一道模考試題的“反芻”*

●岳 峻

(太和中學 安徽阜陽 236600)

一道?？荚囶}的“反芻”*

●岳 峻

(太和中學 安徽阜陽 236600)

數(shù)學素養(yǎng)的提升離不開數(shù)學解題，文章以一道?？荚囶}為素材，利用模擬試題的“原生性”，認真“反芻”，洞曉其中的奧秘，有意識地研究試題的“題根”，使得思維在形式的變化中得以提升，激活“火熱”的思維．

數(shù)學解題；反芻；探究；挖掘；激活思維

數(shù)學素養(yǎng)的提升離不開數(shù)學解題，解題過程中的很多細節(jié)，看似平淡無奇，有時充滿數(shù)學智慧，只有沉下心來仔細斟酌，認真“反芻”，方能洞曉其中的奧秘．思之愈深，道之愈簡．

現(xiàn)以2016年廣東省廣州市一模理科數(shù)學試題壓軸題為例，探討其“反芻”的潛能．

1 試題再現(xiàn)

題目 已知函數(shù)f(x)=ex+m-x3,g(x)=ln(x+1)+2．

1)若曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線斜率為1，求實數(shù)m的值；

2)當m≥1時，證明：f(x)>g(x)-x3.

本題簡潔明了，問題設置巧妙，第1)小題易得m=0.對于第2)小題的解決，不同思維層次的學生有著截然不同的求解思路，我們會發(fā)現(xiàn)本題是命題專家精心設計的具有典型性、選拔性的范例，極具“反芻”的潛能，是數(shù)學研究性學習的極佳素材！

2 顯性思維的解法

數(shù)學解題是一種認識活動，是對數(shù)學問題通性通法的繼續(xù)熟練，尋求解題思路的過程便是尋找已知信息與結論之間的邏輯聯(lián)系或轉化軌跡的過程．由于待證式f(x)>g(x)-x3等價于ex+m-ln(x+1)-2>0，只需證明函數(shù)h(x)=ex+m-ln(x+1)-2的最小值為正數(shù)即可．

證法1 設h(x)=ex+m-ln(x+1)-2，則

h′(0)=em-1>0，

又h′(-1+e-m)= e-1+e-m+m-em=

em(e-1+e-m-1)<0，

即

ln(x0+1)=-x0-m，

當x∈(0,x0)時，h′(x)<0；當x∈(x0,+∞)時，h′(x)>0，從而

h(x)≥h(x0)=ex0+m-ln(x0+1)-2=

綜上所述，當m≥1時，f(x)>g(x)-x3．

點評 在證法1中，

h′(-1+e-m)= e-1+e-m+m-em=

em(e-1+e-m-1)<0

3 心智思維的體現(xiàn)

數(shù)學解題更是一種心智思維的活動，付出的有效思維與實施的運算、求解、處理等之間是一對平衡體，即有價值的思考越多則實施的基本運算就越輕松；相反，思維價值較少的智力活動自然導致運算的繁雜．當m≥1時，由于ex+m≥ex+1，待證式f(x)>g(x)-x3，等價于ex+m-ln(x+1)-2>0.

證法2 設h(x)=ex+1-ln(x+1)-2，則

即

ln(x0+1)=-(x0+1).

當x∈(-1,x0)時，h′(x)<0；當x∈(x0,+∞)時，h′(x)>0，從而

h(x)≥h(x0)=ex0+1-ln(x0+1)-2=

當m≥1時，

ex+m-ln(x+1)-2≥ex+1-ln(x+1)-2，

得證.

點評 在證法2中，通過靈活運用信息“m≥1”，獲得

ex+m-ln(x+1)-2≥ex+1-ln(x+1)-2，

4 以形助數(shù)的滲透

數(shù)學的學習，心中無“形”，永遠不行！由于待證式f(x)>g(x)-x3等價于ex+m-ln(x+1)-2>0，其中的函數(shù)y=ex+m是基本初等函數(shù)y=ex向左平移m個單位所得，函數(shù)y=ln(x+1)是基本初等函數(shù)y=lnx向左平移1個單位所得.而函數(shù)y=ex與函數(shù)y=lnx互為反函數(shù)，其圖像關于直線y=x對稱.本題是否可以應用數(shù)形結合思想加以解決呢？

圖1

證法3 先證明ex+1-ln(x+1)-2>0．令t=x+1，轉化為證明et-lnt>2(其中t>0)．

因為曲線y=et與曲線y=lnt關于直線y=t對稱，設直線t=t0(其中t0>0)與曲線y=et,y=lnt分別交于點A,B，點A,B到直線y=t的距離分別為d1,d2，則

①若h(t0)=et0-t0(其中t0>0),則

h′(t0)=et0-1>0，

即

h(t0)>h(0)=1，

從而

②若p(t0)=t0-lnt0(其中t0>0)，則

易證p(x0)≥p(1)=1,從而

于是

綜上所述，當m≥1時，f(x)>g(x)-x3.

5 深化本質的理解

沒有反思的解題是低效的重復，不能很好地把握問題的本質，思維品質提升的空間也是狹小的，也不利于提升數(shù)學素養(yǎng)．每一個耐人尋味的試題總有其背后隱含的“題根”，在本題中，出現(xiàn)了y=ex+m和y=ln(x+1)，自然應該聯(lián)想到函數(shù)的重要不等式，即ln(x+1)≤x．

證法4 先證明ex+1≥x+2(其中x∈R).設h(x)=ex+1-x-2，則

h′(x)=ex+1-1.

易證當x<-1時，函數(shù)h(x)單調(diào)遞減，當x>-1時，函數(shù)h(x)單調(diào)遞增，從而

h(x)≥h(-1)=0,

于是ex+1≥x+2(當且僅當x=1時取到等號).要證明ex+1-ln(x+1)-2>0，只需證明

(x+2)-ln(x+1)-2>0，

即

x>ln(x+1).

下面證明x-ln(x+1)≥0．設p(x)=x-ln(x+1)，則

易證當-10時，函數(shù)p(x)單調(diào)遞增，從而

p(x)≥p(0)=0,

于是x-ln(x+1)≥0(當且僅當x=0時取到等號).由于取等號的條件不同，因此

ex+1-ln(x+1)-2>0.

綜上所述，當m≥1時，f(x)>g(x)-x3.

6 激活思維的呈現(xiàn)

我們對知識的學習往往是“浮光掠影”、淺嘗輒止，其背后是缺乏對數(shù)學內(nèi)涵必要而深刻的理解．“學非探其花，要自拔其根”，意思是說探究不能只停留在表面上，還要尋根究底，挖掘問題的數(shù)學本質．如果對函數(shù)的重要不等式ex≥x+1?ln(x+1)≤x了如指掌，本題的思路自然十分清晰．

如果知道ex+m≥x+m+1≥ln(x+1)+m+1≥ln(x+1)+2，那么本題證明的思路就一目了然了.

證法5 先證明當x>-1時，ex≥x+1，即x≥ln(x+1).設F(x)=ex-x-1(其中x>-1)，則

F′(x)=ex-1，

易證F(x)在(-1,0)上單調(diào)遞減，在(0,+∞)上單調(diào)遞增，從而

f(x)≥F(x)=0，

即

ex≥x+1(其中x∈R),

因此ln(x+1)≤x(當且僅當x=0時取到等號).

再證明ex+m-ln(x+1)-2>0．由ex≥x+1(其中x∈R)，得ex+1≥x+2(當且僅當x=-1時取到等號)，因為x>-1，m≥1，且ex+1≥x+2與ln(x+1)≤x不同時取到等號，所以

ex+m-ln(x+1)-2= em-1·ex+1-ln(x+1)-2>

em-1(x+2)-x-2=

(em-1-1)(x+2)≥0.

綜上所述，當m≥1時，f(x)>g(x)-x3．

在數(shù)學復習教學中，教師應善于利用模擬試題的“原生性”，有意識地研究試題的“題根”，合理轉化、變形、拓展、延伸，挖掘其中潛在的數(shù)學思想方法，揭示其豐富的內(nèi)涵，使得思維在形式的變化中得以提升，開拓解題的思路，激活“火熱”的思維．

2016-10-10；

2016-11-16

岳峻(1968-)，男，安徽阜陽人，中學高級教師．研究方向：數(shù)學教育．

O122

A

1003-6407(2017)04-47-04