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    “點”和“面”的奇妙關(guān)系

    2021-12-23 04:23:45李如
    數(shù)學(xué)大王·中高年級 2021年12期
    關(guān)鍵詞:皮克格點方格

    李如

    古埃及人非常聰明。他們在鋪地板的時候發(fā)現(xiàn),想要用同樣大小且同一種形狀的正多邊形鋪滿地面并且不留縫隙,只能用正三角形、正方形與正六邊形三種圖形中的一種。

    從鋪地板這件事中,古埃及人還發(fā)現(xiàn)了我們今天所說的勾股定理:直角三角形斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和。

    有趣的是,鋪地板還引出了一個令人困擾的數(shù)學(xué)問題:平面上以格點為頂點的多邊形,我們該如何計算其面積呢?

    有趣的格點

    你知道什么是格點嗎?用水平線和垂直線將平面分成若干個邊長為1的小方格,小方格的頂點就是我們說的格點。

    如果一個多邊形的頂點全是格點,這個多邊形就叫作格點多邊形。有時候,我們通過計算格點多邊形占多少個小方格,就可以很方便地計算出它的面積。但這個方法的適用性并不強,只能應(yīng)用于比較規(guī)整的格點多邊形,稍微復(fù)雜一點兒的圖形,這個方法便無法快速地計算出其面積。

    對于一些規(guī)則的圖形,如矩形、三角形,它們有自己的面積計算公式。例如,矩形的面積=長×寬,三角形的面積=底×高÷2。但是對于一些不規(guī)則的圖形,我們應(yīng)該怎樣計算其面積呢?

    面積“神功”

    比如圖1中的格點多邊形,假設(shè)一個小方格的邊長是1 cm,則每個小方格的面積是1 cm2。

    在我們知道矩形、三角形面積計算公式的情況下,面對這個不規(guī)則的格點多邊形,常用的計算面積的方法有:

    一、用矩形減“四周”。即用矩形的面積減去這個格點多邊形周圍四個三角形的面積。

    那么這個格點多邊形的面積

    S=5×6-1

    2×2×3-1

    2×3×4-1

    2×3×1-1

    2×1×5

    =30-3-6-1.5-2.5=17(cm2)

    二、切割法。把這個不規(guī)則的格點多邊形切割成四個三角形和一個矩形。

    那么這個格點多邊形的面積

    S=1

    2×2×3+1

    2×4×3+1

    2×1×5+1

    2×1×3+2×2

    =3+6+2.5+1.5+4=17(cm2)

    以上兩種方法都可以計算出格點多邊形的面積,但計算過程不免有些繁瑣和復(fù)雜。于是,數(shù)學(xué)家們便想了一個更加簡便的方法,來計算格點多邊形的面積。

    皮克定理

    皮克定理被譽為有史以來“最重要的100個數(shù)學(xué)定理”之一,它是由奧地利數(shù)學(xué)家喬治·亞歷山大·皮克在1899年發(fā)現(xiàn)的。皮克將格點多邊形的格點數(shù)和面積聯(lián)系到了一起,這是一種極其具有開創(chuàng)性的思維。

    皮克定理可以這樣解釋:若一個面積為S的格點多邊形,其邊界上有a個格點,內(nèi)部有b個格點,則有S=a

    2+b-1。根據(jù)定理,我們只要數(shù)清楚格點數(shù)再將其代入公式,就可以輕松算出格點多邊形的面積了。

    例如圖1,我們數(shù)出圖1中格點多邊形的邊界上有4個格點,內(nèi)部有16個格點,即a=4,b=16,根據(jù)皮克定理可得S=4

    2+16-1=17(cm2)。我們可以清楚地看到,最終的結(jié)果與前兩種計算方法所得的結(jié)果是一致的!面積的計算居然可以通過數(shù)格點數(shù)來得到,是不是非常有趣?

    當然皮克定理也有不適用的時候。例如當多邊形是非格點多邊形時,即多邊形某個頂點不在格點上,如圖2這種情況,就不適用了。

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