對(duì)中心極限定理的教學(xué)研究與思考

李春娥+蔣青松

摘 要：中心極限定理是概率論的重要內(nèi)容之一，又是數(shù)理統(tǒng)計(jì)中大樣本統(tǒng)計(jì)推斷的理論基礎(chǔ).文章通過貼近學(xué)生生活的例子引入中心極限定理，引導(dǎo)學(xué)生積極探索問題，解決問題，從而使學(xué)生深刻理解中心極限定理內(nèi)涵、并能靈活運(yùn)用中心極限定理解決生活中的問題.在教學(xué)中，應(yīng)著重培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)和研究興趣，引導(dǎo)他們從學(xué)習(xí)知識(shí)到總結(jié)規(guī)律，進(jìn)而向應(yīng)用推廣進(jìn)行轉(zhuǎn)變.

關(guān)鍵詞：中心極限定理 教學(xué)研究 總結(jié)規(guī)律 推廣應(yīng)用

一、中心極限定理的引入

在一定條件下，大量隨機(jī)變量序列之和的極限分布近似為正態(tài)分布的一系列定理，統(tǒng)稱為中心極限定理，但是為什么大量的隨機(jī)變量序列之和的極限分布近似正態(tài)分布？對(duì)學(xué)生而言，非常抽象和難以理解，那么怎么樣引入才能引起學(xué)習(xí)中心極限定理的興趣和深刻理解、掌握中心極限定理的實(shí)質(zhì)呢？下面以貼近實(shí)際生活的例子引入中心極限定理。

引導(dǎo)學(xué)生思考問題：以某高校理工科學(xué)生的高等數(shù)學(xué)成績?yōu)殡S機(jī)變量，觀察全體學(xué)生的高等數(shù)學(xué)成績的分布情況，再思考該校自建校以來至今所有學(xué)生高等數(shù)學(xué)成績之和的分布情況？提出問題以后，讓學(xué)生分組自由討論，然后小組代表回答問題，就學(xué)生回答的答案進(jìn)行分析，進(jìn)而引向中心極限定理。

例：（預(yù)算問題）隨著大數(shù)據(jù)的發(fā)展，越來越多的人參加數(shù)據(jù)分析師資格證書的考試，某大型咨詢公司今年有500名員工參加此資格證書考試，員工是否通過考試為一隨機(jī)變量，設(shè)每一名員工通過考試的概率為0.8。公司為了鼓勵(lì)員工積極提升自身素質(zhì)，若員工通過考試，則給予1000元的獎(jiǎng)勵(lì)。試計(jì)算該公司要為這次考試至少做多少元的預(yù)算才能以0.95的概率保證通過考試的員工及時(shí)領(lǐng)到獎(jiǎng)勵(lì)？

分析：以記500名員工中通過考試的數(shù)量，以表示該公司為此次考試準(zhǔn)備的預(yù)算額，另外，每個(gè)員工是否通過考試是相互獨(dú)立的，則由題意知求：P其中X：B（500，0.8），顯然直接用二項(xiàng)分布求Y，計(jì)算非常繁瑣，難以求出。在此可將隨機(jī)變量看作由500個(gè)兩點(diǎn)分布的和構(gòu)成，那么我們只須求出這些相互獨(dú)立的大量隨機(jī)變量的和服從什么分布，問題就得以解決。

由以上分析知，解決問題的關(guān)鍵是求出大量隨機(jī)變量和的分布，為了得到大量隨機(jī)變量和的分布情況，引入中心極限定理。

定理1（林德貝格—勒維中心極限定理）設(shè){Xn}是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，且E（Xi）=μ，D（Xi）=σ2≥0。

則對(duì)任意實(shí)數(shù)y，有

此定理也稱為獨(dú)立同分布的中心極限定理，即在隨機(jī)變量序列獨(dú)立同分布，數(shù)學(xué)期望和方差存在的條件下，只要充分大，的隨機(jī)變量之和就近似服從正態(tài)分布。

由林德貝格—勒維中心極限定理，把二項(xiàng)分布看作n個(gè)兩點(diǎn)分布的和，易得二項(xiàng)分布可用正態(tài)分布近似，即棣莫弗—拉普拉斯定理。

定理2設(shè)隨機(jī)變量ηn（n=1，2L）服從參數(shù)為n，p（0

顯然，這是獨(dú)立同分布中心極限定理的特殊情況，當(dāng)n→∞時(shí)，二項(xiàng)分布的極限分布是正態(tài)分布，即可用正態(tài)分布來近似地計(jì)算復(fù)雜的二項(xiàng)分布。

以上兩個(gè)中心極限定理都是研究可列個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量和的分布，在一般條件下，當(dāng)獨(dú)立的隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)增加時(shí)，隨機(jī)變量和的極限分布近似服從正態(tài)分布，這為利用正態(tài)分布來解決隨機(jī)變量和的問題提供了理論依據(jù)。根據(jù)兩個(gè)中心極限定理，以上例題迎刃而解。

思考題：若某高校為了鼓勵(lì)學(xué)生積極考研，對(duì)考上重點(diǎn)大學(xué)的學(xué)生給予2000元的獎(jiǎng)勵(lì)，非重點(diǎn)大學(xué)的學(xué)生給予1000元的獎(jiǎng)勵(lì)。試通過對(duì)母校近幾年考研情況的調(diào)查，計(jì)算學(xué)校計(jì)財(cái)處每年至少做多少元的預(yù)算才能以0.99的概率保證考上研究生的同學(xué)及時(shí)領(lǐng)到獎(jiǎng)勵(lì)。

二、對(duì)中心極限定理教學(xué)的思考

中心極限定理是學(xué)習(xí)數(shù)理統(tǒng)計(jì)的理論基礎(chǔ)，在大數(shù)據(jù)時(shí)代，中心極限定理的應(yīng)用無處不在。如何使學(xué)生深刻理解和靈活運(yùn)用中心極限定理這個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)呢？由于中心極限定理的應(yīng)用非常廣泛，引出定理后，強(qiáng)調(diào)其適用的條件和完美的結(jié)論，一般不給予證明，因?yàn)榇硕ɡ淼淖C明要用到特征函數(shù)，但是大多數(shù)教材中沒有特征函數(shù)這一章節(jié)，所以在這兒只強(qiáng)調(diào)應(yīng)用而不是證明。對(duì)于統(tǒng)計(jì)專業(yè)的學(xué)生，教師可以從中心極限定理的歷史發(fā)展過程，結(jié)合軟件模擬大量隨機(jī)變量和的分布情況引入，并對(duì)中心極限定理進(jìn)行證明。

三、總結(jié)

中心極限定理在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中是重要的基本理論之一，并且開啟了數(shù)理統(tǒng)計(jì)的學(xué)習(xí)，在具體的教學(xué)實(shí)踐中，應(yīng)分析中心極限定理的特征和共性。積極引導(dǎo)學(xué)生思考，通過實(shí)例教學(xué)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。教學(xué)活動(dòng)以師生互動(dòng)為主體，對(duì)中心極限定理相關(guān)部分內(nèi)容的教學(xué)，應(yīng)遵循學(xué)生學(xué)習(xí)認(rèn)知規(guī)律，循序漸進(jìn)地開展教學(xué)活動(dòng)，延續(xù)“觀察分析→理解含義→理論證明→歸納總結(jié)→推廣應(yīng)用”這一過程開展相應(yīng)教學(xué)活動(dòng)，力爭讓學(xué)生達(dá)到“學(xué)以致用”的目的。

參考文獻(xiàn)

[1]陳學(xué)慧，趙魯濤，張志剛.案例式中心極限定理教學(xué)研究[J].大學(xué)數(shù)學(xué).

[2]茆詩松，程依明，濮曉龍.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程[M].北京：高等教育出版社.

作者簡介

李春娥（1985-），女，山東菏澤人，碩士，講師。研究方向：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)研究。

通訊作者*

蔣青松（1981-），男，湖北潛江人，在讀博士，副教授，碩士生導(dǎo)師。研究方向：系統(tǒng)建模與分析及優(yōu)化，高等數(shù)學(xué)教學(xué)與研究。