挖掘一道課本復(fù)習(xí)題的教學(xué)價值

孟炎??

摘 要：作為教學(xué)一線的教師，我們必須充分重視課本習(xí)題，對典型的習(xí)題還要從多角度挖掘其典型的教學(xué)價值，這樣做不僅能加深學(xué)生對數(shù)學(xué)概念、法則、定理等基礎(chǔ)知識的理解和掌握，讓學(xué)生在解題的準(zhǔn)確性、靈活性和敏捷性上達(dá)到新的高度，而且對開發(fā)學(xué)生智力，培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)亦有好處。本文通過對課本一道習(xí)題的教學(xué)談?wù)勛约旱囊恍┫敕ā?/p>

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)題；教學(xué)價值

中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1992-7711（2016）24-119-1

蘇教版必修五第2章《數(shù)列》復(fù)習(xí)題第17題為：

在等差數(shù)列{an}中，已知Sp=q，Sq=p（p≠q），求Sp+q的值。

這道題如果就題論題講解，不要花費(fèi)多少時間，但是這道題的教學(xué)價值沒有得到應(yīng)有的體現(xiàn)。教師若能引導(dǎo)學(xué)生多方位去探求各種不同的解法，不僅能系統(tǒng)梳理、復(fù)習(xí)等差數(shù)列的有關(guān)基礎(chǔ)知識，而且對等差數(shù)列內(nèi)在的本質(zhì)屬性會有更深刻的認(rèn)識。

為便于全面挖掘本題的教學(xué)價值，我們先把問題特殊化，考慮下列問題：

在等差數(shù)列{an}中，已知S10=100，S100=10，求S110的值。

設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，前n項(xiàng)和為Sn。

解法1：由S10=100，S100=10得

10a1+10×92d=100，（1）100a1+100×992d=10，（2），

解得a1=1099100，d=-1150。所以S110=110a1+110×1092d=-110。

注：該解法思路自然，是一種常規(guī)解法，最常規(guī)的方法也是最有效的方法，所有的學(xué)生都必須理解、掌握。該解法的缺點(diǎn)是但運(yùn)算量相對較大。

解法2：數(shù)列S10，S20-S10，S30-S20，…S60-S50，…S100-S90，S110-S100（*）成等差數(shù)列，設(shè)該等差數(shù)列的公差為D，數(shù)列前10項(xiàng)和為10S10+10×92D=S100=10，∴D=-22，

該數(shù)列第11項(xiàng)為S110-S100=S10+（11-1）（-22）=-120，∴S110=-110。

注：該解法運(yùn)用了等差數(shù)列的性質(zhì)：等差數(shù)列的依次每k項(xiàng)之和仍組成等差數(shù)列。

解法3：數(shù)列（*）的前10項(xiàng)和為S100=10，而S10=100，

所以等差數(shù)列S20-S10，S30-S20，…S60-S50，…S100-S90的前9項(xiàng)之和為-90，

即-90=9（S60-S50），∴S60-S50=-10，

而數(shù)列S10，S20-S10，S30-S20，…S60-S50，…，S100-S90，S110-S100的和為中間一項(xiàng)的11倍，

∴S110=S10+（S20-S10）+…+（S110-S100）=11（S60-S50）=11×（-10）=-110。

注：該解法兩次運(yùn)用了等差數(shù)列的性質(zhì)：S2n-1=（2n-1）an。

解法4：由于{an}為等差數(shù)列的充要條件為其前n項(xiàng)和為Sn=An2+Bn，

將S10=100，S100=10代入上式可得A=-11100，B=-11110，

∴Sn=-11100n2+11110n，∴S110=-110。

注：該解法注意到等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式的結(jié)構(gòu)特征，Sn=An2+Bn，利用待定系數(shù)法求解確定等差數(shù)列的前n項(xiàng)和。

解法5：∵Sn=na1+n（n-1）2d，∴Snn=a1+（n-1）d2，

∴（n，Snn）是直線y=（x-1）d2+a1上的一串點(diǎn)，

顯然（10，10），（100，110），（110，S110110）共線，∴S110=-110。

注：由Snn=a1+（n-1）d2聯(lián)想到直線方程。等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，當(dāng)n取不同的值時，（n，Snn）是共線的一系列點(diǎn)。

解法6：由S110=110a1+110×1092d=110（a1+1092d）。

∴10a1+10×92d=100，（1）100a1+100×992d=10，（2），由（2）-（1）得a1+1092d=-1，

上述等式兩邊同乘以110得S110=-110。

注：整體代換可以極大地減少運(yùn)算量，而運(yùn)用整體代換的前提是準(zhǔn)確認(rèn)識問題的結(jié)構(gòu)特征。

以上分析可以發(fā)現(xiàn)，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和的公式等基礎(chǔ)知識，而如果對數(shù)列的性質(zhì)有清楚的認(rèn)識，則可以讓問題的求解變得更加簡潔。

我們回到原問題，從上述解法可以知道，用解法1、2、4、5、6都可以解決該題，下面我們先用解法6來求解。

由Sp=q，Sq=p，得pa1+p×（p-1）2d=q，（3）qa1+q×（q-1）2d=p，（4）

（3）-（4）整理得a1+p+q-12d=-1，

兩邊同乘以p+q得（p+q）a1+（p+q）（p+q-1）2=-（p+q），

即Sp+q=-（p+q）。

利用例4的解法也可以進(jìn)行整體代換：

設(shè)Sn=An2+Bn，由Sp=q，Sq=p（p≠q）得

Sp=Ap2+Bp=q，（1）Sq=Aq2+Bq=p，（2）

（1）-（2）得A（p2-q2）+B（p-q）=q-p，

A（p+q）+B=-1，

Sp+q=A（p+q）2+B（p+q）=-（p+q）。

數(shù)學(xué)解題教學(xué)，題不在多，關(guān)鍵是充分挖掘已有問題的教學(xué)價值，讓學(xué)生通過一道問題不僅能夠復(fù)習(xí)鞏固相關(guān)的基礎(chǔ)知識，對相關(guān)的概念、公式的理解上一個臺階，而且能夠掌握求解這一類問題的一般方法，更要讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)的思想方法。上述問題中，解法1、解法4滲透了函數(shù)與方程的思想，解法2、解法3、解法6都用到整體代換的思想，解法5實(shí)際上是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，這中間還滲透特殊和一般轉(zhuǎn)化的思想：當(dāng)問題困難時把問題特殊化，簡單的特殊的問題解決了，再把問題一般化，而解決特殊問題時的方法對解決一般問題是有啟發(fā)的。這樣的教學(xué)讓學(xué)生所掌握的一般的思想方法可以遷移到解決其他問題，學(xué)生分析問題、解決問題的能力也就得到了提升。