0/0型未定式極限求解方法的探索

陳智豪+楊天明+梅霞

摘要：■型未定式是極限計算中較為常見的一種極限類型?！鲂臀炊ㄊ綐O限的計算方法主要有約去趨向于零的公因式、等價無窮小量的替換、羅必達(dá)法則。什么情況下使用哪種方法可以使計算過程更加簡單快捷是教師在教學(xué)中需要著重引導(dǎo)學(xué)生思考的問題。

關(guān)鍵詞：■型未定式；趨向于零的公因式；等價無窮??；羅必達(dá)法則

中圖分類號：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2017）20-0226-02

一元函數(shù)微積分學(xué)中包括極限、導(dǎo)數(shù)與微分、不定積分與定積分三大運(yùn)算，其中，極限運(yùn)算是最為重要也是最為基礎(chǔ)的運(yùn)算。[1]

一、約去趨向于零的公因式

對于■型未定式來說，如果求極限的是一個分式，并且分子、分母有多個因式組成，那么其中很可能存在某幾個因式趨向于零。如果這些因式分別在分子和墳?zāi)沟奈恢貌⑶铱梢约s去的話，極限就會變得便于計算了。具體的做法通常有因式分解、分子或分母有理化等。

例1：求極限■■.

解：原式=■■=■■=2.

例2：求極限■■.

解：原式=■■

=■■

=■■=■.

例1通過因式分解約去了趨向于零的公因式（x+1），例2通過分子有理化約去了趨向于零的公因式x■，從而將此極限轉(zhuǎn)化為更為簡單的形式。

二、等價無窮小量的替換

常用的等價無窮小量有：當(dāng)x→0時，sinx～x，tanx～x，arcsinx～x，1-cosx～■，e■-1～x，ln（1+x）～x等.利用等價無窮小對因式整體替換往往能夠?qū)O限式轉(zhuǎn)化為更為簡單的形式，給計算帶來便利。

例3：求極限■■[2]

解：原式=■■=■■=■

此例中如果對分子中的tanx和sinx直接使用等價無窮小量的替換，將會得到錯誤的結(jié)果，因?yàn)樗鼈儾皇且蚴?，使用這種方法的時候特別要注意針對因式使用等價無窮小量進(jìn)行替換。

三、第一個重要極限

在兩個重要極限這一部分內(nèi)容中，介紹的第一個重要極限是■■=1，在實(shí)際使用中，更多的是利用這個極限式的推廣形式■■=1求極限，其中，□可以是一個變量也可以是某個式子。

例4：求極限■■

解：原式=■■=■■·■■=■

四、羅必達(dá)法則

羅必達(dá)法則是求解極限的一種有效方法，雖然很多■型未定式都可以使用羅必達(dá)法則求解極限，但是特別要注意表達(dá)式是否符合法則成立的條件，否則可能導(dǎo)致計算變得更復(fù)雜甚至得到錯誤的結(jié)果。此外，在一個極限的計算中，羅必達(dá)法則的使用次數(shù)沒有限制，使用羅必達(dá)法則之前一定要確保該表達(dá)式符合法則成立的條件。

例5：求極限■■[3]

解：原式=■■=■■=1

再比如下面這個例子，如果只用羅必達(dá)法則計算就會很煩瑣，但是將等價無窮小量的替換和羅必達(dá)法則結(jié)合在一起使用則簡捷得多。

例6：求極限■■

解：原式=■■=■■=■■=■■=-■

綜上所述，在求解■型未定式的極限時，應(yīng)當(dāng)注意先仔細(xì)觀察再確定計算方法。在有些情況下，單單使用一種方法未必是最佳解法，將多種方法結(jié)合在一起使用，往往可以使得計算過程更加簡捷。

參考文獻(xiàn)：

[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].北京：高等教育出版社，2012.

[2]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2014.

[3]楊天明.高等數(shù)學(xué)[M].南京大學(xué)出版社，2015.