數(shù)學(xué)原型與命題解題技巧

林國欽

摘 要：有很多數(shù)學(xué)綜合題都是由一些數(shù)學(xué)原型（如公式、定理、簡單題目等）通過改變形式、組合變換、修飾偽裝等手?jǐn)嘧兓?，把本是簡單的問題變得紛繁復(fù)雜，成為難題.這是數(shù)學(xué)命題的一種重要的技巧，掌握命題技巧，可使我們在平常命題時，自己出新題.避免綜合題一味摘用別人的舊題，也有助于解題能力的提高，能識破出題人的技倆和偽裝，抽絲剝繭，顯露原型，破解難題.

關(guān)鍵詞：變換；技巧；證明；函數(shù)

一、利用數(shù)學(xué)原型數(shù)數(shù)變換

例1 求證：|a+b+c|1+|a+b+c|≤|a|1+|a|+|b|1+|b|+|c|1+|c|.

分析與證明 本題用分析法雖可以證明，但很繁.考察題中四個分式都型如x1+x.

考察函數(shù)F（x）=x1+x，易證函數(shù)F（x），x∈[0，+∞）是增函數(shù).

而0≤|a+b+c|≤|a|+|b|+|c|<∞.

所以F（|a+b+c|）≤F（|a|+|b|+|c|）.

即|a+b+c|1+|a+b+c|≤|a|+|b|+|c|1+|a|+|b|+|c|

=|a|1+|a|+|b|+|c|+|b|1+|a|+|b|+|c|

+|c|1+|a|+|b|+|c|≤|a|1+|a|+|b|1+|b|

+|c|1+|c|.

命題技巧探討 這樣的好題是如何命題出來的呢？從上述證明過程可以窺視到出題者的思想：這個命題首先利用兩個數(shù)學(xué)原型：

1.不等式0≤|a+b+c|≤|a|+|b|+|c|<∞.

2.基本命題：函數(shù)F（x）=x1+x， x∈[0，+∞）是增函數(shù).

再將上述兩個數(shù)學(xué)原型加以復(fù)合、變形而得.解題時如果能洞察出題者的思想，順勢而為，化難為易，迎刃而解.再對本題進(jìn)一步考察：若（1）將函數(shù)換成其它單調(diào)函數(shù)，（2）不等式換成其它不等式進(jìn)行組合、變換，則可根據(jù)不同的難度要求變化出很多命題，取之不盡，用之不竭.

二、利用數(shù)學(xué)原型數(shù)形變換

例2 （第十五屆全俄中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽試題）設(shè)x、y、z都在（0，1）內(nèi)，求證：x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）<1.

分析與證明 直接用代數(shù)法難以證明.因此，考察題中數(shù)量特征：∵x、y、z都在（0，1）內(nèi)，∴x、y、z、（1-x）、（1-y）、（1-z）都是正數(shù)，而不等式左邊各項都是兩數(shù)積的形式，與三角形的面積公式S=12absinc相似.考察邊長為1的正三角形ABC，如圖D、E、F分別是AB、BC、CA邊上的點，且AD=x，BE=z，CF=y，則BD=1-x， CE=1-z，AF=1-y，

即12×1×1×sin60°>12x（1-y）sin60°+12y（1-z）sin60°+12z（1-x）sin60°.

即x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）<1.

命題技巧探討 從以上證明過程可以推測出本題的命題技巧：

利用數(shù)學(xué)原型

1.三角形面積公式：S=12absinc.

2.如圖S△ABC>S△ADF+S△CFE+S△BED.

將各個三角形面積用面積公式代入化簡就得到本命題.也就是將一個簡單的幾何圖形問題轉(zhuǎn)化為一個看似較難的代數(shù)問題.證明技巧恰恰相反，需要能根據(jù)問題中的數(shù)量關(guān)系，發(fā)現(xiàn)代數(shù)問題的幾何意義，數(shù)形結(jié)合才能化難為易.

三、類比數(shù)學(xué)原型題

例3 n為自然數(shù)，求證：12+22+32+…+n2=n（n+1）（2n+1）6.

分析與證明 用數(shù)學(xué)歸納法易于證明（略）.

命題技巧探討 這個等式是如何發(fā)現(xiàn)的呢？這里試以探討.聯(lián)想到一個數(shù)學(xué)原型題：n為自然數(shù)，1+2+3+…+n=n（n+1）2.而12+22+32+…+n2的結(jié)構(gòu)形式與1+2+3+…+n相似，自然與之類比，它們是否存在某種關(guān)系呢？因此，考察Sn=1+2+3+…+n，S′n=12+22+32+…+n2.

Sn與S′n的值列表如下：

可以發(fā)現(xiàn)：S′nSn=2n+13.

即：S′n=n（n+1）（2n+1）6.

即：12+22+33+…+n2=n（n+1）（2n+1）6.

當(dāng)然這只是類比與猜想，正確性用數(shù)學(xué)歸納法證之.用同樣的方法可以證明另一題：n為自然數(shù)，求證：13+23+33+…+n3=n2（n+1）24.

四、利用數(shù)學(xué)原型題復(fù)合

例4 （1989年全國統(tǒng)一高考理科試題）是否存在常數(shù)a、b、c使得等式1·22+2·32+…+n（n+1）2=n（n+1）（an2+bm+c）12對一切自然數(shù)n都成立，并證明你的結(jié)論.

分析與證明

故當(dāng)a=3 ， b=11， c=10時，1·22+2·32+…+n（n+1）2=n（n+1）（an2+bn+c）12對一切自然數(shù)n都成立.

命題技巧探討 從第二種證法可以看到本題的命題思想是利用例3的兩個原型命題.

1.n為自然數(shù)，12+22+32+…+n2=n（n+1）（2n+1）6.

2.n為自然數(shù)，13+23+33+…+n3=n2（n+1）24.

兩個等式相減、變形而得新的例題.

參考文獻(xiàn)：

[1]李錦旭，高明濤. 構(gòu)造輔助函數(shù)的若干解題技巧[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2011（4）：44-45.

[2]李鑫. 構(gòu)造法解題技巧及類型探微[J].新課程研究，2015（4）：63-64.