對“包含除”的再思考

熊小紅

最近讀了張奠宙先生的文章《教材編寫要注意防止片面的思維定式———評小學(xué)數(shù)學(xué)教材中忽視“包含除”的傾向》，我非常贊同張老師的觀點(diǎn)，并對這個知識點(diǎn)有了更深的認(rèn)識。

一、對文章中幾個觀點(diǎn)的理解

觀點(diǎn)一：等分除和包含除是一對“孿生兄弟”。

張老師說這是兩種不同意義的除法。知道總數(shù)，知道平均分的份數(shù)，求每份是多少，俗稱“等分除”；知道總數(shù)，知道每份是多少，問有多少份，即總數(shù)里包含多少份，俗稱“包含除”。這兩種除法是同一個平均分物數(shù)學(xué)模型所產(chǎn)生的，地位平等。

小學(xué)教材里分?jǐn)?shù)的定義大多采用按固定人數(shù)分月餅的模型引入并強(qiáng)化，對度量“一段小于單位的余量”的包含除模型則回避不談。此外，應(yīng)用題的求解過程中涉及的基本關(guān)系大多是行程問題、工程問題、價格問題等，這些基本關(guān)系都涉及兩個因數(shù)相乘。應(yīng)用題的變化，就是知道總量及一個因數(shù)，設(shè)法求出另一個因數(shù)。因此，在各種問題的提法上都有相當(dāng)于等分除和包含除兩種類型的差異。如能均衡地對待等分除和包含除，則有利于后續(xù)的應(yīng)用題教學(xué)。

觀點(diǎn)二：從等分除到包含除：培養(yǎng)學(xué)生提出問題的能力。

張老師說，在除法單元中，應(yīng)該更多地關(guān)注如何多樣化地提出問題，不要局限于等分除的問題。我們甚至可以要求學(xué)生對其中8個小節(jié)，在保持?jǐn)?shù)據(jù)不變、計算要求相同的條件下，將等分除的問題再提出一個不同類型的除法問題來。

二、結(jié)合文中觀點(diǎn)，談?wù)勎易约旱目捶?/p>

1.學(xué)生不需要理解哪些題是等分除，哪些題是包含除。

教材中雖然沒有出現(xiàn)包含除和等分除的名稱，但在具體的情境中，包含除和等分除這兩種情況都有體現(xiàn)。比如，在分香蕉中，把12根香蕉平均分成2份，每份6根，這一分物活動用算式表示為：12÷2=6，就是所謂的等分除；12根香蕉，每4根裝一盤，需要幾個盤子？這一分物活動用算式表示為：12÷4=3，就是所謂的包含除。雖然這兩種形式在教材中都有體現(xiàn)，但這里的分物活動不出現(xiàn)等分除、包含除，而是力求在分物活動中，讓學(xué)生利用自己的策略實(shí)際進(jìn)行操作，并在操作中感悟除法的含義。

2.教師不必對除法作如此細(xì)致的劃分。

我們在生活中面對一個具體的分配東西的問題時，是否會先區(qū)分它是屬于包含除還是等分除？除法就是分配東西，實(shí)際生活中人們不可能會有這樣的區(qū)分。比如，如果有12個一元硬幣，你要把它平均分給6個人，該怎么分？學(xué)生可能不知道什么是等分除，但會說每人2個，列出算式：12÷6=2（個）。而對問題：如果有12個一元硬幣，要去買6元一瓶的雪碧，你可以買幾瓶？學(xué)生也可能不知道什么是包含除，但是會想6個硬幣買一瓶，這里有買2瓶的錢，列出算式：12÷6=2（瓶）。由此看來，在實(shí)際生活中遇到除法時，我們不可能先在頭腦里區(qū)分是等分除還是包含除，而是直接進(jìn)入分配物體的計算。

無論是等分除還是包含除，學(xué)生只要理解除法的意義：即每份同樣多就是平均分，會用除法解決平均分的問題即可。

（作者單位：長沙市芙蓉區(qū)大同第二小學(xué)）