在關(guān)聯(lián)中遞進(jìn)性構(gòu)建數(shù)學(xué)模型

伍愈文　晏興鼎

構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，不僅是《小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的明確要求，更是學(xué)生發(fā)展的需要。北師大版小學(xué)《數(shù)學(xué)》教材在編寫上也充分凸顯了數(shù)學(xué)模型的重要性。它考慮到小學(xué)生的認(rèn)知需要經(jīng)歷逐步深化、提高的過程，所以將四個(gè)領(lǐng)域的學(xué)習(xí)內(nèi)容采用逐步拓展、漸進(jìn)深化的結(jié)構(gòu)，按照“問題情境——建立模型——解釋與應(yīng)用”的敘述方式進(jìn)行編排。

比如，由于學(xué)生對(duì)小數(shù)認(rèn)識(shí)的最直接經(jīng)驗(yàn)來自價(jià)錢，因此在第一學(xué)段中，教材設(shè)計(jì)了“元、角、分與小數(shù)”的單元，使學(xué)生在熟悉的情境中學(xué)習(xí)小數(shù)及其簡(jiǎn)單加減運(yùn)算的初步知識(shí)。這個(gè)單元的學(xué)習(xí)為以后小數(shù)的學(xué)習(xí)提供了一個(gè)直觀、具體的模型，是后續(xù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。在第二學(xué)段繼續(xù)學(xué)習(xí)小數(shù)及其運(yùn)算時(shí)，教材首先通過豐富的實(shí)例拓展了學(xué)生對(duì)小數(shù)的認(rèn)識(shí)；在探索小數(shù)運(yùn)算法則時(shí)，仍然可以先借助元、角、分的模型，再拓展到身高、體重等具體模型，并最終脫離具體模型掌握小數(shù)的運(yùn)算法則。

那么，如何在相互關(guān)聯(lián)的教學(xué)內(nèi)容中，遞進(jìn)性地構(gòu)建數(shù)學(xué)模型呢？下面就以“小數(shù)意義的認(rèn)識(shí)”為例，談一談自己的思考。

一、撥去面紗，初見端倪——第一學(xué)段建模

北師大版小學(xué)《數(shù)學(xué)》三年級(jí)上冊(cè)《文具店》，創(chuàng)設(shè)了學(xué)生文具店購買文具的具體情境，借助元角分幫助學(xué)生初步理解小數(shù)的意義。如何在初次認(rèn)識(shí)小數(shù)時(shí)就借助建模的思想給學(xué)生幫助呢？筆者做了如下嘗試：

師：同學(xué)們，你們?cè)谫徺I文具時(shí)用到的錢，單位有哪些？

生（齊）：元、角、分。

師：請(qǐng)?jiān)趯W(xué)具袋中拿出老師為大家準(zhǔn)備的學(xué)具，按照從大到小的順序擺一擺。

師：觀察桌上的擺圖，看看會(huì)發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

生1：按照從大到小的順序擺的。

生2：從左往右依次平均分成10份，取其中的一份。

生3：從左往右，后者是前者的十分之一。

師：很會(huì)觀察，也很會(huì)思考。如果將它們進(jìn)行分類，可以怎樣分？分類的標(biāo)準(zhǔn)是什么？

生4：100元、10元、1元為一類，1角、1分為一類。

生5：把元作單位的分為一類，角和分作單位的為一類。

生6：把等于或者大于1元的分為一類，不夠一元的分為一類。

師：如此，我們把這些錢分成了兩類（PPT演示：在1元和1角之間出現(xiàn)一條豎線）。

左邊的是1元以上的，右邊是不足1元的。現(xiàn)在把這些錢請(qǐng)上計(jì)數(shù)器，誰愿意來試一試？

（一名學(xué)生在PPT上操作，完成如圖：

師：在計(jì)數(shù)器上如何把1元以上的和不足1元的分開？

生1：打上一個(gè)點(diǎn)。

師：就按你們說的辦（PPT演示如下圖）。這個(gè)數(shù)是多少，請(qǐng)同學(xué)們?cè)诓莞灞旧蠈懸粚憽?/p>

（學(xué)生寫數(shù)：111.11，教師用PPT示范。）

師：我們把像這樣的數(shù)稱作“小數(shù)”，這個(gè)點(diǎn)稱為“小數(shù)點(diǎn)”。你們?cè)谑裁吹胤揭娺^這樣的小數(shù)呢？

生2：商品的價(jià)錢。

生3：賽跑成績(jī)。

生4：體重。

生5：眼睛的視力。

生6：體溫。

師：同學(xué)們的生活經(jīng)驗(yàn)很豐富。（手指大屏幕）再看看這個(gè)小數(shù)，小數(shù)點(diǎn)將小數(shù)分成了幾部分？每一部分可以怎樣命名？

生1：兩部分。左邊的是整數(shù)，右邊的……（學(xué)生遇到了困難）

生2：右邊的不足1元，是不是就應(yīng)該是小數(shù)？

師：是啊，小數(shù)點(diǎn)將小數(shù)分成了左右兩部分，左邊的是整數(shù)部分，右邊的是小數(shù)部分（邊說邊用PPT出示下圖）。

師：小數(shù)點(diǎn)右邊第一位上的“1”表示什么？

生1：表示把1元平均分成10份，其中的1份是1角。

師：如果小數(shù)點(diǎn)右邊第一位上的數(shù)是“5”，它又表示什么？

生2：表示把1元平均分成10份，一份是1角，5份就是5角。

師：小數(shù)點(diǎn)右邊第二位上的“1”表示什么？

生3：表示把1角平均分成10份，其中的1份是1分。

生4：因?yàn)?元=100分，所以我認(rèn)為也可以表示把1元平均分成100份，取其中的1份，也就是1分。

師：同學(xué)們，讓我們把熱烈的掌聲送給他，他特別善于開動(dòng)腦筋?，F(xiàn)在計(jì)數(shù)器上表示的是多少錢？

生（齊）：一百一十一元一角一分。

師：同學(xué)們很能干。請(qǐng)你隨意在草稿本上寫出一個(gè)小數(shù)，考考你的同桌，讓他說說小數(shù)部分每一個(gè)數(shù)位上的數(shù)表示什么，如果以“元”作單位，表示多少錢。

……

數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建過程，實(shí)際上就是“數(shù)學(xué)化”的過程。在實(shí)際操作中，借助擺一擺、找一找、分一分，發(fā)現(xiàn)小數(shù)相鄰兩個(gè)計(jì)數(shù)單位的十進(jìn)制關(guān)系。通過計(jì)數(shù)器模型，直觀感受小數(shù)的組成，理解小數(shù)點(diǎn)右邊數(shù)位上的數(shù)表示的意義，依靠模型的意義解決生活中的實(shí)際問題。在這個(gè)建模思想的滲透過程中，由生活中的具體實(shí)例開始，借助操作予以內(nèi)化和強(qiáng)化，最后通過闡述和思維發(fā)散加以擴(kuò)展和推廣，賦予了小數(shù)深刻的模型意義。

二、曲徑通幽，再探究竟——第二學(xué)段建模

在三年級(jí)借助元、角、分現(xiàn)實(shí)背景初步認(rèn)識(shí)小數(shù)的基礎(chǔ)上，第二學(xué)段對(duì)于小數(shù)的認(rèn)識(shí)，主要是將它和分?jǐn)?shù)之間進(jìn)行意義上的關(guān)聯(lián)，即：一位小數(shù)表示十分之幾，兩位小數(shù)表示百分之幾，三位小數(shù)表示千分之幾……教材中學(xué)習(xí)內(nèi)容的編排是層層遞進(jìn)的：通過生活中的元、角、分素材，認(rèn)識(shí)小數(shù)與十進(jìn)分?jǐn)?shù)的關(guān)系，再抽象到一般意義上的小數(shù)與十進(jìn)分?jǐn)?shù)的關(guān)系，最后讓學(xué)生帶著對(duì)小數(shù)意義的認(rèn)識(shí)回歸生活，進(jìn)一步體會(huì)小數(shù)的意義。如何體現(xiàn)這次建模與第一學(xué)段建模的關(guān)聯(lián)性，并在第一學(xué)段建模的基礎(chǔ)上，遞進(jìn)性地幫助學(xué)生深入理解小數(shù)的意義呢？教學(xué)片段如下：

師：同學(xué)們，0.1元是多少錢？為什么？

生1：0.1元是1角。因?yàn)閷?元錢平均分成10份，1份是1角。

師（出示圖1）：如果用這樣的一個(gè)長(zhǎng)方形表示1元，你能把它分一分、涂一涂，將0.1元表示出來嗎？

師：誰來介紹一下自己的做法？

生1：我先把這個(gè)長(zhǎng)方形平均分成10份，然后選取其中的一份涂色。

師：涂色的一份是不是0.1？

（學(xué)生點(diǎn)頭。）

師：用分?jǐn)?shù)如何表示？為什么？

生1：十分之一。因?yàn)檫x取的這一份是長(zhǎng)方形的十分之一。

師：這個(gè)長(zhǎng)方形除了可以表示1元，還可以表示什么？

生1：10元。

生2：4個(gè)蘋果。

生3：一袋米。

生4：一包糖。

師：同學(xué)們很會(huì)思考。生活中的物品，不管它有多少，是一個(gè)，還是多個(gè)，都可以用這個(gè)長(zhǎng)方形來表示。那0.1除了可以表示錢以外，還可以表示什么？

生2：可以表示長(zhǎng)度，0.1米。

師：0.1米是多長(zhǎng)？為什么？

生2：0.1米是1分米。因?yàn)榘?米平均分成10份，每一份是1分米。

師：還可以表示什么？

生3：0.1攝氏度。

師：0.1攝氏度是怎樣得到的？

生3：把1攝氏度平均分成10份，取其中的一份。

師：還可以表示什么？又是怎樣得到的？

生4：0.1千克。是把1千克平均分成10份，取其中的一份。

生5：0.1平方米。把1平方米平均分成10份，取其中的一份。

師：如果我們把長(zhǎng)方形表示的物品用“1”來表示，0.9是怎么得到的？用分?jǐn)?shù)怎樣表示？

生1：0.9表示把“1”平均分成10份，取其中的9份。用分?jǐn)?shù)表示是十分之九。

師：下面請(qǐng)同桌兩人一組，互相說一個(gè)像0.1、0.9這樣的小數(shù)，讓對(duì)方說說這個(gè)小數(shù)是怎么得到的，以及用分?jǐn)?shù)表示是多少。

（學(xué)生兩人一組開始活動(dòng)。）

師：同學(xué)們說得這么熱烈，我也來湊湊熱鬧（板書：1.3）。如果還是用一個(gè)長(zhǎng)方形表示“1”，怎樣才能表示出1.3呢？請(qǐng)同學(xué)們?cè)趯W(xué)具紙上涂一涂、畫一畫。

（學(xué)生獨(dú)立在學(xué)具紙上操作。）

師：誰來分享一下自己的做法？

生1：我畫了兩個(gè)長(zhǎng)方形，第一個(gè)全部涂成黑色。第二個(gè)平均分成10份，只涂其中的3份。（教師將其展示如圖3。）

師：為什么要這么做？

生1：因?yàn)?.3里面已經(jīng)有了一個(gè)1，就要先選一個(gè)長(zhǎng)方形，剩下的0.3就要把第二個(gè)長(zhǎng)方形平均分成10份，選取其中的3份。

師：如果一個(gè)練習(xí)本2.6元，又該如何用圖來表示呢？

生1：先畫兩個(gè)長(zhǎng)方形，全部涂成顏色。再把第三個(gè)平均分成10份，涂出其中的6份。

師：好，就像這樣，同桌兩人一組，其中一人說一個(gè)小數(shù)，另一人說如何用圖表示，開始。

……

上述教學(xué)過程將抽象的數(shù)與生活實(shí)際相連，給予發(fā)散拓展，緊緊圍繞知識(shí)間的聯(lián)系（小數(shù)與十進(jìn)分?jǐn)?shù)的關(guān)系）展開。在學(xué)生大膽的嘗試與摸索中，借助于直觀圖形的形象支撐，建立起了一位小數(shù)的“直觀模型”——將長(zhǎng)方形平均分成10份，選取其中的幾份。這種形象的“直觀模型”架起了小數(shù)和分?jǐn)?shù)之間的橋梁，很好地承擔(dān)起了“種子知識(shí)點(diǎn)”的任務(wù)，為后面兩位小數(shù)、三位小數(shù)的學(xué)習(xí)起到了引領(lǐng)作用。

這兩個(gè)教學(xué)案例告訴我們，運(yùn)用建模思想來指導(dǎo)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，有利于學(xué)生從生活經(jīng)驗(yàn)和客觀事實(shí)出發(fā)，在研究具體問題的過程中學(xué)習(xí)、理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)。這為學(xué)生提供了大量觀察、操作、實(shí)驗(yàn)、思考與交流的機(jī)會(huì)，有利于學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)涵，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思考，提高解決問題的能力，獲得良好的情感體驗(yàn)。但是對(duì)學(xué)生“模型意識(shí)”的培養(yǎng)和“建模方法”的指導(dǎo)，不僅要根據(jù)具體內(nèi)容和學(xué)習(xí)對(duì)象而有不同的要求，更要準(zhǔn)確把握教材，充分考慮到學(xué)習(xí)內(nèi)容之間的聯(lián)系、延伸與拓展，有的放矢地做到有層次地、遞進(jìn)性地培養(yǎng)學(xué)生的建模能力，逐步滲透模型思想。

（作者單位：伍愈文，五峰土家族自治縣實(shí)驗(yàn)小學(xué)；晏興鼎，五峰土家族自治縣中小學(xué)教研培訓(xùn)中心）

責(zé)任編輯 孫愛蓉