例析對偶式在解三角問題中的妙用

甘肅省永昌縣第一高級中學(xué)(737200) 張得南●

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例析對偶式在解三角問題中的妙用

甘肅省永昌縣第一高級中學(xué)(737200)
張得南●

在求解或證明一些三角問題時(shí)，認(rèn)真觀察題目的結(jié)構(gòu)特征，靈活運(yùn)用對偶的數(shù)學(xué)思想，構(gòu)造出對偶式，并對原式和對偶式進(jìn)行和、差或積的運(yùn)算，就能使問題巧妙地解決，起到事半功倍的效果.

一、求值

例1 求sin10°sin30°sin50°sin70°的值.

解 設(shè)M=sin10°sin30°sin50°sin70°,

構(gòu)造對偶式N=cos10°cos30°cos50°cos70°.

則MN=sin10°sin30°sin50°sin70°×cos10°cos30°cos50°cos70°

點(diǎn)評 利用倍角公式構(gòu)造出對偶式，巧妙地降低了運(yùn)算量.

例2 求sin210°+cos240°+sin10°cos40°的值.

解 設(shè)M=sin210°+cos240°+sin10°cos40°,

構(gòu)造對偶式，

N=cos210°+sin240°+cos10°sin40°.

則M+N=2+sin50°. (1)

M-N=-cos20°+cos80°-sin30°

=-cos(30°-50°)+cos(30°+50°)-sin30°

由(1)+(2)得

點(diǎn)評 通過題目結(jié)構(gòu)特征的觀察，構(gòu)造和差對偶式，起到了出奇制勝的效果.

二、化簡

則M+N=2+2sin(y-x)sin(x-y)=2-2sin2(x-y)=2cos2(x-y). (1)

M-N=-sin2x+sin2y+2sin(x-y)cos(x+y)

=0. (2)

由(1)+(2)得

2M=2cos2(x-y)，

即M=cos2(x-y).

G632

B

1008-0333(2017)10-0009-02