一道數(shù)學(xué)例題教學(xué)的有效探究

陳德會(huì)

摘要：本文通過(guò)教學(xué)實(shí)例和分析，概括總結(jié)了在數(shù)學(xué)課堂中的教學(xué)設(shè)計(jì)：創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)學(xué)生探究興趣；動(dòng)手探索，引導(dǎo)學(xué)生深入探究；合作交流，促進(jìn)學(xué)生優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)；反思小結(jié)，提煉學(xué)生數(shù)學(xué)思想；課外延伸，深化學(xué)生探究。

關(guān)鍵詞：有效性；探究性學(xué)習(xí)；教學(xué)設(shè)計(jì)；數(shù)學(xué)思想

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2017）04-0111

所謂數(shù)學(xué)探究性學(xué)習(xí)，是指“學(xué)生在數(shù)學(xué)領(lǐng)域或現(xiàn)實(shí)生活的情境中，通過(guò)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、調(diào)查研究、動(dòng)手操作、表達(dá)與交流等探究性活動(dòng)，獲得知識(shí)、技能和態(tài)度的學(xué)習(xí)方式和學(xué)習(xí)過(guò)程?！比绾卧诔踔袛?shù)學(xué)教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究性學(xué)習(xí)？如何落實(shí)新課程理念下的教學(xué)目標(biāo)？本文試圖通過(guò)課堂實(shí)例，呈現(xiàn)與探究性學(xué)習(xí)理論相結(jié)合的探究性學(xué)習(xí)的課堂教學(xué)設(shè)計(jì)。

（課本例題）已知：如圖（1），A是⊙0外一點(diǎn)，AO的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)C，點(diǎn)B在圓上，且AB=BC，∠A=30°。

求證：直線AB是⊙O的切線。

通過(guò)學(xué)習(xí)本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容，學(xué)生初步掌握了直線與圓相切的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。讓學(xué)生清楚，要證明一條直線是圓的切線，當(dāng)這條直線與圓有公共點(diǎn)時(shí)，作過(guò)公共點(diǎn)的半徑是常用的輔助線。

改編：如圖（2），CD是⊙O的直徑，點(diǎn)A在CD的延長(zhǎng)線上，OD=DA，點(diǎn)B在⊙O上，∠ACB=30°，求證：AB是⊙O的切線。

在幾何教學(xué)中，教師適時(shí)、適當(dāng)?shù)貙⒗}變形轉(zhuǎn)化，將例題的潛在功能挖掘出來(lái)，不僅可以培養(yǎng)學(xué)生舉一反三、觸類旁通的解題能力，還能有效地訓(xùn)練學(xué)生思維的靈活性和深刻性，促進(jìn)學(xué)生掌握科學(xué)的探究方法。本題是課本例題改編而來(lái)的，學(xué)生剛開(kāi)始接觸可能會(huì)感到有點(diǎn)困難。如何激發(fā)學(xué)生的探究欲望，讓他們自己來(lái)參與數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)呢？為此，筆者進(jìn)行以下的教學(xué)設(shè)計(jì)：

一、創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)探究興趣

學(xué)生將本例題與課本原例題進(jìn)行對(duì)比后，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注其中的關(guān)聯(lián)。并提問(wèn)：

（1）看到直徑，你能聯(lián)想到什么？（直徑所對(duì)的圓周角是直角）

（2）連接BC，OC，你能得到哪些相等的線段？

（3）當(dāng)∠OCD=90°，就能得到結(jié)論嗎？

在這里，筆者改編了例題的部分條件，利用課件演示，激起學(xué)生疑問(wèn)：幾何問(wèn)題真是太復(fù)雜了，稍改一點(diǎn)，就得好好思考如何證明呢？學(xué)生這時(shí)處于一種復(fù)雜的心理狀態(tài)，一方面學(xué)生非常想解決這個(gè)問(wèn)題，很想說(shuō)出為什么，另一方面又無(wú)法立即解決，因?yàn)檎J(rèn)知水平不夠，這種心理不平衡性激發(fā)了學(xué)生探究問(wèn)題的興趣和熱情，從而產(chǎn)生了強(qiáng)烈的求知欲。

二、動(dòng)手探索，引導(dǎo)深入探究

探究一：引導(dǎo)學(xué)生觀察分析圖形，解決問(wèn)題并引申結(jié)論

如圖（3），已知弦AB與半徑相等，連接OB，并延長(zhǎng)使BC=OB。

（1）問(wèn)AC與⊙O有什么關(guān)系，并證明你的結(jié)論。

（2）請(qǐng)你在⊙O上找出一點(diǎn)D，使AD=AC。（自己完成作圖，并證明你的結(jié)論）

探究二：如圖（4），⊙O的直徑AB=6cm，P是AB的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)作⊙O的切線，切點(diǎn)為C，連接AC。

（1）若∠CPA=30°，求PC的長(zhǎng)；

（2）若點(diǎn)P在AB的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)，∠CPA平分線交AC于點(diǎn)M，你認(rèn)為∠CMP的大小是否發(fā)生變化？若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由：若不變，求出∠CMP的值。

教師引導(dǎo)學(xué)生審題，提出本題的考點(diǎn)：切線的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理；切割線定理。

該教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)結(jié)合了新課程標(biāo)準(zhǔn)中的探究性學(xué)習(xí)理論，涉及了變更問(wèn)題、類比聯(lián)想、嘗試猜想、總結(jié)歸納等教學(xué)環(huán)節(jié)，從學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”入手，為學(xué)生構(gòu)建探究平臺(tái)，鼓勵(lì)學(xué)生自主動(dòng)手、動(dòng)腦實(shí)踐，引導(dǎo)學(xué)生由淺入深，從特殊到一般進(jìn)行探索歸納，有效拓展了學(xué)生思維發(fā)展空間，還培養(yǎng)了學(xué)生鍥而不舍的學(xué)習(xí)精神和提高了學(xué)生的綜合素質(zhì)。

三、合作交流，促進(jìn)優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)

1. 以四人為小組，進(jìn)行組內(nèi)合作，充分發(fā)表己見(jiàn)，形成小組集體意見(jiàn)

學(xué)生通過(guò)自己個(gè)人的分析、探究，獲得了個(gè)人關(guān)于本例問(wèn)題的見(jiàn)解后，然后與組內(nèi)的其他同學(xué)討論。這一階段為每個(gè)學(xué)生提供了發(fā)表自己的看法、認(rèn)識(shí)、見(jiàn)解的機(jī)會(huì)。主要目的在于挖掘群體的潛能，培養(yǎng)合作的精神。選出一位同學(xué)當(dāng)組長(zhǎng)負(fù)責(zé)協(xié)調(diào)關(guān)系、記錄討論內(nèi)容。討論中要求小組每個(gè)成員都要發(fā)表自己的看法，供大家討論、批評(píng)、切磋、補(bǔ)充，具體的做法不拘一格。為了使討論充滿活力，更好地激發(fā)小組成員的創(chuàng)造性思維，可以允許意見(jiàn)、見(jiàn)解有沖突、紛爭(zhēng)，無(wú)須非達(dá)成共識(shí)不可。在這一階段，強(qiáng)調(diào)學(xué)生的合作精神，通過(guò)合作，拓寬學(xué)生的思維廣度、空間。

2. 進(jìn)行組際交流，交流驗(yàn)證方法等

教師總結(jié)學(xué)生的意見(jiàn)：（1）連接OC，根據(jù)切線的性質(zhì)可知OC⊥PC，則△OPC為直角三角形，OC=3，可根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出PC的值；（2）從PM是∠APC的角平分線可知∠CPM=∠MPA，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理即可求出∠CMP=∠A+∠MPA=45度。因?yàn)椤螦與∠CPA為定值，故∠CMP的大小不發(fā)生變化.

解：（1）連接OC，PC是⊙O的切線，∴∠OCP=90°；∵∠CPA=30°，OC=■ =3，∴tan30°=■，即PC=3■；（5分）

（2）∠CMP的大小不發(fā)生變化；（2分）∵PM是∠CPA的平分線，∴∠CPM=∠MPA，∵OA=OC，∴∠A=∠ACO；在△APC中，∵∠A+∠ACP+∠CPA=180°，∴2∠A+2∠MPA=90°，∠A+∠MPA=45°，∴∠CMP=∠A+∠MPA=45°；（5分）即∠CMP的大小不發(fā)生變化，為45°。

這里，教師留給學(xué)生足夠的時(shí)間，教師提出的幾個(gè)由淺人深的問(wèn)題引起學(xué)生深入的思考，并且能促使學(xué)生“發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，作出思考，提出猜想，進(jìn)行歸納”等探究性的學(xué)習(xí)活動(dòng)，并教給學(xué)生探究性學(xué)習(xí)的方法。這樣設(shè)計(jì)探究學(xué)習(xí)活動(dòng)，是為了更有利于學(xué)生主體性的發(fā)揮。

四、反思小結(jié)，提煉數(shù)學(xué)思想

當(dāng)代荷蘭著名數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾指出：“反思是數(shù)學(xué)活動(dòng)的核心和動(dòng)力?！痹谔骄繉W(xué)習(xí)中，學(xué)生通過(guò)自己的艱苦探索，探究出豐富多彩但有些雜亂無(wú)章的結(jié)果。例如上面的探究二：此題需要學(xué)生通過(guò)嘗試，提出猜想、驗(yàn)證猜想、總結(jié)規(guī)律.既考查基本的數(shù)學(xué)知識(shí)與方法，又注重從特殊到一般的數(shù)學(xué)歸納能力的要求，突出了學(xué)生對(duì)圖形的探究及探索出有效的解法策略。在探究過(guò)程中，學(xué)生出現(xiàn)了以下的常見(jiàn)錯(cuò)誤：1. 利用三角函數(shù)解直角三角形時(shí)，三角函數(shù)與邊不對(duì)應(yīng)，或三角函數(shù)值記錯(cuò)；2. 關(guān)于∠CMP的定值問(wèn)題錯(cuò)誤的兩種觀點(diǎn)：（1）認(rèn)為∠CMP大小不變者，用第（1）小題的特殊值（∠A=30°）進(jìn)行論證；（2）認(rèn)為∠CMP大小變化者，把∠A看成是不變的角（30°），∠CMP=∠A+∠CMP=30°+∠CMP等。這些結(jié)果雖然凝結(jié)了學(xué)生探究的辛苦，但卻有對(duì)有錯(cuò)，因此，在探究學(xué)習(xí)過(guò)程中，教師應(yīng)及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思與小結(jié)。對(duì)于正確的、合乎邏輯的結(jié)果予以充分的肯定，并及時(shí)提煉上升到數(shù)學(xué)思想的高度，要讓學(xué)生始終對(duì)自己充滿信心，引導(dǎo)學(xué)生反思。為此，筆者和學(xué)生一起從以下幾個(gè)方面進(jìn)行總結(jié)：

（1）在問(wèn)題的解決過(guò)程中，我們是怎樣入手的？我們?yōu)槭裁匆獜倪@里入手？

（2）在證明過(guò)程中我們主要運(yùn)用了哪些方法？

（3）本題可以概括出怎樣的一般性的結(jié)論？

（4）在探究中運(yùn)用了哪些數(shù)學(xué)思想方法？

五、課外延伸，深化學(xué)生探究

圓中“陰影部分”的面積的求解是歷年各地中考的一個(gè)必須掌握的知識(shí)點(diǎn)，求解時(shí)既可以根據(jù)圖形的特點(diǎn)，將其分解轉(zhuǎn)化為扇形、弓形、三角形、平行四邊形、梯形等圖形的組合來(lái)求解，也可根據(jù)其特點(diǎn)，靈活巧妙地運(yùn)用一些方法技巧，可使問(wèn)題化繁為簡(jiǎn)，化難為易，收到事半功倍的奇效，現(xiàn)舉例說(shuō)明。

探究三：如圖（6）在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的OO交BC于點(diǎn)M，MN⊥AC，若∠BAC=120°，AB=2，①求證MN是OO的切線；②求圖中陰影部分的面積。

分析：一個(gè)圖形的面積不易或難以求出時(shí)，可以利用全部減其余，便可以使原來(lái)不規(guī)則的圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形。

思路：S陰影部分=S梯形AOMN-S扇形AOM

學(xué)生經(jīng)過(guò)自己的主動(dòng)探索、實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)了重要的結(jié)論，這是對(duì)學(xué)生主動(dòng)參與精神的激勵(lì)，能使學(xué)生體驗(yàn)到主動(dòng)探究成功后的喜悅，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的動(dòng)力和信心。經(jīng)過(guò)組內(nèi)和組際的交流，能使學(xué)生各自得到不同的收獲，同時(shí)能使學(xué)生感悟到“面對(duì)新問(wèn)題，聯(lián)想舊知識(shí)，尋找新舊知識(shí)之間的關(guān)系，揭示知識(shí)規(guī)律，獲取新知”的探究方法和策略，使他們更自覺(jué)更主動(dòng)地投入到探究性學(xué)習(xí)活動(dòng)中。

學(xué)生探究性學(xué)習(xí)活動(dòng)能否順利實(shí)施，關(guān)鍵在于教師能否創(chuàng)造適宜的教學(xué)情境和進(jìn)行合理的引導(dǎo)。在新課程實(shí)施過(guò)程中，教師要運(yùn)用一切可能的手段，不斷優(yōu)化教學(xué)設(shè)計(jì)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，創(chuàng)設(shè)有效的探究時(shí)間和空間，形成良好的探究風(fēng)氣，讓每個(gè)學(xué)生都有主動(dòng)探究的機(jī)會(huì)和欲望，從而真正實(shí)現(xiàn)“不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”。

（作者單位：浙江省蒼南縣錢(qián)庫(kù)鎮(zhèn)第一中學(xué) 325800）