具有明顯較高的交會(huì)精度。

圖4 不同航高像片交會(huì)精度隨像點(diǎn)坐標(biāo)誤差的變化趨勢(shì)Fig.4 Intersection accuracy of images at different heights with image coordinates errors

為給出本文算法交會(huì)精度隨著像點(diǎn)坐標(biāo)誤差的變化率，可利用Origin的Linear Fit功能擬合出直線的斜率。類似地，由于交會(huì)精度隨著外方位線元素(試驗(yàn)數(shù)據(jù)：小航高像片組合外方位線元素誤差0～5 m，間隔0.1 m進(jìn)行試驗(yàn)；大航高像片組合外方位線元素誤差0～0.5 m，間隔0.01 m進(jìn)行試驗(yàn)；混合航高像片組合0～5 m外方位線元素誤差，間隔0.1 m進(jìn)行試驗(yàn))、角元素(試驗(yàn)數(shù)據(jù)：小航高像片組合外方位角元素誤差0～600″，間隔10″進(jìn)行試驗(yàn)；大航高像片組合外方位角元素誤差0～5″，間隔0.01″進(jìn)行試驗(yàn)；混合航高像片組合0～90″外方位角元素誤差，間隔1″進(jìn)行試驗(yàn))誤差也呈線性遞減趨勢(shì)，可同樣給出直線斜率，列于表6，其中像點(diǎn)坐標(biāo)、線元素、角元素誤差的橫坐標(biāo)單位分別為像素、米及角秒。

由表6可以得出，采用本文多像空間前方交會(huì)方法，當(dāng)小航高像片上像點(diǎn)坐標(biāo)在1個(gè)像素誤差水平時(shí)，可實(shí)現(xiàn)約7 cm的交會(huì)精度，而當(dāng)誤差為100個(gè)像素時(shí)，仍可實(shí)現(xiàn)7 m的交會(huì)精度；大航高像片上像點(diǎn)坐標(biāo)在0.5個(gè)像素誤差水平條件下，具有約18 m的交會(huì)精度，而混合航高像片的像點(diǎn)坐標(biāo)在1個(gè)像素誤差水平時(shí)，具有1 m左右的交會(huì)精度。小航高像片外方位線元素在1 m誤差水平條件下，可實(shí)現(xiàn)約2.3 m的交會(huì)精度；大航高像片外方位線元素在0.5 m誤差水平條件下，具有約23 m的交會(huì)精度，而混合航高像片外方位線元素在1 m誤差水平條件下，具有約3 m的交會(huì)精度。小航高像片外方位角元素在1″誤差水平條件下，具有約1 cm的交會(huì)精度；大航高像片外方位角元素在1″誤差水平下，具有5 m左右的交會(huì)精度，而混合航高像片外方位線元素在1″誤差水平條件下，具有1.5 dm左右的交會(huì)精度。

結(jié)合圖4及表6可以得出，同等誤差水平條件下，本文方法前方交會(huì)精度遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于傳統(tǒng)立體像對(duì)方法。利用本文方法進(jìn)行空間前方交會(huì)的過(guò)程中，小航高像片的交會(huì)精度受誤差影響最小，具有最高的交會(huì)精度，混合航高像片次之，而大航高像片對(duì)誤差最為敏感。因此，在處理大航高像片數(shù)據(jù)時(shí)，可適當(dāng)增加小航高像片信息，可有效降低其對(duì)誤差的敏感性，進(jìn)而提高交會(huì)精度。

表6 交會(huì)精度隨著不同誤差的變化率Tab.6 Change rate of intersection accuracy with different errors

3.2.2 誤差對(duì)交會(huì)點(diǎn)位置偏差的影響分析

為充分分析本文算法受誤差的影響特點(diǎn)，需研究地面點(diǎn)交會(huì)結(jié)果隨著誤差的偏移情況。參考文獻(xiàn)[28]，設(shè)計(jì)以下仿真試驗(yàn)。

(1) 地面點(diǎn)坐標(biāo)真值：在一定區(qū)域范圍內(nèi)選取均勻分布的100個(gè)地面點(diǎn)，其坐標(biāo)已知。

(2) 誤差大小：分別在像點(diǎn)坐標(biāo)、外方位線元素、角元素上引入10像素、100 m、30″的誤差。

(3) 地面點(diǎn)坐標(biāo)解算值：引入步驟(2)中的誤差，利用本文方法進(jìn)行多像空間前方交會(huì)，獲得地面點(diǎn)位置的解算值。

(4) 交會(huì)結(jié)果分析：將地面點(diǎn)解算值與真值進(jìn)行比較，繪制地面點(diǎn)解算值各分量的偏差示意圖，如圖5—圖7所示。最后，分析不同誤差對(duì)于交會(huì)結(jié)果的影響及它們的綜合影響。

圖5 小航高像片上不同誤差引起的地面點(diǎn)位置偏差分布圖Fig.5 Deviation distribution of ground points brought by different errors on images at small heights

圖6 大航高像片上不同誤差引起的地面點(diǎn)位置偏差示意圖Fig.6 Deviation of ground points brought by different errors on images at large heights

圖7 小航高像片上不同誤差引起的地面點(diǎn)位置偏差分布圖Fig.7 Deviation distribution of ground points brought by different errors on images at mixed heights

由圖5可以看出，小航高像片在單獨(dú)加載像點(diǎn)坐標(biāo)、外方位線元素、角元素誤差時(shí)，其X、Y、Z3分量之間的偏差曲線幅度較為相似，沒(méi)有明顯差別，但整體來(lái)說(shuō)，線元素上的100 m誤差將使得交會(huì)結(jié)果與真值之間產(chǎn)生最大的偏差。在3種噪聲的綜合影響下，X、Y、Z3分量之間的偏差幅度相近，整體幅度水平接近于單獨(dú)加載100 m線元素誤差的情形。

由圖6可以看出，大航高像片在單獨(dú)加載像點(diǎn)坐標(biāo)、外方位線元素、角元素誤差時(shí)，其X、Y分量的偏差幅度相近，明顯較Z分量更為穩(wěn)定，受誤差的影響較小。整體來(lái)說(shuō)，線元素上的100 m誤差將使得交會(huì)結(jié)果與真值之間產(chǎn)生最大的偏差。在3種噪聲的綜合影響下，整體偏差幅度與單獨(dú)加載100 m線元素誤差的情形相近。

由圖7可以看出，相對(duì)于大航高像片組合，在混合航高像片中，Z分量對(duì)于各種誤差的敏感程度大大降低，甚至在單獨(dú)加載像點(diǎn)坐標(biāo)和角元素誤差的情況下，較X及Y分量偏差幅度更小。而在單獨(dú)加載線元素誤差時(shí)，Z分量表現(xiàn)的稍為敏感，偏差幅度較X及Y分量略大。

綜合圖5—圖7可得，同等噪聲水平分別加載到不同航高的像片組合中，會(huì)引起交會(huì)結(jié)果的偏差程度不同，其中小航高像片交會(huì)偏差最小，混合航高像片次之，大航高像片交會(huì)結(jié)果最差。在利用大航高進(jìn)行多像空間前方交會(huì)時(shí)，目標(biāo)點(diǎn)的Z分量對(duì)于誤差較為敏感，以致交會(huì)結(jié)果產(chǎn)生較大偏差。此時(shí)，可以適當(dāng)利用小航高像片信息，有效降低Z分量對(duì)誤差的敏感程度，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)更高的交會(huì)精度。

3.3 對(duì)粗差的剔除效果分析

為系統(tǒng)分析本文算法的特性，需研究該方法對(duì)于粗差的剔除能力。經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)粗差分別存在于像點(diǎn)坐標(biāo)或外方位元素中時(shí)，本文算法對(duì)于粗差的探測(cè)能力具有一些通性，此部分僅以粗差存在像點(diǎn)坐標(biāo)中予以說(shuō)明。同時(shí)，考慮到粗差出現(xiàn)的概率低且文中各組像片的數(shù)目較少，因此文中僅考慮每組像片數(shù)據(jù)中僅有一個(gè)粗差的情況。

首先，分別在小航高、大航高像片組合中第1張像片的橫坐標(biāo)上加入不同大小的粗差，同時(shí)使像點(diǎn)坐標(biāo)誤差逐漸增加，可繪制不同粗差的剔除率隨著像點(diǎn)坐標(biāo)誤差變化的曲線，如圖8、圖9所示。

圖8 小航高像片粗差剔除率隨像點(diǎn)坐標(biāo)誤差的變化曲線Fig.8 Gross error elimination of images at small height with noises in image coordinates

圖9 大航高像片粗差剔除率隨像點(diǎn)坐標(biāo)誤差的變化曲線Fig.9 Gross error elimination of images at large height with noises in image coordinates

由圖8—圖9可以看出，同等粗差情況下，粗差剔除率隨著像點(diǎn)坐標(biāo)誤差的增大而逐漸減小，即噪聲越小，更容易發(fā)現(xiàn)粗差。在同等像點(diǎn)坐標(biāo)誤差水平時(shí)，大粗差更容易被剔除。小航高的像片在具有小于17個(gè)像素像點(diǎn)坐標(biāo)誤差時(shí)，可以完全剔除大于1 mm的粗差。在像點(diǎn)坐標(biāo)誤差小于100個(gè)像素時(shí)，小航高的像片可以不小于98%的概率剔除大于4 mm的粗差。大航高的像片在含有0.1個(gè)像素的像點(diǎn)坐標(biāo)誤差時(shí)，可以以95%的概率剔除1像素的粗差，在像點(diǎn)坐標(biāo)0.5個(gè)像素以內(nèi)的誤差時(shí)，可以99%的概率剔除6個(gè)像素的粗差。

為了分析混合航高像片組合的粗差剔除能力，本文在混合航高像片組合中的低航高與高航高像片上分別加以同等大小粗差，并繪制粗差剔除率隨著噪聲的變化曲線，如圖10(a)—圖10(b)所示。

圖10 混合航高像片粗差剔除率隨像點(diǎn)坐標(biāo)誤差的變化曲線Fig.10 Gross error elimination of images at mixed height with noises in image coordinates

對(duì)比圖10(a)、圖10(b)可以看出，在混合航高像片組合中，當(dāng)像點(diǎn)坐標(biāo)誤差為5個(gè)像素時(shí)，可以98%的概率剔除大航高像片上包含的0.1 mm的粗差；當(dāng)像點(diǎn)坐標(biāo)誤差為15個(gè)像素時(shí)，可以接近100%的概率剔除大航高像片上包含的0.4 mm以上的粗差。而在同等像點(diǎn)坐標(biāo)誤差水平條件下，包含在小航高像片中的同等大小的粗差則難以被剔除。即混合航高像片組合對(duì)于大航高像片上的粗差更敏感，同等誤差水平條件下，出現(xiàn)在大航高像片上的粗差更容易被發(fā)現(xiàn)。這是因?yàn)樵谕却笮〈植畲嬖跁r(shí)，大航高像片上的粗差會(huì)引起它所決定的同名射線產(chǎn)生較大偏差，因此在選權(quán)迭代過(guò)程中會(huì)被賦予較小的權(quán)重。若小航高像片上的粗差繼續(xù)增大超過(guò)一定數(shù)值時(shí)，即由它決定的同名射線發(fā)生更大偏差時(shí)，可使其很快被剔除。

4 結(jié) 語(yǔ)

參考傳統(tǒng)立體像對(duì)的空間前方交會(huì)原理，根據(jù)“目標(biāo)點(diǎn)到同名射線距離的加權(quán)平方和最小”這一原則建立目標(biāo)函數(shù)，實(shí)現(xiàn)多像空間前方交會(huì)，可得出如下結(jié)論：

(1) 根據(jù)總體最小二乘方法建立目標(biāo)函數(shù)，對(duì)待求參數(shù)求一階和二階導(dǎo)數(shù)，當(dāng)至少存在兩條不平行的同名光線時(shí)，即可利用本文方法進(jìn)行空間前方交會(huì)來(lái)確定地面點(diǎn)坐標(biāo)。

(2) 采用選權(quán)迭代的方法，可以有效剔除觀測(cè)數(shù)據(jù)中包含的粗差，規(guī)避粗差對(duì)于解算結(jié)果的干擾，同時(shí)為精度較高的觀測(cè)數(shù)據(jù)賦予更高的權(quán)重，更利于得到精確的交會(huì)結(jié)果。

(3) 相對(duì)于立體像對(duì)，多張像片的空間前方交會(huì)能利用更多的觀測(cè)信息，提高觀測(cè)數(shù)據(jù)的利用率，可有效降低物點(diǎn)估計(jì)值Z分量對(duì)于大航高像片所含誤差的敏感性，使估計(jì)結(jié)果具有更好的穩(wěn)健性，一定程度上豐富了攝影測(cè)量理論。

[1] 馮其強(qiáng), 李廣云, 李宗春. 數(shù)字工業(yè)攝影測(cè)量技術(shù)及應(yīng)用[M]. 北京: 測(cè)繪出版社, 2013. FENG Qiqiang, LI Guangyun, LI Zongchun. Digital Industrial Photogrammetry Technology and Applications[M]. Beijing: Surveying and Mapping Press, 2013.

[2] 張劍清, 潘勵(lì), 王樹根. 攝影測(cè)量學(xué)[M]. 武漢: 武漢大學(xué)出版社, 2009. ZHANG Jianqing, PAN Li, WANG Shugen. Photogrammetry[M]. Wuhan: Wuhan University Press, 2009.

[3] 王佩軍, 徐亞明. 攝影測(cè)量學(xué)[M]. 武漢: 武漢大學(xué)出版社, 2005. WANG Peijun, XU Yaming. Photogrammetry[M]. Wuhan: Wuhan University Press, 2005.

[4] 鄭順義, 郭寶云, 李彩林. 基于模型和廣義點(diǎn)攝影測(cè)量的圓柱體自動(dòng)三維重建與檢測(cè)[J]. 測(cè)繪學(xué)報(bào), 2011, 40(4): 477-482. ZHENG Shunyi, GUO Baoyun, LI Cailin. 3D Reconstruction and Inspection of Cylinder Based on Geometric Model and Generalized Point Photogrammetry[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica, 2011, 40(4): 477-482.

[5] 張春森, 張衛(wèi)龍, 郭丙軒, 等. 傾斜影像的三維紋理快速重建[J]. 測(cè)繪學(xué)報(bào), 2015, 44(7): 782-790. DOI: 10.11947/j.AGCS.2015.20140341. ZHANG Chunsen, ZHANG Weilong, GUO Bingxuan, et al. Rapidly 3D Texture Reconstruction Based on Oblique Photography[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica, 2015, 44(7): 782-790. DOI: 10.11947/j.AGCS.2015.20140341.

[6] 盛慶紅, 肖暉. 衛(wèi)星遙感與攝影測(cè)量[M]. 北京: 科學(xué)出版社, 2015. SHENG Qinghong, XIAO Hui. Satellite Remote Sensing and Photogrammetry[M]. Beijing: Science Press, 2015.

[7] 曾凡洋, 鐘若飛, 宋楊, 等. 車載全景影像核線匹配和空間前方交會(huì)[J]. 遙感學(xué)報(bào), 2014, 18(6): 1230-1236. ZENG Fanyang, ZHONG Ruofei, SONG Yang, et al. Vehicle Panoramic Image Matching Based on Epipolar Geometry and Space Forward Intersection[J]. Journal of Remote Sensing, 2014, 18(6): 1230-1236.

[8] 張祖勛, 郭大海, 柯濤, 等. 抗震救災(zāi)中航空攝影測(cè)量的應(yīng)急響應(yīng)[J]. 遙感學(xué)報(bào), 2008, 12(6): 852-857. ZHANG Zuxun, GUO Dahai, KE Tao, et al. The Use of Aerial Photogrammetry in the Fast Response for China Earthquake Rescue[J]. Journal of Remote Sensing, 2008, 12(6): 852-857.

[9] 王任享, 胡莘, 王新義, 等. “天繪一號(hào)”衛(wèi)星工程建設(shè)與應(yīng)用[J]. 遙感學(xué)報(bào), 2012, 16(S): 2-5. WANG Renxiang, HU Xin, WANG Xinyi, et al. The Construction and Application of Mapping Satellite-1 Engineering[J]. Journal of Remote Sensing, 2012, 16(S): 2-5.

[10] 王任享, 胡莘, 王建榮. 天繪一號(hào)無(wú)地面控制點(diǎn)攝影測(cè)量[J]. 測(cè)繪學(xué)報(bào), 2013, 42(1): 1-5. WANG Renxiang, HU Xin, WANG Jianrong. Photogrammetry of Mapping Satellite-1 without Ground Control Points[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica, 2013, 42(1): 1-5.

[11] 馮其強(qiáng), 黃桂平, 李廣云. 基于多片前方交會(huì)的工業(yè)攝影測(cè)量自動(dòng)匹配[J]. 中國(guó)圖像圖形學(xué)報(bào), 2009, 14(6): 1194-1198. FENG Qiqiang, HUANG Guiping, LI Guangyun. Auto-matching of Artificial Target Points in Industrial Photogrammetry Based on Space Intersection[J]. Journal of Image and Graphics, 2009, 14(6): 1194-1198.

[12] 張曉東, 楊元喜, 胡慶武, 等. 可量測(cè)序列影像的加權(quán)整體最小二乘導(dǎo)航[J]. 應(yīng)用科學(xué)學(xué)報(bào), 2013, 31(2): 147-153. ZHANG Xiaodong, YANG Yuanxi, HU Qingwu, et al. Weighted Global Least Square Navigation Based on Measurable Image Sequence[J]. Journal of Applied Sciences-Electronics and Information Engineering, 2013, 31(2): 147-153.

[13] 龔循強(qiáng), 李志林. 穩(wěn)健加權(quán)總體最小二乘法[J]. 測(cè)繪學(xué)報(bào), 2014, 43(9): 888-894, 901. DOI: 10.13485/j.cnki.11-2089.2014.0140. GONG Xunqiang, LI Zhilin. A Robust Weighted Total Least Squares Method[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica, 2014, 43(9): 888-894, 901. DOI: 10.13485/j.cnki.11-2089.2014.0140.

[14] 王彬, 李建成, 高井祥, 等. 抗差加權(quán)整體最小二乘模型的牛頓-高斯算法[J]. 測(cè)繪學(xué)報(bào), 2015, 44(6): 602-608. DOI: 10.11947/j.AGCS.2015.20130704. WANG Bin, LI Jiancheng, GAO Jingxiang, et al. Newton-Gauss Algorithm of Robust Weighted Total Least Squares Model[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica, 2015, 44(6): 602-608. DOI: 10.11947/j.AGCS.2015.20130704.

[15] GOLUB G H, VAN LOAN C F. An Analysis of the Total Least Squares Problem[J]. SIAM Journal on Numerical Analysis, 1980, 17(6): 883-893.

[16] VAN HUFFEL S, VANDEWALLE J. The Total Least Squares Problem: Computational Aspects and Analysis[M]. Philadelphia: SIAM, 1991.

[17] MARKOVSKY I, VAN HUFFEL S. Overview of Total Least-squares Methods[J]. Signal Processing, 2007, 87(10): 2283-2302.

[18] 張賢達(dá). 矩陣分析與應(yīng)用[M]. 2版. 北京: 清華大學(xué)出版社, 2013. ZHANG Xianda. Matrix Analysis and Applications[M]. Beijing: Tsinghua University Press, 2013.

[19] 胡川, 陳義, 朱衛(wèi)東, 等. 整體最小二乘和最小二乘擬合空間直線的比較[J]. 大地測(cè)量與地球動(dòng)力學(xué), 2015, 35(4): 689-692, 701. HU Chuan, CHEN Yi, ZHU Weidong, et al. Comparisons of Total Least Squares and Least Squares for Fitting Spatial Lines[J]. Journal of Geodesy and Geodynamics, 2015, 35(4): 689-692, 701.

[20] DING Ye, ZHU Limin, DING Han. Semidefinite Programming for Chebyshev Fitting of Spatial Straight Line with Applications to Cutter Location Planning and Tolerance Evaluation[J]. Precision Engineering, 2007, 31(4): 364-368.

[21] 潘國(guó)榮, 唐杭. 特征分解與選權(quán)迭代在空間直線擬合中的應(yīng)用[J]. 東南大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2013, 43(S2): 250-255. PAN Guorong, TANG Hang. Application of Eigen Decomposition and Selecting Weight Iteration in Spatial Line Fitting[J]. Journal of Southeast University (Natural Science Edition), 2013, 43(S2): 250-255.

[22] 姚宜斌, 劉經(jīng)南, 施闖. 相關(guān)穩(wěn)健估計(jì)及其在測(cè)量數(shù)據(jù)處理中的應(yīng)用[J]. 測(cè)繪信息與工程, 2001(3): 5-8. YAO Yibin, LIU Jingnan, SHI Chuang. Dependent Robust Estimation and Its Applications in Survey Data Processing[J]. Journal of Geomatics, 2001, 2001(3): 5-8.

[23] 楊元喜, 宋力杰, 徐天河. 大地測(cè)量相關(guān)觀測(cè)抗差估計(jì)理論[J]. 測(cè)繪學(xué)報(bào), 2002, 31(2): 95-99. YANG Yuanxi, SONG Lijie, XU Tianhe. Robust Parameter Estimation for Geodetic Correlated Observations[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica, 2002, 31(2): 95-99.

[24] 李德仁, 袁修孝. 誤差處理與可靠性理論[M]. 武漢: 武漢大學(xué)出版社, 2012. LI Deren, YUAN Xiuxiao. Error Processing and Reliability Theory[M]. Wuhan: Wuhan University Press, 2012.

[25] 王新洲, 陶本藻, 邱衛(wèi)寧, 等. 高等測(cè)量平差[M]. 北京: 測(cè)繪出版社, 2013. WANG Xinzhou, TAO Benzao, QIU Weining, et al. Advanced Surveying Adjustment[M]. Beijing: Surveying and Mapping Press, 2013.

[26] 費(fèi)業(yè)泰. 誤差理論與數(shù)據(jù)處理[M]. 北京: 機(jī)械工業(yè)出版社, 2015. FEI Yetai. Errors Theory and Data Processing[M]. Beijing: China Machine Press, 2015.

[27] 周江文. 經(jīng)典誤差理論與抗差估計(jì)[J]. 測(cè)繪學(xué)報(bào), 1989, 18(2): 115-120. ZHOU Jiangwen. Classical Theory of Errors and Robust Estimation[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica, 1989, 18(2): 115-120.

[28] 袁修孝, 曹金山. 高分辨率衛(wèi)星遙感精確對(duì)地目標(biāo)定位理論與方法[M]. 北京: 科學(xué)出版社, 2012. YUAN Xiuxiao, CAO Jinshan. Theories and Methods of Precise Object Positioning for High Resolution Satellite Imagery[M]. Beijing: Science Press, 2012.

(責(zé)任編輯：陳品馨)

歡迎訂閱《測(cè)繪通報(bào)》

《測(cè)繪通報(bào)》創(chuàng)刊于1955年，是由國(guó)家測(cè)繪地理信息局主管、中國(guó)地圖出版社(測(cè)繪出版社)主辦的反映我國(guó)測(cè)繪地理信息科技發(fā)展現(xiàn)狀和指導(dǎo)全國(guó)測(cè)繪地理信息生產(chǎn)業(yè)務(wù)的綜合性、技術(shù)性刊物。現(xiàn)為《中文核心期刊要目總覽》收錄期刊、中國(guó)科技核心期刊(中國(guó)科技論文統(tǒng)計(jì)源期刊)、中國(guó)科學(xué)引文數(shù)據(jù)庫(kù)(CSCD)核心統(tǒng)計(jì)源期刊、中國(guó)學(xué)術(shù)期刊網(wǎng)絡(luò)出版總庫(kù)(CAJD)全文收錄期刊、中國(guó)學(xué)術(shù)期刊綜合評(píng)價(jià)數(shù)據(jù)庫(kù)(CAJCED)核心統(tǒng)計(jì)源期刊、《中國(guó)學(xué)術(shù)期刊文摘》收錄期刊。曾被評(píng)為第二、三屆國(guó)家期刊獎(jiǎng)百種重點(diǎn)期刊，多次榮獲全國(guó)優(yōu)秀測(cè)繪期刊獎(jiǎng)。

《測(cè)繪通報(bào)》的主要內(nèi)容包括大地測(cè)量、全球?qū)Ш叫l(wèi)星系統(tǒng)(GNSS)、攝影測(cè)量、遙感(RS)、地圖制圖、地理信息系統(tǒng)(GIS)、工程測(cè)量、礦山測(cè)量、地籍測(cè)繪、海洋測(cè)繪、測(cè)繪儀器、信息傳輸、圖形圖像處理等方面的新成果和新技術(shù)；行業(yè)管理、科研、教學(xué)、生產(chǎn)的先進(jìn)經(jīng)驗(yàn)；計(jì)算機(jī)、通信等相關(guān)理論技術(shù)在測(cè)繪地理信息領(lǐng)域里的應(yīng)用及測(cè)繪地理信息科技在國(guó)家經(jīng)濟(jì)建設(shè)各個(gè)方面的應(yīng)用；國(guó)內(nèi)外測(cè)繪地理信息學(xué)術(shù)動(dòng)態(tài)及有關(guān)測(cè)繪地理信息科技信息等。

《測(cè)繪通報(bào)》的主要欄目有學(xué)術(shù)研究、技術(shù)交流、測(cè)繪地理信息論壇、經(jīng)驗(yàn)介紹、測(cè)量員之窗、國(guó)外測(cè)繪地理信息、行業(yè)管理、行業(yè)研究、行業(yè)調(diào)查、知識(shí)窗、新書介紹、企業(yè)之窗、測(cè)繪地理信息教學(xué)等。

《測(cè)繪通報(bào)》(月刊)2017年定價(jià)：35.00元/期，郵發(fā)代號(hào)：2-223。

編輯部地址：北京市西城區(qū)三里河路50號(hào)，郵編：100045，訂閱電話：010-68531192(金老師)，68531317(傳真)。

網(wǎng)址：http:∥tb.sinomaps.com

LI Zhongmei (1990—), female, PhD candidate, majors in theory of photogrammetry.

BIAN Shaofeng

Robust Total Least Squares Estimation of Space Intersection Appropriate for Multi-images

LI Zhongmei1，BIAN Shaofeng1，QU Yong2

1. Department of Navigation, Naval University of Engineering, Wuhan 430033, China; 2. College of Science, Naval University of Engineering, Wuhan 430033, China

In order to take full advantage of available observation resources, based on theory of space intersection with stereo images, by conducting weighted quadratic sum of spatial distance from the target point to multiple space lines as the objective function and carrying out its first as well as second derivatives, robust total least squares estimation of space intersection appropriate for multi-images was realized. Compared to stereopair, more observed information and theories of robust estimation were considered in the process of space intersection with multi-images, bringing about higher intersection accuracy and robustness. Finally, correctness and robustness of the method was verified though example analysis, which can enrich the space intersection theory in photogrammetry to some degree.

photogrammetry; multi-images; space intersection; spatial distance; total least squares method; reweighting iteration method

The National Natural Science Foundation of China (Nos. 41631072; 41471387; 41604010)

李忠美，邊少鋒，瞿勇.多像空間前方交會(huì)的抗差總體最小二乘估計(jì)[J].測(cè)繪學(xué)報(bào)，2017,46(5)：593-604.

10.11947/j.AGCS.2017.20160081. LI Zhongmei，BIAN Shaofeng，QU Yong.Robust Total Least Squares Estimation of Space Intersection Appropriate for Multi-images[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica,2017,46(5):593-604. DOI:10.11947/j.AGCS.2017.20160081.

2016-02-29

李忠美(1990—)，女，博士生，研究方向?yàn)閿z影測(cè)量理論算法。

E-mail： 15827116839@163.com

邊少鋒

E-mail： sfbian@sina.com

P231

A

1001-1595(2017)05-0593-12

國(guó)家自然科學(xué)基金(41631072; 41471387; 41604010)

修回日期： 2017-02-22