淺談數(shù)學美

鄭桂華

愛美之心，人皆有之，人們執(zhí)著地追求美。除了藝術(shù)美，大自然的美外，人們是否想到科學也有美，數(shù)學美是一種什么樣的美呢？

數(shù)學美的表現(xiàn)形式是多種多樣的，從數(shù)學內(nèi)容看，有概念之美、公式之美、體系之美等；從數(shù)學的方法及思維看，有簡潔之美、類比之美、抽象之美、無限之美等；從狹義美學意義上看，有對稱之美、和諧之美、奇異之美等。

一、簡潔美

愛因期坦說過：“美，本質(zhì)上終究是簡單性?！彼€認為，只有借助數(shù)學，才能達到簡單性的美學準則。樸素，簡單，是其外在形式。只有既樸實清秀，又底蘊深厚，才稱得上至美。

歐拉給出的公式：V-E+F=2，堪稱“簡單美”的典范。世間的多面體有多少？沒有人能說清楚。但它們的頂點數(shù)V、棱數(shù)E、面數(shù)F，都必須服從歐拉給出的公式，一個如此簡單的公式，概括了無數(shù)種多面體的共同特性，能不令人驚嘆不已？

在數(shù)學中，像歐拉公式這樣形式簡潔、內(nèi)容深刻、作用很大的定理還有許多。比如：圓的周長公式：C=2πR

勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊平方a2+b2=c2。

正弦定理：ΔABC的外接圓半徑R，則asinA=bsinB=csinC=2R

數(shù)學的這種簡潔美，用幾個定理是不足以說清的，數(shù)學歷史中每一次進步都使已有的定理更簡潔。正如偉大的希而伯特曾說過：“數(shù)學中每一步真正的進展都與更有力的工具和更簡單的方法的發(fā)現(xiàn)密切聯(lián)系著”。

龐加萊指出：“在解中，在證明中，給我們以美感的東西是什么呢？是各部分的和諧，是它們的對稱，是它們的巧妙、平衡”。

二、和諧美

美是和諧的.和諧性也是數(shù)學美的特征之一.和諧即雅致、嚴謹或形式結(jié)構(gòu)的無矛盾性.

沒有哪門學科能比數(shù)學更為清晰的闡明自然界的和諧性。

——Carus，Paul

數(shù)論大師賽爾伯格曾經(jīng)說，他喜歡數(shù)學的一個動機是以下的公式：π4=1-13+15-…，這個公式實在美極了，奇數(shù)1、3、5、…這樣的組合可以給出 π，對于一個數(shù)學家來說，此公式正如一幅美麗圖畫或風景。

歐拉公式： ein=-1，曾獲得“最美的數(shù)學定理”稱號。歐拉建立了在他那個時代，數(shù)學中最重要的幾個常數(shù)之間的絕妙的有趣的聯(lián)系，包容得如此協(xié)調(diào)、有序。與歐拉公式有關(guān)的棣美弗-歐拉公式是cosθ+isinθ=eiθ。這個公式把人們以為沒有什么共同性的兩大類函數(shù)――三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)緊密地結(jié)合起來了。對他們的結(jié)合，人們始則驚詫，繼而贊嘆――確是“天作之合”。

和諧的美，在數(shù)學中多得不可勝數(shù)。如著名的黃金分割比 x=5-12，即0.61803398…。

在正五邊形中，邊長與對角線長的比是黃金分割比。建筑物的窗口，寬與高度的比一般為 x；人們的膝蓋骨是大腿與小腿的黃金分割點，人的肘關(guān)節(jié)是手臂的黃金分割點，肚臍是人身高的黃金分割點；當氣溫為23攝氏度時，人感到最舒服，此時23：37（體溫）約為0.618；名畫的主題，大都畫在畫面的0.618處，弦樂器的聲碼放在琴弦的0.618處，會使聲音更甜美。建筑設(shè)計的精巧、人體科學的奧秘、美術(shù)作品的高雅風格，音樂作品的優(yōu)美節(jié)奏，交融于數(shù)的對稱美與和諧美之中。

黃金分割比在許多藝術(shù)作品中、在建筑設(shè)計中都有廣泛的應(yīng)用。達·芬奇稱黃金分割比x=5-12為“神圣比例”.他認為“美感完全建立在各部分之間神圣的比例關(guān)系上”。與x=5-12有關(guān)的問題還有許多， “黃金分割”、“神圣比例”的美稱，她受之無愧。

三、奇異美

全世界有很大影響的兩份雜志曾聯(lián)合邀請全世界的數(shù)學家們評選“近50年的最佳數(shù)學問題”，其中有一道相當簡單的問題：有哪些分數(shù)abbc，不合理地把b約去得到ac，結(jié)果卻是對的？

經(jīng)過一種簡單計算，可以找到四個分數(shù)：1664，2665，1995，4998。這個問題涉及到“運算謬誤，結(jié)果正確”的歪打正著，在給人驚喜之余，不也展現(xiàn)一種奇異美嗎。

還有一些“歪打正著等式”，比如

25· 92 =2592

25· 2531=252531

112· 913=112913

人造衛(wèi)星、行星、彗星等由于運動的速度的不同，它們的軌道可能是橢圓、雙曲線或拋物線，這幾種曲線的定義如下：到定點距離與它到定直線的距離之比是常數(shù)e的點的軌跡，

當e<1時，形成的是橢圓.當e>1時，形成的是雙曲線.當e=1時，形成的是拋物線.

常數(shù)e由0.999變?yōu)?、變?yōu)?.001，相差很小，形成的卻是形狀、性質(zhì)完全不同的曲線。而這幾種曲線又完全可看作不同的平面截圓錐面所得到的截線。

橢圓與正弦曲線會有什么聯(lián)系嗎？做一個實驗，把厚紙卷幾次，做成一個圓筒。斜割這一圓筒成兩部分。如果不拆開圓筒，那么截面將是橢圓，如果拆開圓筒，切口形成的即是正弦曲線。這其中的玄妙是不是很奇異、很美呢？

數(shù)學的力量是無窮的，數(shù)學美猶如但丁神曲中的詩句，優(yōu)美和諧的樂曲，別具一格的繪畫，雄偉壯美的建筑，同樣會使數(shù)學學習者們激情蕩漾，興趣盎然！數(shù)學之美，還可以從更多的角度去審視，而每一側(cè)面的美都不是孤立的，她們是相輔相成、密不可分的。她需要人們用心、用智慧深層次地去挖掘，更好地體會她的美學價值和她豐富、深隧的內(nèi)涵和思想，及其對人類思維的深刻影響。如果在學習過程中，我們能與數(shù)學家，教師們一起探索、發(fā)現(xiàn)，從中獲得成功的喜悅和美的享受，那么我們就會不斷深入其中，欣賞和創(chuàng)造美。相信我們的數(shù)學學習一定能夠取得更好的學習效果。