分類討論思想研究提高解題能力

江蘇省常熟市尚湖高級(jí)中學(xué)(215500)

陸志峰●

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分類討論思想研究提高解題能力

江蘇省常熟市尚湖高級(jí)中學(xué)(215500)

陸志峰●

本文敘述了分類討論的由來；分類討論的依據(jù)；分類的原則；簡化和避免分類討論的優(yōu)化策略.本文第二部分和第三部分通過實(shí)踐說明分類討論思想在實(shí)踐中的應(yīng)用.

不等式；數(shù)列；直線方程；拋物線；焦點(diǎn)弦

一、分類討論思想認(rèn)知

1.分類討論是一種邏輯方法，在中學(xué)數(shù)學(xué)中有著極廣泛的應(yīng)用.根據(jù)不同標(biāo)準(zhǔn)可以有不同的分類方法，但分類必須從同一標(biāo)準(zhǔn)出發(fā)，做到不重復(fù)、不遺漏，包括各種情況，同時(shí)要有利于問題研究.

2.引導(dǎo)分類討論的原因大致可歸納為以下幾種：

(1)涉及的數(shù)學(xué)概念是分類討論的如絕對值|a|的定義：分a>0,a=0,a<0三種情況.這種分類討論題型可以稱為概念型.

(2)運(yùn)用的數(shù)學(xué)定理、公式或運(yùn)算性質(zhì)、法則是分類給出的，如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式，分q=1和q≠1兩種情況，這種分類討論題型可以稱為性質(zhì)型.

(3)求解的數(shù)學(xué)問題的結(jié)論有多種情況或多種可能性.如排列、組合、概率中較常見.

(4)數(shù)學(xué)問題中含有參變量，這些參變量的不同取值導(dǎo)致不同的結(jié)果.如解不等式ax>2時(shí)，分a>0，a=0和a<0三咱情況討論，這稱為含參型.

(5)較復(fù)雜或非常規(guī)的數(shù)學(xué)問題，需要采取分類討論的解題策略來解決的.

3.分類討論就是依據(jù)一定的標(biāo)準(zhǔn)，對問題分類、求解，要特別注意分類必須滿足互斥、無漏、最簡的原則，分類討論常見的依據(jù)是：

(1)由概念內(nèi)涵分類，如絕對值、直線的斜率、指數(shù)對數(shù)函數(shù)、直線與平面的夾角等定義包含了分類.

(2)由公式條件分類，如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、極限的計(jì)算、圓錐曲線的統(tǒng)一定義中圖形的分類等.

(3)由實(shí)際意義分類，如排列、組合、概率中較常見，但不明顯，有些應(yīng)用問題也需分類討論.

4.分類原則

(1)對所討論的全域分類要“即不重復(fù)，也不遺漏”；

(2)在同一次討論中只能按所確定的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行；

(3)對多級(jí)討論，應(yīng)逐級(jí)進(jìn)行，不能越級(jí).

5.簡化和避免分類討論的優(yōu)化策略

(1)直接回避，如運(yùn)用瓜下法、求補(bǔ)法、消參法等方法有時(shí)可以避開煩瑣的討論；

(2)變更主元，如分離參數(shù)、變參置換，構(gòu)造以討論對象為變量的函數(shù)形式解題時(shí)可避開討論；

(3)合理運(yùn)算，如利用函數(shù)奇偶性、變量的對稱輪換以及公式的合理選用等有時(shí)間可以簡化甚至避開討論；

(4)數(shù)形結(jié)合，利用函數(shù)圖象、幾何圖形的直觀性和對稱特點(diǎn)有時(shí)可以簡化甚至避開討論.

在學(xué)習(xí)中也要注意優(yōu)化策略，有時(shí)利用轉(zhuǎn)化策略，如反證法、補(bǔ)集法、變更多元法、數(shù)形結(jié)合法等簡化甚至避開討論.

二、分類討論思想實(shí)踐典例

題型：分類討論問題在不等式中的應(yīng)用

例題1 解關(guān)于x的不等式：ax2-(a+1)x+1<0.

解 (1)當(dāng)a=0時(shí)，原不等式化為-x+1<0

∴x>1.

點(diǎn)評(píng) 這是一個(gè)含參數(shù)a的不等式，一定是一元二次不等式嗎？不一定，故首先對二次項(xiàng)系數(shù)a分類：

題型：分類討論問題在數(shù)列中的應(yīng)用

例題2 已知數(shù)列{an}滿足a1=0,a2=2,且對任意m、n∈N*都有a2m-1+a2n-1=2am+n-1+2(m-n)2.(1)求a3,a4;(2)設(shè)bn=a2n+1-a2n-1(n∈N*),證明：{bn}是等差數(shù)列；(3)設(shè)cn=(an+1-an)qn-1(q≠0,n∈N*),求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn.

解 (1)由題意，令m=2，n=1，可得a3=2a2-a1+2=6;再令m=3,n=1，可得a5=2a3-a1+8=20.

(2)當(dāng)n∈N*時(shí)，由已知(以n+2代替m)可得：a2n+3+a2n-1=2a2n+1+8.

于是[a2(n+1)+1-a2(n+1)-1]-(a2n+1-a2n-1)=8,即bn+1-bn=8,所以{bn}是公差為8的等差數(shù)列.

當(dāng)q=1時(shí)，Sn=2+4+6+…+2n=n(n+1).當(dāng)q≠1時(shí)，Sn=2·q0+4·q1+6·q2+…+2n·qn-1.兩邊同乘以q,可得qSn=2·q1+4·q2+6·q3+…+2n·qn.

點(diǎn)評(píng) 等比數(shù)列的求和公式只適合于q≠1，特別是公比q中含參數(shù)時(shí)，需要分類討論.

三、分類討論思想應(yīng)用討論

題型：巧設(shè)直線方程避免分類討論

在解決拋物線y2=2px(p>0)焦點(diǎn)弦問題時(shí)，常用點(diǎn)斜式設(shè)焦點(diǎn)弦方程，但此時(shí)，要考慮斜率k存在與不存在兩種情況.如果我們巧妙的設(shè)其方程為：x=my+p/2或x=ycotθ+p/2(θ為焦點(diǎn)弦的傾斜角，0°<θ<180°)就可避免分類討論的麻煩.

例題3 設(shè)拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在拋物線的準(zhǔn)線上，且BC∥x軸，證明直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O.

分析 常規(guī)解法是按k不存在設(shè)方程為x=p/2，k存在設(shè)方程為y=k(x-p/2)，分別求解，比較繁瑣.

為避免分類討論，可設(shè)AB的方程為x=my+p/2，A、B的坐標(biāo)分別為(xA,yA),(xB,yB).將AB方程代入拋物線方程y2=2px，得y2-2pmy-p2=0.由韋達(dá)定理得yAyB=-p2,即yB=-p2/y.由于BC∥x軸且C在準(zhǔn)線x=-p/2上，故C(-p/2,yB).

例題4 過拋物線y2=2px的焦點(diǎn)作傾斜角為θ的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，設(shè)△AOB的面積為S(O為原點(diǎn))，試用θ、p表示S，并求出S的最小值.

當(dāng)θ=90°時(shí)，S有最小值p2/2，此時(shí)焦點(diǎn)弦AB是拋物線的通徑.

可見，我們在解決拋物線焦點(diǎn)弦問題時(shí)，如果巧妙的設(shè)焦點(diǎn)弦方程，將避免分類討論的麻煩，給我們解題帶來許多方便之處.

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