基于差分插補(bǔ)原理的圓柱插補(bǔ)模式研究

王宏甲，趙慶志，楊召彬

(山東理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，山東 淄博 255000)

基于差分插補(bǔ)原理的圓柱插補(bǔ)模式研究

王宏甲，趙慶志，楊召彬

(山東理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，山東 淄博 255000)

為了實(shí)現(xiàn)圓柱表面二次曲線的直接插補(bǔ)，通過(guò)對(duì)車銑復(fù)合加工中心的圓柱插補(bǔ)模式進(jìn)行分析，提出將差分插補(bǔ)原理應(yīng)用到圓柱插補(bǔ)模式中。為了得到圓柱表面插補(bǔ)與平面插補(bǔ)之間的關(guān)系，實(shí)現(xiàn)圓柱面二次曲線的差分插補(bǔ)，對(duì)圓柱面的展開(kāi)進(jìn)行了數(shù)學(xué)分析。通過(guò)引進(jìn)圓柱插補(bǔ)模式縮放比例因子，實(shí)現(xiàn)了圓柱插補(bǔ)與平面插補(bǔ)的統(tǒng)一，提高了數(shù)控程序的編制與加工效率。經(jīng)過(guò)分析二次曲線差分插補(bǔ)代碼，定義了圓柱插補(bǔ)模式的命令格式，并進(jìn)行了相關(guān)的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，基于差分插補(bǔ)原理的圓柱插補(bǔ)模式實(shí)現(xiàn)了圓柱表面二次曲線的直接插補(bǔ)，并且易于理解與編程。

差分插補(bǔ)原理；圓柱插補(bǔ)模式；旋轉(zhuǎn)軸；二次曲線

0 引言

圓柱零件是各種機(jī)械中常見(jiàn)的重要零件之一。隨著機(jī)械設(shè)計(jì)與數(shù)控技術(shù)的快速發(fā)展，對(duì)于圓柱面輪廓曲線加工的需求也日益強(qiáng)烈[1]。比如，圓柱槽凸輪的加工以及圓柱面的漢字雕刻等。因此對(duì)圓柱插補(bǔ)模式的研究具有重要的應(yīng)用價(jià)值[2]。

實(shí)現(xiàn)圓柱面上輪廓曲線的銑削加工方法主要有CAD/CAM軟件自動(dòng)編程[3]、編制宏程序指令[4-6]以及圓柱插補(bǔ)指令[7-9]。其中CAD/CAM自動(dòng)編程采用微小直線或圓弧對(duì)非圓二次曲線進(jìn)行擬合，程序極為復(fù)雜，加工效率比較低[10]。編制宏程序指令需要進(jìn)行復(fù)雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算，對(duì)于非圓二次曲線的加工沒(méi)有統(tǒng)一的編程標(biāo)準(zhǔn)，降低了生產(chǎn)效率和加工精度。圓柱插補(bǔ)指令主要是在圓柱面展開(kāi)的狀態(tài)下進(jìn)行程序編寫(xiě)，編程方便，易于掌握。但是，圓柱插補(bǔ)指令同樣無(wú)法對(duì)非圓二次曲線進(jìn)行直接插補(bǔ)，并且該功能主要應(yīng)用在比較高檔的車銑復(fù)合加工中心，普通的經(jīng)濟(jì)型數(shù)控機(jī)床一般無(wú)此功能。

針對(duì)上述情況，本文通過(guò)對(duì)車銑復(fù)合加工中心的圓柱插補(bǔ)模式進(jìn)行分析與參考，提出采用差分插補(bǔ)原理[11]在第四軸上實(shí)現(xiàn)圓柱面輪廓曲線的插補(bǔ)，以期在普通的經(jīng)濟(jì)型數(shù)控機(jī)床上實(shí)現(xiàn)易于編程且能夠直接插補(bǔ)二次曲線的圓柱插補(bǔ)模式。

1 車銑加工中心的圓柱插補(bǔ)模式分析

1.1 圓柱插補(bǔ)模式的定義

通過(guò)文獻(xiàn)[7-9]可知，車銑復(fù)合加工中心的圓柱插補(bǔ)模式是指將以角度指定的旋轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)量，先根據(jù)圓柱的直徑變換成相應(yīng)圓周上直線軸的移動(dòng)量，用該移動(dòng)量與其他軸進(jìn)行直線或者圓弧插補(bǔ)。插補(bǔ)后再逆變成旋轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)量，控制旋轉(zhuǎn)軸進(jìn)行插補(bǔ)運(yùn)動(dòng)。

1.2 圓柱插補(bǔ)模式的插補(bǔ)精度

圓柱插補(bǔ)模式對(duì)旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)量進(jìn)行內(nèi)部換算成移動(dòng)量后，由插補(bǔ)結(jié)果再逆變?yōu)樾D(zhuǎn)量。在這一轉(zhuǎn)換過(guò)程中，移動(dòng)量的舍入為一個(gè)最小輸入增量單位。實(shí)際轉(zhuǎn)動(dòng)量的計(jì)算公式，如下式所示。

其中：

MOTION REV：回轉(zhuǎn)軸每轉(zhuǎn)的移動(dòng)量

R：工件半徑

[]：舍入至最小輸入增量單位

由上式可知，在執(zhí)行轉(zhuǎn)換時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)量按照輸入的最小增值進(jìn)行。當(dāng)圓柱體半徑比較小時(shí)，實(shí)際的轉(zhuǎn)動(dòng)量與指定的轉(zhuǎn)動(dòng)量不等。不過(guò)，這一誤差不會(huì)積累[7]。

1.3 圓柱插補(bǔ)模式的優(yōu)缺點(diǎn)

在車銑復(fù)合加工中心的圓柱插補(bǔ)模式下，圓柱凸輪槽這一類型零件的加工程序能夠非常容易地編制，實(shí)用價(jià)值非常高[2]。但是，隨著工程應(yīng)用對(duì)機(jī)械產(chǎn)品性能以及外觀要求的不斷提高，在圓柱外表面加工的曲線輪廓出現(xiàn)了更高的要求，比如雕刻漢字以及加工常見(jiàn)的二次曲線等。如若在車銑復(fù)合加工中心的圓柱插補(bǔ)模式下進(jìn)行上述加工，需對(duì)大量的坐標(biāo)點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算，二次曲線的加工一般只能采取曲線擬合的方式進(jìn)行，工作量很大，加工效率比較低[3,7]。

2 旋轉(zhuǎn)軸插補(bǔ)編程的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)

本文采用車銑復(fù)合加工中心圓柱插補(bǔ)模式的基本思路，在三坐標(biāo)數(shù)控雕刻機(jī)中，增加第四軸(旋轉(zhuǎn)軸)來(lái)實(shí)現(xiàn)基于差分插補(bǔ)原理的圓柱插補(bǔ)模式。在加工的過(guò)程中，將原來(lái)的移動(dòng)軸用旋轉(zhuǎn)軸替代，用旋轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)將所加工的輪廓曲線纏繞到圓柱外表面。

經(jīng)上述分析可知，旋轉(zhuǎn)軸與原直線軸之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，是聯(lián)系圓柱面插補(bǔ)與平面插補(bǔ)的重要紐帶[4]。本文以加工圓柱面上的圓弧為例，進(jìn)行數(shù)學(xué)關(guān)系的分析。圓柱面加工圓弧及其展開(kāi)圖，如圖1所示。

圖1 圓柱外表面加工圓弧及其展開(kāi)圖

分析：由數(shù)控系統(tǒng)的插補(bǔ)原理可知，X、Z軸不動(dòng)時(shí)，Y軸每走一個(gè)脈沖當(dāng)量ΔY,B軸如果也聯(lián)動(dòng)一脈沖當(dāng)量ΔB，只需要給定ΔY與ΔB的函數(shù)關(guān)系ΔY=f(ΔB)，則刀具在圓柱表面的運(yùn)動(dòng)軌跡就是一確定的軌跡。在對(duì)該函數(shù)關(guān)系式表達(dá)的輪廓曲線插補(bǔ)之前，還必須找到ΔB與ΔX的關(guān)系，才能實(shí)現(xiàn)從直線軸到旋轉(zhuǎn)軸的變換，為實(shí)現(xiàn)基于差分插補(bǔ)原理的圓柱插補(bǔ)模式做好數(shù)據(jù)準(zhǔn)備工作。

圖2 旋轉(zhuǎn)軸與直線軸的數(shù)學(xué)關(guān)系圖

如圖2所示，在圓柱展開(kāi)圖中，設(shè)圓弧半徑為R，x軸的增量為Δx，y軸的增量為Δy，圓弧起點(diǎn)為Ps(xs,ys)，圓弧終點(diǎn)坐標(biāo)為Pe(xe,ye)，圓弧中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O(0,0)，在直徑為D的圓柱工件表面上，Δx對(duì)應(yīng)的圓心角為Δb。則Δx、Δb以及工件直徑D之間有如下的數(shù)學(xué)關(guān)系：

(2)

由式(2)可得，ΔX、ΔB以及工件直徑D之間有如下的數(shù)學(xué)關(guān)系：

(3)

至此，ΔY=f(ΔB)的函數(shù)關(guān)系已經(jīng)確定。接下來(lái)，下文將把這些函數(shù)關(guān)系應(yīng)用到差分插補(bǔ)原理中，實(shí)現(xiàn)圓柱面上二次曲線的直接插補(bǔ)。

3 基于差分插補(bǔ)原理的圓柱插補(bǔ)模式

3.1 差分插補(bǔ)原理中的相關(guān)概念與定義

3.1.1 差分插補(bǔ)原理的依據(jù)與各坐標(biāo)系的定義

從相關(guān)文獻(xiàn)[11-12]中分析可得，差分插補(bǔ)原理的依據(jù)是從原點(diǎn)開(kāi)始，依據(jù)函數(shù)遞增的趨勢(shì)進(jìn)行推導(dǎo)。在插補(bǔ)的過(guò)程中，為滿足該插補(bǔ)方法的理論依據(jù)，建立了一系列的坐標(biāo)系。各坐標(biāo)系的論述如下。

(1)定義用絕對(duì)坐標(biāo)系：該坐標(biāo)系與通常定義的平面直角坐標(biāo)系相同，主要用于定義曲線，為數(shù)控編程的ISO代碼提供與曲線函數(shù)相關(guān)的加工信息。

(2)相對(duì)坐標(biāo)系：為了保證曲線在加工過(guò)程中滿足差分插補(bǔ)的理論依據(jù)，曲線方程要經(jīng)過(guò)坐標(biāo)系平移和變向化為可分離變量的正高次曲線。此時(shí)會(huì)建立相對(duì)坐標(biāo)系，保證曲線起點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，起點(diǎn)處的切線在相對(duì)坐標(biāo)系的第一象限。根據(jù)可分離變量的正高次曲線，求出x、y的各階差分。

(3)加工用絕對(duì)坐標(biāo)系：在初始化插補(bǔ)參數(shù)時(shí)，L為曲線起點(diǎn)的切線方向所在的絕對(duì)象限號(hào)，象限的定義為L(zhǎng)41，L42，L43以及L44。在此絕對(duì)坐標(biāo)系中，x′軸與y′軸的正方向是根據(jù)機(jī)床進(jìn)給的正方向選取的。故將其命名為加工用絕對(duì)坐標(biāo)系，為機(jī)床各軸進(jìn)給方向提供基準(zhǔn)。在本文中，取x′軸水平向右，y′軸垂直向上為正方向，選取曲線加工起點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)來(lái)建立加工用絕對(duì)坐標(biāo)系。

3.1.2 二次曲線差分插補(bǔ)代碼的初始化

將在定義用絕對(duì)坐標(biāo)系中的二次多項(xiàng)式曲線方程Pn(x)=Qm(y)，按照坐標(biāo)平移和坐標(biāo)軸變向化為相對(duì)坐標(biāo)系中的正二次曲線方程，其形式為：

a2x2+a1x=b2y2+b1y

(4)

則其差分插補(bǔ)代碼為：

jx1，jx2，jy1，jy2，F(xiàn)，G，jj，L

jx1：x的一階差分；jx2：x的二階差分；

jy1：y的一階差分；jy2：y的二階差分；

F：插補(bǔ)偏差；G：計(jì)數(shù)方向；

jj：曲線在x軸(或者y軸)上的投影長(zhǎng)度；

L：加工用絕對(duì)坐標(biāo)象限。

其中，jx1=a2+a1，jx2=2a2，jy1=b2+b1，jy2=2b2。在插補(bǔ)的過(guò)程中，必須保證jx1>0，jy1>0，其具體差分計(jì)算見(jiàn)相關(guān)參考文獻(xiàn)[11]。F為插補(bǔ)偏差，F(xiàn)=Pn(x)-Qm(y)或者F=Qm(y)-Pn(x)，在插補(bǔ)初始化時(shí)，F(xiàn)=0。G為計(jì)數(shù)方向，用來(lái)判斷投影方向。若曲線終點(diǎn)的切線斜率絕對(duì)值K大于1時(shí)，G=Gy，曲線的投影方向?yàn)閥軸，否則G=Gx，曲線的投影方向?yàn)閤軸。jj為曲線在計(jì)數(shù)方向上的計(jì)數(shù)長(zhǎng)度。L為曲線加工起始段所在的加工用絕對(duì)坐標(biāo)系象限號(hào)。在曲線的插補(bǔ)過(guò)程中，當(dāng)二階差分值為負(fù)值時(shí)，有可能出現(xiàn)一階差分值為負(fù)值的情況。為使插補(bǔ)運(yùn)算正常進(jìn)行，必須改變坐標(biāo)軸的進(jìn)給方向，保證各一階差分值為正，所以要調(diào)整L所在的加工用絕對(duì)坐標(biāo)系的象限。正二次曲線差分插補(bǔ)的基本原理，如圖3所示。

圖3 正二次曲線差分插補(bǔ)基本原理圖

3.2 差分插補(bǔ)原理在圓柱插補(bǔ)模式中的應(yīng)用

3.2.1 由平面插補(bǔ)向圓柱插補(bǔ)的過(guò)渡

將上文中有關(guān)旋轉(zhuǎn)軸與原直線軸的關(guān)系進(jìn)行整理，并帶入式(4)，得到：

(5)

由式(5)可知，經(jīng)變換后的方程依然為正二次曲線方程，符合差分插補(bǔ)原理的基本要求。

由以上分析可知，基于差分插補(bǔ)原理的圓柱插補(bǔ)模式的各個(gè)參數(shù)與平面插補(bǔ)參數(shù)在形式上具有一致性。為了實(shí)現(xiàn)了平面插補(bǔ)與圓柱插補(bǔ)程序的統(tǒng)一，簡(jiǎn)化插補(bǔ)程序的編寫(xiě)，提高插補(bǔ)效率，并且易于編寫(xiě)數(shù)控程序，對(duì)于圓柱插補(bǔ)模式依然可以采用式(4)的插補(bǔ)代碼形式。

在實(shí)際插補(bǔ)過(guò)程中，需要將輸入的坐標(biāo)等參數(shù)轉(zhuǎn)換為以脈沖當(dāng)量為單位的數(shù)值。在這一轉(zhuǎn)換過(guò)程中，需要特別注意圓柱直徑這一變量數(shù)值。由于旋轉(zhuǎn)軸的角度脈動(dòng)當(dāng)量是固定不變的，而工件直徑不同時(shí)，數(shù)控系統(tǒng)發(fā)出一次脈沖，轉(zhuǎn)換到工件圓柱面上的直線距離也是不同的。即旋轉(zhuǎn)軸的直線脈沖當(dāng)量隨著工件直徑的不同而發(fā)生變化。

針對(duì)上述問(wèn)題，本文引入圓柱插補(bǔ)模式縮放比例因子n，通過(guò)該比例因子來(lái)使插補(bǔ)程序適應(yīng)由于工件直徑的不同而導(dǎo)致旋轉(zhuǎn)軸直線脈沖當(dāng)量發(fā)生的變化，其表達(dá)式如下所示：

n=δ′/δ

(6)

其中：δ為原直線軸的直線脈沖當(dāng)量，

δ′為旋轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)換到圓柱型工件表面的直線脈沖當(dāng)量。

3.2.2 圓柱插補(bǔ)模式的命令格式

通過(guò)以上分析，基于差分插補(bǔ)原理的圓柱插補(bǔ)模式可以直接采用平面內(nèi)的差分插補(bǔ)方法。所以，在進(jìn)入圓柱插補(bǔ)模式后，只需要編程人員提供圓柱工件的直徑，其余參數(shù)按照?qǐng)A柱展開(kāi)后的平面計(jì)算即可。

圓柱插補(bǔ)模式的命令格式定義如下：

G11 參數(shù)① 參數(shù)②

其中：

參數(shù)①為旋轉(zhuǎn)軸的代號(hào)，如A，B，C等。

參數(shù)②為圓柱工件的直徑。當(dāng)直徑不為零時(shí)，開(kāi)啟圓柱插補(bǔ)模式；當(dāng)直徑為0時(shí)，取消圓柱插補(bǔ)模式。

4 基于差分插補(bǔ)原理的圓柱插補(bǔ)實(shí)驗(yàn)

通過(guò)參考有關(guān)差分插補(bǔ)的文獻(xiàn)[11-15]，在VC++6.0的開(kāi)發(fā)環(huán)境下，對(duì)基于差分插補(bǔ)原理的圓柱插補(bǔ)模式進(jìn)行開(kāi)發(fā)。在三坐標(biāo)數(shù)控雕刻機(jī)設(shè)備上，采用上述插補(bǔ)模式，對(duì)圓柱表面進(jìn)行圓與橢圓的雕刻實(shí)驗(yàn)。其實(shí)驗(yàn)結(jié)果，如圖4所示。

圖4 圓柱面雕刻實(shí)驗(yàn)

5 結(jié)論

通過(guò)研究差分插補(bǔ)原理在圓柱插補(bǔ)模式上的應(yīng)用，拓展了基于差分插補(bǔ)原理數(shù)控系統(tǒng)的應(yīng)用范圍，為在經(jīng)濟(jì)性數(shù)控系統(tǒng)上實(shí)現(xiàn)圓柱表面的插補(bǔ)提供了重要的支持。在三坐標(biāo)數(shù)控雕刻機(jī)上進(jìn)行的實(shí)驗(yàn)，其結(jié)果表明基于差分插補(bǔ)原理的圓柱插補(bǔ)模式易于編程，能夠?qū)崿F(xiàn)二次曲線在圓柱表面的直接雕刻。為后期進(jìn)一步研究回轉(zhuǎn)體零件(如錐臺(tái)等)表面復(fù)雜輪廓曲線的插補(bǔ)，打下了良好的基礎(chǔ)。

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(編輯 李秀敏)

Research on Cylindrical Interpolation Model Based on Differential Interpolation

WANG Hong-jia， ZHAO Qing-zhi， YANG Zhao-bin

(School of Mechanical Engineering, Shandong University of Technology, Zibo Shandong 255000, China)

In order to realize the direct interpolation of the conic of the cylindrical surface, the difference interpolation principle is applied to the cylindrical interpolation mode by analysing the cylindrical interpolation mode of turning-milling machines.The mathematical analysis of the cylindrical surface is carried out for obtaining the relationship between the cylindrical surface interpolation and the plane interpolation in order to realize the interpolation of conic on the cylinder surface.By introducing the cylindrical interpolation mode scaling factor, the unification of cylindrical interpolation and plane interpolation is realized, and the efficiency of NC programming and machining is improved.After the analysis of the conic difference interpolation code,the command format about cylindrical interpolation modes are defined.At the same time, the relevant verification experiments are taken.The experimental results show that the cylindrical interpolation mode based on the differential interpolation principle can achieve the direct interpolation of the conic of the cylindrical surface, and it is easy to understand and program.

differential interpolation；cylindrical interpolation model；axis of rotation；conic

1001-2265(2017)05-0014-03

10.13462/j.cnki.mmtamt.2017.05.004

2016-11-11；

2016-12-08

王宏甲(1988—)，男，山東濰坊人，山東理工大學(xué)碩士研究生，研究方向?yàn)閿?shù)控技術(shù)與裝備，計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)與圖形學(xué)，(E-mail)whj1988928@163.com；通訊作者：趙慶志(1962—)，男，山東日照人，山東理工大學(xué)教授，博士，研究方向?yàn)閿?shù)控技術(shù)與裝備、機(jī)電一體化技術(shù)，(E-mail)zhaoqzme@163.com。

TH162;TG659

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