一維定常對(duì)流擴(kuò)散反應(yīng)方程的高精度緊致差分格式

祁應(yīng)楠, 武莉莉

(寧夏師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院， 寧夏 固原 756000 )

一維定常對(duì)流擴(kuò)散反應(yīng)方程的高精度緊致差分格式

祁應(yīng)楠*, 武莉莉

(寧夏師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院， 寧夏 固原 756000 )

針對(duì)一維定常對(duì)流擴(kuò)散反應(yīng)方程，提出了一種四階精度的有理型緊致差分格式，其局部截?cái)嗾`差為O(h4)；然后通過Richardson外推技術(shù)和算子插值法將本文格式的精度提高到六階.因?yàn)楦袷絻H涉及到3個(gè)網(wǎng)格基架點(diǎn)，所以對(duì)于Dirichlet邊值問題，由差分格式可得三對(duì)角線性方程組，可采用追趕法進(jìn)行求解.最后通過數(shù)值算例驗(yàn)證了本文方法的精確性和可靠性.

對(duì)流擴(kuò)散反應(yīng)方程； 高階緊致格式；Richardson外推； 有限差分法

對(duì)流擴(kuò)散反應(yīng)問題是流體力學(xué)、傳熱學(xué)、傳質(zhì)學(xué)等學(xué)科以及環(huán)境、化工等應(yīng)用領(lǐng)域中經(jīng)常遇到的典型問題之一，由于問題的準(zhǔn)確解往往很難獲得，所以人們經(jīng)常采用數(shù)值方法來尋求問題的近似解.目前，所流行的近似計(jì)算方法包括有限差分法、有限元法和邊界元法等.其中有限差分方法是一種常用的數(shù)值計(jì)算方法.目前，國內(nèi)外已經(jīng)有許多有關(guān)該問題高階緊致差分格式的研究報(bào)道.如：魏劍英[1]針對(duì)一維對(duì)流擴(kuò)散方程，提出了一種指數(shù)型高階緊致差分格式.王彩華[2]利用泰勒展開公式和數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性給出了一線性對(duì)流擴(kuò)散問題的一類高精度緊致差分格式.田芳和田振夫[3]基于非均勻網(wǎng)格上函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)展開，構(gòu)造了非均勻網(wǎng)格上的高精度緊致差分格式.Sun和Zhang[4]構(gòu)造了定常對(duì)流擴(kuò)散反應(yīng)方程的多項(xiàng)式型四階緊致差分格式，并用Richardson外推法[5]和算子插值技術(shù)將格式的精度提高到了六階.Tian和Dai[6]構(gòu)造對(duì)流擴(kuò)散問題的指數(shù)型格式，其空間具有四階精度.文獻(xiàn)[7]研究了非定常對(duì)流擴(kuò)散方程的有理型高階緊致差分格式并得到了很好的計(jì)算效果.楊志峰等[8]構(gòu)造了含源項(xiàng)非定常對(duì)流擴(kuò)散問題的緊致四階格式.文獻(xiàn)[9-11]研究了利用樣條插值的方法來構(gòu)造高精度緊致差分格式.

文獻(xiàn)[12]通過消除對(duì)流項(xiàng)，并利用Pade格式，構(gòu)造了一維非定常對(duì)流擴(kuò)散反應(yīng)方程無條件穩(wěn)定的四階緊致差分格式.文獻(xiàn)[13]針對(duì)非定常對(duì)流擴(kuò)散方程，對(duì)空間采用三點(diǎn)緊致差分格式，并對(duì)時(shí)間采用單對(duì)角隱式Runge-Kutta方法進(jìn)行離散，得到了截?cái)嗾`差為O(τ4+h4)的無條件穩(wěn)定的隱格式.文獻(xiàn)[14]通過簡單的分裂算法及增加特殊網(wǎng)格點(diǎn)的方法，對(duì)時(shí)間的處理采用C-N格式與向后歐拉結(jié)合的技巧，推導(dǎo)出求解高維非定常對(duì)流擴(kuò)散反應(yīng)方程的隱式差分格式.

本文針對(duì)一維定常對(duì)流擴(kuò)散反應(yīng)方程，基于截?cái)嗾`差余項(xiàng)修正思想，并結(jié)合原方程本身，推導(dǎo)得到了求解該方程的一種四階精度的有理型緊致差分格式.然后采用Richardson外推法和算子插值技術(shù)將格式的精度提高到六階.最后給出了數(shù)值算例.

1數(shù)值計(jì)算方法

本文討論的方程模型為兩點(diǎn)邊值問題：

(1)

其中，邊界條件為：u(0)=q0，u(L)=qL.這里，a，p(x)，b(x)分別為擴(kuò)散、對(duì)流和反應(yīng)項(xiàng)系數(shù).且a>0，p(x)和b(x)均為關(guān)于空間變量x的光滑函數(shù).

將式(1)改寫為：

(2)

由此定義空間一階和二階導(dǎo)數(shù)的中心差分算子為：

(3)

(4)

將式(1)利用中心差分代替，并利用關(guān)于u的一階數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)的定義，可得：

(5)

(6)

(7)

將式(6)代入式(7)消去xi化簡可得：

(8)

將式(6)和式(8)代入式(5)可得：

fi+O(h4).

(9)

將式(3)和式(4)代入式(9)，略去高階項(xiàng)后化簡整理可得：

(10)

其中

(11)

(12)

(13)

(14)

式(10)即為多項(xiàng)式型四階緊致(FOC)差分格式，此格式色散誤差和耗散誤差較大.為了能精確數(shù)值求解此類方程，我們推導(dǎo)一種有理型的四階緊致差分格式.

將式(2)代入式(6)可得：

(15)

(16)

將式(2)和式(15)代入式(7)，整理可得：

(17)

令

則式(17)可化簡為：

(18)

將式(16)和式(18)代入式(5)，整理可得：

O(h4)，

(19)

(20)

(21)

令

則式(21)可化簡為：

(γ4f+γ5fx+γ6fxx)i+O(h4).

(22)

(23)

此格式的高階截?cái)嗾`差為O(h4)，即此格式具有四階精度.本文格式之所以稱之為有理型格式，是因?yàn)槠洳罘炙阕拥南禂?shù)為有理型函數(shù)，記為RHOC.

從推導(dǎo)過程可以看出，F(xiàn)OC格式只是其中的一種特殊情況，有理型格式的推導(dǎo)更具有廣泛性.結(jié)合原方程可得到具有不同性質(zhì)的高精度格式，對(duì)于不同性質(zhì)的問題可選用與之相適應(yīng)的格式進(jìn)行求解，此類格式均為三個(gè)網(wǎng)格基架點(diǎn)，只發(fā)生系數(shù)的變化.

2Richardson外推

下面使用Richardson外推方法[5]將本文的四階格式RHOC提高到六階精度.

定義：

0 1 2 3 4……N-1N

(24)

(25)

由于細(xì)網(wǎng)格上偶數(shù)點(diǎn)(菱形點(diǎn))已經(jīng)算出，因此只須采用式(26)計(jì)算奇數(shù)點(diǎn)(圓點(diǎn))，即可得如下算子插值公式：

(26)

通過式(26)利用細(xì)網(wǎng)格上具有六階精度的偶數(shù)點(diǎn)來計(jì)算奇數(shù)點(diǎn)，從而可使得細(xì)網(wǎng)格上點(diǎn)的精度均為六階，整個(gè)過程我們將其記為RRHOC，其算法步驟如下：

3數(shù)值算例

為了驗(yàn)證本文格式的精確性和可靠性，分別采用RHOC格式和RRHOC格式對(duì)以下兩個(gè)有精確解的問題進(jìn)行數(shù)值實(shí)驗(yàn)，并與中心差分格式、多項(xiàng)式型四階緊致格式(FOC)[4]和六階格式(REC)[4]的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較.其中，L∞范數(shù)誤差和收斂階(Rate)的定義如下：

其中，Ui表示點(diǎn)xi處的精確解，ui表示點(diǎn)xi處的數(shù)值解，L∞(uh1)和L∞(uh2)分別表示網(wǎng)格步長為h1和h2時(shí)對(duì)應(yīng)的L∞范數(shù)誤差．

問題1：

該問題的精確解為：u(x)=ex.?。篴=1，b(x)=x2+1，f(x)=x2ex.

問題2：

該問題的精確解為：u(x)=e-4πsin(x).?。篴=1，p(x)=1，b(x)=1，f(x)=e-4π(cosx+2sinx).

表1 算例1當(dāng)取不同h時(shí)，本文RHOC格式與中心差分格式和FOC格式[4]的最大絕對(duì)誤差及收斂階

表2 算例1當(dāng)取不同h時(shí)，本文RHOC格式和REC格式[4]的最大絕對(duì)誤差及收斂階

表3 算例2當(dāng)取不同h時(shí)，本文RHOC格式與中心差分格式和FOC格式[4]的最大絕對(duì)誤差及收斂階

表4 算例2當(dāng)取不同h時(shí)，本文RHOC格式和REC格式[4]的最大絕對(duì)誤差及收斂階

對(duì)于問題1和問題2，表1和表3列出了取不同步長h時(shí)，采用中心差分格式、FOC格式[4]與本文RHOC格式計(jì)算的L∞范數(shù)誤差和Rate(收斂階).不難得到，本文所提的四階精度的有理型格式(RHOC)格式比多項(xiàng)式型格式(FOC) 和中心差分格式均具有更高的準(zhǔn)確度.而且，當(dāng)網(wǎng)格數(shù)不斷增加時(shí)，RHOC格式的L∞范數(shù)誤差比中心差分格式小四個(gè)數(shù)量級(jí)不等，比同是四階的FOC格式計(jì)算結(jié)果更精確.表2和表4列出了取不同網(wǎng)格步長h時(shí)，REC格式[4]與本文RHOC格式的最大絕對(duì)誤差和收斂階，從表中可以看出經(jīng)過外推和算子插值之后的REC格式和本文RHOC格式均有六階精度，但是本文RHOC格式的計(jì)算誤差明顯優(yōu)于REC格式[4].

4結(jié)論

本文基于中心差分格式的截?cái)嗾`差余項(xiàng)修正，并利用原方程本身，提出了數(shù)值求解一維兩點(diǎn)邊值問題的一種緊致的高精度差分方法，由理論推導(dǎo)可知所提格式為四階精度.然后采用Richardson外推法和算子插值技術(shù)將格式的精度提高到六階.最后，采用本文兩種方法計(jì)算了兩個(gè)數(shù)值算例，并與傳統(tǒng)的中心差分格式以及文獻(xiàn)[4]中的FOC格式和REC格式進(jìn)行了對(duì)比，充分體現(xiàn)了本文方法的精確性和有效性.

[1] 魏劍英. 定常對(duì)流擴(kuò)散反應(yīng)方程的指數(shù)型高階差分格式[J].寧夏大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)， 2012， 33(2):140-143．

[2] 王彩華. 一維對(duì)流擴(kuò)散方程的一類新型高精度緊致差分格式[J].水動(dòng)力學(xué)研究與進(jìn)展， 2004， 19(5):655-663.

[3] 田 芳， 田振夫. 定常對(duì)流擴(kuò)散反應(yīng)方程非均勻網(wǎng)格上的高精度緊致差分格式[J].寧夏師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)， 2009， 26(2):219-225．

[4]SUNH，ZHANGJ.AHighorderfinitedifferencediscretizationstrategybasedonextrapolationforconvectiondiffusionequations[J].NumerMethodsPartialDifferentialEq， 2004， 20(1):18-32

[5]CHENEYW，KINCARDD.NumericalMathematicsandComputing[M]. 4thEd.CA：Brooks/ColePublishing，PacificGrove，CA. 1999．

[6]TIANZF，DAISQ.High-ordercompactexponentialfinitedifferencemethodsforconvection-diffusiontypeproblems[J].JComputPhys， 2007， 220:952-974．

[7] 趙 飛， 蔡志權(quán)， 葛永斌. 一維非定常對(duì)流擴(kuò)散方程的有理型高階緊致差分格式[J].江西師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)， 2014， 38(4):413-418．

[8] 楊志峰， 陳國謙. 含源項(xiàng)非定常對(duì)流擴(kuò)散問題緊致四階差分格式[J].科學(xué)通報(bào)， 1993， 38(2):113-116．

[9]LANGFG，XUXP.QuinticB-splinecollocationmethodforsecondordermixedboundaryvalueproblem[J].ComputerPhysicsCommunications. 2012， 183:913-921．

[10]GOHJ，MAJIDAA,ISMAILAIM.AquarticB-splineforsecond-ordersingularboundaryvalueproblems[J].ComputersandMathematicswithApplications. 2012， 64:115-120．

[11] 林建國，許維德，陶?qǐng)蛏?含源項(xiàng)非定常非線性對(duì)流擴(kuò)散方程的三次樣條四階差分格式[J].水動(dòng)力學(xué)研究與進(jìn)展(A輯)， 1994， 9(2):599-602．

[12] 楊錄峰，李春光.一種求解對(duì)流擴(kuò)散反應(yīng)方程的高階緊致差分格式[J]. 寧夏大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)， 2013， 34(2): 101-104．

[13]PIAOX，CHOIHJ，KIMSD，etal.AfastsinglydiagonallyimplicitRunge-Kuttamethodforsolving1Dunsteadyconvection-diffusionequations[J].NumercalMethodsforPartialDifferentialEquations，2013(30):788-812．

[14]ADEMK.Finitedifferenceapproximationsofmultidimensionalunsteadyconvection-diffusion-reactionequations[J].JournalofComputationalPhysics， 2015， 285:331-349．

A high-order compact difference scheme forthe 1D steady convection-diffusion-reaction equation

QI Yingnan， WU Lili

(School of Mathematics and Computer Science, Ningxia Normal University, Guyuan, Ningxia 756000)

In this paper, a rational high-order compact difference scheme for solving the 1D steady convection-reaction-diffusion equation is proposed. The local truncation error of the scheme isO(h4). And then the Richardson extrapolation and operator interpolation techniques are employed to obtain a sixth order accuracy solution. Because only three basic grid points are used in the scheme, the linear system arising from the scheme for Dirichlet boundary problem is tridiagonal. It’s able to be solved by the forward elimination and backward substitution algorithm. Finally, numerical experiments are carried out to demonstrate the accuracy and the effectiveness of the present method.

convection-reaction-diffusion equation; high-order compact scheme; Richardson extrapolation; finite difference method

2016-09-18.

寧夏高等學(xué)?？茖W(xué)研究項(xiàng)目(NGY2015115)；寧夏自然科學(xué)基金項(xiàng)目(NZ15259、NZ16251)；寧夏師范學(xué)院項(xiàng)目(NXSFZD1707，NXSFZD1709，NXSFZD1710).

1000-1190(2017)01-0001-06

O241.8

A

*E-mail: gysz9695@163.com.