“三位數(shù)乘兩位數(shù)”教學(xué)研究報(bào)告

一、問題

人教版四年級(jí)上冊(cè)第三單元三位數(shù)乘兩位數(shù)是小學(xué)階段整數(shù)乘法模塊的最后一個(gè)內(nèi)容。如果理解了兩位數(shù)、三位數(shù)乘一位數(shù)的乘法豎式是對(duì)加法豎式的簡(jiǎn)寫，兩位數(shù)乘兩位數(shù)的乘法豎式記錄“用乘法分配律進(jìn)行演算的算理”的一般原理，我們就不難看出三位數(shù)乘兩位數(shù)的計(jì)算與兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計(jì)算并無本質(zhì)上的區(qū)別。顯然，三位數(shù)乘兩位數(shù)的教學(xué)目標(biāo)不再是掌握原理本身，而是同一原理的運(yùn)用：學(xué)生能根據(jù)兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算方法，類推并掌握三位數(shù)（多位數(shù)）乘兩位數(shù)的筆算方法。從這個(gè)角度看，與兩位數(shù)乘兩位數(shù)相比，三位數(shù)乘兩位數(shù)更容易被學(xué)生理解與接受，但計(jì)算難度高于兩位數(shù)乘兩位數(shù)。

（一）教學(xué)實(shí)踐中的問題

在學(xué)習(xí)三位數(shù)乘兩位數(shù)之前，為了了解學(xué)生的相關(guān)知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，保證教學(xué)活動(dòng)的科學(xué)性和有效性，我們隨機(jī)抽取了三年級(jí)剛學(xué)完兩位數(shù)乘兩位數(shù)的62名學(xué)生進(jìn)行了學(xué)前檢測(cè)。從前測(cè)看，大部分學(xué)生已經(jīng)掌握了兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算理。即便是沒有學(xué)過三位數(shù)乘兩位數(shù)，59.7%的學(xué)生能夠自覺遷移兩位數(shù)乘兩位數(shù)的方法，順利得出計(jì)算結(jié)果。

同時(shí)，我們對(duì)相關(guān)教師進(jìn)行了問卷調(diào)查與訪談，部分老師認(rèn)為學(xué)生不難獲得三位數(shù)乘兩位數(shù)的方法。但是由于計(jì)算教學(xué)的訓(xùn)練單調(diào)枯燥，學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情不高，消極應(yīng)對(duì)，計(jì)算準(zhǔn)確率低；教材中計(jì)算器的引入導(dǎo)致學(xué)生更加不重視三位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算，認(rèn)為大數(shù)據(jù)應(yīng)該由計(jì)算器完成。此外，計(jì)算教學(xué)過分強(qiáng)調(diào)精確計(jì)算，忽視估算能力的培養(yǎng)；過分追求算法多樣化而影響了課堂教學(xué)的效率等，都是老師們?cè)诮虒W(xué)實(shí)踐中遇到的真問題。

（二）解決問題的策略

對(duì)于老師們?cè)诮虒W(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)的這些問題，在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，我們進(jìn)行了有針對(duì)性的研究，認(rèn)為可以采用如下的策略進(jìn)行教學(xué)實(shí)踐。

1.問題引領(lǐng)，促進(jìn)算理正遷移。

波利亞說：“如果我們成功地回想起一個(gè)與當(dāng)前問題密切相關(guān)的問題，那是很幸運(yùn)的。我們應(yīng)當(dāng)爭(zhēng)取這樣的運(yùn)氣?！痹O(shè)置“與當(dāng)前問題關(guān)系密切”的問題顯然是學(xué)生順利進(jìn)行正遷移的重要途徑。那么，與三位數(shù)乘兩位數(shù)非常密切的是兩位數(shù)乘兩位數(shù)。因此教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考：與兩位數(shù)乘兩位數(shù)相比，今天的問題有什么不同？能不能利用兩位數(shù)乘兩位數(shù)的豎式解決？

2.任務(wù)誘發(fā)，促進(jìn)算法的優(yōu)化。

有人把口算、筆算、估算稱為“計(jì)算三寶”。要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到不同的計(jì)算方法的適用性，在學(xué)習(xí)中感受到計(jì)算方法學(xué)習(xí)的樂趣，掌握運(yùn)用“計(jì)算三寶”解決數(shù)學(xué)問題，教師可以精心設(shè)計(jì)問題、習(xí)題，用具體任務(wù)驅(qū)動(dòng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考。

3.情境驅(qū)動(dòng)，促進(jìn)運(yùn)算自動(dòng)化。

運(yùn)算技能的形成階段論將運(yùn)算技能的形成分為認(rèn)知階段———聯(lián)結(jié)階段———自動(dòng)化階段，在這里也就是指小學(xué)生學(xué)習(xí)計(jì)算時(shí)經(jīng)歷探索、習(xí)得計(jì)算法則的階段（如兩位數(shù)乘兩位數(shù)筆算時(shí)的程序化），到嘗試運(yùn)用法則獨(dú)立進(jìn)行計(jì)算的階段，再到熟練掌握并靈活運(yùn)用法則的階段（如三位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算）。心理學(xué)研究表明，當(dāng)個(gè)體進(jìn)入計(jì)算自動(dòng)化階段以后，他們的運(yùn)算速度和正確率就會(huì)大大提升。要幫助學(xué)生的運(yùn)算技能實(shí)現(xiàn)自動(dòng)化，教師可以把枯燥的計(jì)算融入到各種有趣的情境中，使學(xué)生樂在其中，在不知不覺中增加訓(xùn)練，提升計(jì)算技能。

二、實(shí)踐

基于以上的思考，我們?cè)诮虒W(xué)三位數(shù)乘兩位數(shù)時(shí)進(jìn)行了嘗試，意圖讓學(xué)生在問題的驅(qū)動(dòng)下自由穿梭在各種算法中，水到渠成地達(dá)到訓(xùn)練計(jì)算技能、涵養(yǎng)理性精神的目標(biāo)。

教學(xué)過程：

1.巧設(shè)問題練口算

師：孩子們，今天這節(jié)課我們將舉行一場(chǎng)有趣的計(jì)算競(jìng)賽。我們一起加油吧！請(qǐng)聽規(guī)則———在下面的7道算式中，找出能口算出得數(shù)的算式，然后算出得數(shù)，想一想你是怎樣算的。（課件出示：576×39，400×27，310×52，206×30，520×40，45×57，408×25）

生1：我覺得400×27，206×30，520×40可以口算。

（師引導(dǎo)學(xué)生說清算理，強(qiáng)調(diào)中間和末尾有0的情況，組織評(píng)價(jià)）

生2：408×25也可以口算，我知道乘25的速算規(guī)律，只要看408里面有幾個(gè)4，得數(shù)就是幾個(gè)百。

師：太厲害了，真是計(jì)算高手！

2.比較大小學(xué)估算

師：在剩下的3個(gè)算式中，不動(dòng)筆計(jì)算，你能看出哪個(gè)算式的得數(shù)最大，哪個(gè)算式的得數(shù)最小嗎？為什么？

生3：得數(shù)最小的算式是45×57。因?yàn)?5×57是兩位數(shù)乘兩位數(shù)，而其他的算式是三位數(shù)乘兩位數(shù)。

生4：我也認(rèn)為45×57的得數(shù)最小，但是他說兩位數(shù)乘兩位數(shù)的結(jié)果一定比三位數(shù)乘兩位數(shù)的小是不對(duì)的，80×50不是比100×10大嗎？

師：你很會(huì)說理，舉例子的確是一種說理的好方法。你是怎么知道45×57的得數(shù)最小的呢？

生4：我估算出45×57大約是3000，而其他算式的得數(shù)都大于15000。

師：他采用估算的方法，真不錯(cuò)！不過，老師有點(diǎn)好奇的是，老師還沒教三位數(shù)乘兩位數(shù)（板書課題），你怎么就會(huì)估算了？

生4：我想三位數(shù)乘兩位數(shù)的估算和兩位數(shù)乘兩位數(shù)的估算，道理是一樣的。576×39中，576大于500，39大于30，得數(shù)肯定大于15000；310×52中，310大于300，52大于50，得數(shù)也肯定大于15000。

師：真是會(huì)學(xué)習(xí)的孩子。他從兩位數(shù)乘兩位數(shù)的估算中學(xué)會(huì)了這么多道理。那么，在剩下的2個(gè)算式里，哪個(gè)的得數(shù)更大呢？

生5：576×39的得數(shù)比15000大得多，而310×52的得數(shù)更接近15000。

3.精確比較學(xué)筆算

師：576×39，310×52的得數(shù)都比15000大，如果我想知道到底大多少，怎么辦？

生：那就筆算！用計(jì)算器也可以！

師：那我們先筆算，然后用計(jì)算器檢驗(yàn)，如何？（可以！）這么快就同意了，三位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算老師還沒教呢！

生：和兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算方法一樣嘛！

師：好樣的，試試吧！

學(xué)生筆算后，同桌交流算法。師指名上臺(tái)展示講解，教師及時(shí)追問并板書每一部分積的意義（如圖所示）。

師：誰還有問題嗎？

生6：310×52筆算時(shí)可不可以把末尾的0放在一邊呢？

生7：應(yīng)該可以的，0乘任何數(shù)都得0，乘完0前面的數(shù)，在積的最后添上0就行了。

學(xué)生練習(xí)，指名板演（如圖所示）。

師：通過筆算，我們知道了576×29的積確實(shí)大于310×52的積。三位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算，老師沒有教你們就會(huì)了，真棒！如果是四位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算，你們還會(huì)嗎？如果是四位數(shù)乘三位數(shù)呢？

生8：會(huì)??！一樣的道理嘛，只是多了一位數(shù)。

生9：四位數(shù)乘三位數(shù)，積應(yīng)該有三層，第三層積的右邊第一位要和百位對(duì)齊。

師：我想，“舉一反三，觸類旁通”就是專門用來表揚(yáng)你們這種孩子的！

4.靈活運(yùn)用各算法

師：誰能用310×52中的5個(gè)數(shù)字編一道三位數(shù)乘兩位數(shù)的題，每個(gè)數(shù)字不能重復(fù)，積比310×52??？

學(xué)生小組活動(dòng)，得到的算式有：125×30，230×15，105×23，203×15，235×10。

師：在這些算式中，哪個(gè)算式的積最?。?/p>

生10：我們認(rèn)為最小數(shù)占最高位的積會(huì)比較小，125×30的積比其他算式的要大。

師：你說得有道理。剩下的算式又怎么判斷？

生11：我們認(rèn)為235×10的積最小，是2350；而203×15只要把203估成200，積比3000大，明顯比2350大；105×23也比100個(gè)23多5個(gè)23，肯定比2350大；230×15的積也比3000大。

師：大家筆算105×23，檢驗(yàn)?zāi)銈兊呐袛嗍欠裾_。剛才我們玩了最小的，現(xiàn)在換個(gè)玩法———玩最大的。在所有三位數(shù)乘兩位數(shù)的算式中，最大的一個(gè)是多少？（999×99）不計(jì)算，你知道它的得數(shù)是幾位數(shù)嗎？為什么？

生12：這個(gè)算式的得數(shù)是五位數(shù)。因?yàn)?000×100=100000，這是一個(gè)最小的六位數(shù)，而999×99比它小，所以得數(shù)應(yīng)該是個(gè)五位數(shù)。

生13：我把99估成100，因?yàn)?99×100=99900，實(shí)際結(jié)果比這個(gè)數(shù)要小，肯定是個(gè)五位數(shù)。

師：真是精益求精，掌聲送給計(jì)算高手！下面是四（2）班三位同學(xué)的作業(yè)，他們算得對(duì)嗎？說說理由。甲：999×99=98999；乙：999×99=99901；丙：999×99=98901。

學(xué)生觀察、思考，然后匯報(bào)。

生14：第一個(gè)算式個(gè)位上是9乘9，積的個(gè)位不可能是9，所以甲的答案肯定是錯(cuò)的。

生15：第二個(gè)算式中99估成100都只有99900，積不可能大于它，所以乙的答案也不對(duì)。

生16：丙的答案不能一眼看出來，我們可以筆算。

……

師：孩子們，你們今天的表現(xiàn)讓老師倍感欣喜，你們的創(chuàng)造力遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了我的想象！

5.追根溯源釋算理

師：在很早以前，我們的祖先們是怎樣筆算乘法的呢？（課件出示：據(jù)《算法統(tǒng)宗》一書記載，中國(guó)明朝時(shí)期還沒有出現(xiàn)乘法豎式這種計(jì)算方法，古人都是用“鋪地錦”的方法計(jì)算乘法。）關(guān)于“鋪地錦”，你想了解些什么呢？請(qǐng)同學(xué)們看書，上面介紹的“格子乘法”就是“鋪地錦”算法。（學(xué)生閱讀）你知道怎樣用“鋪地錦”的方法計(jì)算了嗎？

學(xué)生質(zhì)疑，相互答疑。

師：“鋪地錦”是古代阿拉伯人計(jì)算乘法時(shí)用的一種方法，后來傳入我國(guó)，因?yàn)橛?jì)算完了以后，形如我國(guó)古代織出的鋪在地上的錦緞，人們將這種計(jì)算稱為“鋪地錦”。感興趣的孩子課后可以用“鋪地錦”的方法研究462×34。

設(shè)計(jì)意圖綜述：三位數(shù)乘兩位數(shù)與兩位數(shù)乘兩位數(shù)，內(nèi)容看起來差不多，但卻各有其獨(dú)特的教育功能和價(jià)值。本節(jié)課遵循因材施教理念，即因教材而教，把促進(jìn)正遷移、促進(jìn)計(jì)算技能形成、促進(jìn)思維訓(xùn)練作為主要目標(biāo)，努力實(shí)現(xiàn)計(jì)算教學(xué)應(yīng)該承載的技能習(xí)得、心智培育、習(xí)慣培養(yǎng)等育人價(jià)值。

1.促進(jìn)正遷移。知識(shí)遷移就是人們已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)對(duì)新知識(shí)學(xué)習(xí)發(fā)生影響。本節(jié)課中，教師設(shè)計(jì)開放的問題情境，讓學(xué)生自動(dòng)喚醒兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計(jì)算經(jīng)驗(yàn)，自覺地建立新舊知識(shí)的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，并遷移到三位數(shù)乘兩位數(shù)的學(xué)習(xí)中。因不教而會(huì)，學(xué)生自然會(huì)體驗(yàn)到學(xué)習(xí)帶來的成就感。

2.促進(jìn)計(jì)算技能形成。計(jì)算技能的形成離不開練習(xí)。教師需要?jiǎng)?chuàng)設(shè)高質(zhì)量的問題情境，使學(xué)生能安安靜靜地思考、安安靜靜地練習(xí)。本節(jié)課中，學(xué)生在教師設(shè)計(jì)的情境中進(jìn)行了口算、估算、筆算，積累了計(jì)算經(jīng)驗(yàn)，有利于形成扎實(shí)的計(jì)算技能。

3.促進(jìn)思維訓(xùn)練。對(duì)學(xué)生進(jìn)行思維訓(xùn)練是數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)也是難點(diǎn)。本節(jié)課中，教師設(shè)計(jì)的“比最小”“比最大”等教學(xué)活動(dòng)都是很好的訓(xùn)練數(shù)學(xué)思維的活動(dòng)。學(xué)生在參與的過程中，大腦皮層始終保持最活躍的狀態(tài)，聯(lián)系、類比、假設(shè)等思維活動(dòng)貫穿課堂始終，學(xué)生的心智水平也因此得以提升。

三、討論

1.學(xué)生計(jì)算水平整體下滑帶來的思考

計(jì)算教學(xué)一直是我國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個(gè)重點(diǎn)。新課標(biāo)實(shí)施以前，大綱對(duì)學(xué)生計(jì)算能力的要求是“準(zhǔn)確、快速、靈活、簡(jiǎn)便”。老師們常常通過一些程式化的計(jì)算教學(xué)和大量的機(jī)械訓(xùn)練使學(xué)生達(dá)到這個(gè)目標(biāo)。由于這種簡(jiǎn)單操練沒有充分實(shí)現(xiàn)計(jì)算教學(xué)的教育功能和培育學(xué)生素養(yǎng)的價(jià)值，久而久之，很多老師和孩子對(duì)計(jì)算教學(xué)活動(dòng)失去了興趣，都希望能從這種機(jī)械模仿中解放出來。

隨著計(jì)算機(jī)和計(jì)算器的普及，越來越多的人認(rèn)為：對(duì)學(xué)生來說，知道什么時(shí)候需要哪種計(jì)算方法，比擁有熟練的計(jì)算技能更有價(jià)值。對(duì)大數(shù)據(jù)的精算，更是可以采用現(xiàn)代化計(jì)算工具代勞。同時(shí)，新課標(biāo)也對(duì)計(jì)算教學(xué)提出了新要求，提倡設(shè)計(jì)生動(dòng)有趣的學(xué)習(xí)活動(dòng)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，重視數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)。但是在實(shí)施過程中，老師們發(fā)現(xiàn)學(xué)生的計(jì)算水平整體下滑趨勢(shì)非常明顯，計(jì)算正確率降低、口算速度減慢現(xiàn)象普遍存在，學(xué)生對(duì)計(jì)算的興趣似乎也沒提高多少。

我們認(rèn)為，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，不能以犧牲學(xué)生的計(jì)算能力為代價(jià)，而應(yīng)該對(duì)學(xué)生的計(jì)算提出清晰的要求，規(guī)范、認(rèn)真、細(xì)致、準(zhǔn)確、靈活等都是計(jì)算教學(xué)需要秉承的原則。在計(jì)算教學(xué)實(shí)施中，老師們?nèi)绾握_運(yùn)用教學(xué)策略，既落實(shí)計(jì)算基本功的訓(xùn)練，又能最大限度地調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，發(fā)揮計(jì)算教學(xué)的育人功能，值得我們一線教師不斷思考與踐行。

2.計(jì)算教學(xué)與解決問題的聯(lián)系

數(shù)的運(yùn)算一般按照理解運(yùn)算的意義、把握運(yùn)算間的關(guān)系、得出運(yùn)算結(jié)果、解決實(shí)際問題四個(gè)部分進(jìn)行教學(xué)。右圖的“知識(shí)樹”很好地概括了數(shù)的運(yùn)算板塊各內(nèi)容之間的結(jié)構(gòu)關(guān)系。

人教版教材中將得出運(yùn)算結(jié)果、解決實(shí)際問題這兩個(gè)內(nèi)容結(jié)合起來教學(xué)，旨在把計(jì)算教學(xué)融入到應(yīng)用中，讓學(xué)生利用問題的現(xiàn)實(shí)背景經(jīng)歷算法的探索過程，在解決問題中認(rèn)識(shí)計(jì)算的工具性作用和解決實(shí)際問題的價(jià)值。但是，我們?cè)谶M(jìn)行三位數(shù)乘兩位數(shù)的教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，發(fā)現(xiàn)例1的實(shí)際問題中，學(xué)生體會(huì)不到估算的必要性。于是，我們舍棄了例1，選擇了7個(gè)簡(jiǎn)單的乘法算式，通過問題的設(shè)計(jì)和教學(xué)情境的設(shè)置，激勵(lì)學(xué)生自主參與算理的回顧遷移、計(jì)算方法的靈活選擇與計(jì)算技能的訓(xùn)練，把常見的數(shù)量關(guān)系的教學(xué)移到了下一課時(shí)。這種取舍也留給了我們一些思考：教師如何認(rèn)真研討教材，做到因材施教，即準(zhǔn)確把握什么樣的內(nèi)容承載什么樣的教育功能，實(shí)現(xiàn)什么樣的教學(xué)目標(biāo)，什么樣的教學(xué)策略能使計(jì)算教學(xué)帶來最大的效益，值得我們不斷實(shí)踐與探索。

（本文系湖南省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃2014年度立項(xiàng)課題（編號(hào)：XJK014CZXX041）研究成果）

（執(zhí)筆：鄧求平、謝加文、劉碩鵬、戴益祥、王志林、王麗燕、徐旺、李闖）