淺談高中數(shù)學(xué)中函數(shù)解題技巧

張宇洋

摘 要：高中階段的函數(shù)題型千變?nèi)f化，種類繁雜，想要完全掌握具有很大的挑戰(zhàn)性。但是我們知道規(guī)律是有限的，這樣我們在加強(qiáng)對函數(shù)基本概念理解的同時，需要掌握和總出做題規(guī)律。函數(shù)在我們高中數(shù)學(xué)中具有著舉足輕重的地位，也是高考的重難點(diǎn)，這里應(yīng)當(dāng)引起我們同學(xué)對于函數(shù)學(xué)習(xí)的足夠重視。本文探討總結(jié)了幾類典型困擾我們高中生的函數(shù)難點(diǎn)題型，給出了函數(shù)解題技巧的介紹，希望能夠?qū)ν瑢W(xué)們的函數(shù)學(xué)習(xí)給出幫助

關(guān)鍵詞：

函數(shù)；解題技巧；規(guī)律

1 概念介紹

雖然高中數(shù)學(xué)是建立在初中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)之上，是對其拓展延續(xù)，但是其體系已經(jīng)不再是單一的x與y之間的單純變量關(guān)系。就函數(shù)概念而言，函數(shù)增加了反函數(shù)、值域、定義域以及函數(shù)的這些新的定義。從函數(shù)的性質(zhì)而言，我們高中新添周期性，單調(diào)性以及奇偶性這樣的新成員。要想學(xué)好函數(shù)，所謂“萬變不離其宗”，要知道出題者每年都會出新花樣，但是最初的出題依據(jù)是不變的。

2 思維剖析

2.1 三角函數(shù)解析法

（1）例題 已知tanθ=2，則sin^2θ+sinθcosθ-2cos^2θ=（ ）

A.-0.75 B.1.25 C.0.8 D.-4/3

題型分析，這道三角函數(shù)題考察弦化切相關(guān)知識，我們在解題時候要注意到暗含的分母為“1”這一隱藏信息，注意1=sin^2θ+cos^2θ的應(yīng)用。這樣題目可以被我們順利解答。

（2）三角函數(shù)公式逆運(yùn)用。

我們在解題過程中經(jīng)常發(fā)現(xiàn)很多時候常規(guī)公式無法解答或者運(yùn)算過程會很棘手，這個時候公式逆應(yīng)用的出現(xiàn)，難題也就迎刃而解。此處，我們希望同學(xué)們重點(diǎn)掌握下列公式：2sin^2x=1-cos2x，2cos^2x=1+cos2x

要知道平時多刻苦去牢記這些公式，戰(zhàn)時再遇到逆運(yùn)用題型就臨危不亂了。

（3）三角函數(shù)輔助公式的引入。

我們同學(xué)對于三角函數(shù)的輔助公式并不熟悉，但是他在我們解題中可以救急。在三角函數(shù)變換題型中，兩角以及相同兩角的正余弦公式需要變換時，此方法對于求解周期，單調(diào)區(qū)間是相當(dāng)快捷的。

方法如下。例如遇到函數(shù)asinθ+bcosθ，我們可以直接把它變換成（ ）*sin（α+ψ）的形式。這里ψ指的是輔助角，它的大小由tanψ決定。

2.2 函數(shù)最值問題

2.2.1 圖像法

很多時候遇到簡單的函數(shù)，我們只需要在草稿紙上隨手幾筆畫圖，答案就出來了。我們通過描繪函數(shù)圖形大致走向趨勢，就可以找出最值。此方便可以直觀解決大多數(shù)函數(shù)的最值問題，通過函數(shù)描點(diǎn)大致展現(xiàn)函數(shù)遞增遞減區(qū)間范圍。函數(shù)的最值可以順利找出。

2.2.2 判別式法

通常，我們會遇到很復(fù)雜的函數(shù)式甚至讓我們無從下手。首先，我們需要觀察所給函數(shù)的特征，然后對其進(jìn)行因式分解，把所給函數(shù)整理成二次方程形式。這樣，我們可以把函數(shù)轉(zhuǎn)化為類似二次函數(shù)的形式。再巧用判別式法結(jié)合二次函數(shù)求最值方法解出答案。

2.2.3 配方法

不可否認(rèn)，有些情況下我們沒辦法把復(fù)雜的函數(shù)形式劃成二次函數(shù)形式，也沒辦法作出復(fù)雜的函數(shù)圖形。這個時候需要獨(dú)具慧眼的我們，活用配方法解題。我們找出合并同類項(xiàng)，然后再結(jié)合2.2.1和2.2.2所提到的方法就可以得出函數(shù)最值。但是配方思路靈活多變，一般情況很難想出思路，這需要我們同學(xué)多總結(jié)多思考等式的變換形式，培養(yǎng)出更高的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

2.3 函數(shù)的數(shù)形結(jié)合

對于一些特定的函數(shù)，我們可以從題目所給函數(shù)特點(diǎn)，判斷出函數(shù)具有幾何意義。例如線條的斜率，圓形面積，物體長度等等。這些特征都將成為我們解題的最有效手段。

例題已知有一函數(shù)式，那么試求函數(shù)的最大值。

根據(jù)等式特點(diǎn)我們很快可以做出幾何圖形，從幾何意義出發(fā)可以使題目簡化。這里，我們可以把s看作是圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)（3，-4），（-3，-4）的距離之和，這樣，我們很快得出

解出。

2.4 換元思想

換元法是為了把復(fù)雜凌亂的函數(shù)體系通過引入新的變量來凸顯出便于我們解析的函數(shù)特征。換元法核心思維就是把陌生的內(nèi)容轉(zhuǎn)換成為我們熟知的形式。例題 已知函數(shù)f（x-1）=x^2-x，求解f（x+1）。

分析，我們運(yùn)用換元思想。假設(shè)t=x-1。我們可以得出f（t）=（t+1）^2+-（t+1）。我們再把t換成t=x+1。得出f（x+1）=（x+2）^2-（x+2）。

換元法可以清晰我們的解題思維，尤其在緊張的考試氛圍下，換元法的思維突破是我們的救命稻草。

3 技巧梳理

3.1 嚴(yán)謹(jǐn)計(jì)算

解題思路與計(jì)算的關(guān)系猶如“魚和水”的關(guān)系，沒有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)挠?jì)算作為保障，再靈巧的解題技巧也不能保證我們考試獲取分?jǐn)?shù)。因此我們學(xué)生在平時學(xué)習(xí)考試中就要養(yǎng)成注重細(xì)節(jié)的學(xué)習(xí)習(xí)慣。

3.2 從題海到規(guī)律

函數(shù)問題雖然重難點(diǎn)，但是它的規(guī)律還是可尋的。這些規(guī)律不只局限教科書，更多的分布在我們大量的習(xí)題中?？偨Y(jié)規(guī)律，總結(jié)題型，以不變應(yīng)萬變，可以做到事半功倍的效果

4 結(jié)語

函數(shù)問題將一直伴隨著我們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，我們應(yīng)當(dāng)在學(xué)習(xí)中積累經(jīng)驗(yàn)，總結(jié)出各類題型方法。在我們學(xué)習(xí)階段要培養(yǎng)自我預(yù)習(xí)復(fù)習(xí)習(xí)慣，注重了解自己的邏輯思維。為后續(xù)函數(shù)以及其他方面學(xué)習(xí)打下牢固基礎(chǔ)。自然，我們的自信心也會得到提升。對于函數(shù)解題技巧探討還不止這些，函數(shù)問題的學(xué)習(xí)有待我們不懈努力。

參考文獻(xiàn)：

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