探究轉(zhuǎn)化與化歸的思想在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

江蘇省海門中學(xué)(226100) 汪香麗●

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探究轉(zhuǎn)化與化歸的思想在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

江蘇省海門中學(xué)(226100)
汪香麗●

在高中數(shù)學(xué)中，我們常遇到一些這樣的問(wèn)題，若要直接去解決會(huì)較為困難，但若通過(guò)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化、歸類就會(huì)簡(jiǎn)單很多，這種解決問(wèn)題的方法是高中數(shù)學(xué)的四大思想之一——轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法.

在高考中，對(duì)轉(zhuǎn)化與化歸思想的考查，總是結(jié)合對(duì)演繹證明，運(yùn)算推理模式構(gòu)建等理性思維能力的考查進(jìn)行，可以說(shuō)高考中的每一道題，都離不開考查化歸意識(shí)和轉(zhuǎn)化能力，下面著重從五個(gè)方面來(lái)闡述高中數(shù)學(xué)應(yīng)用中主要涉及的基本類型.

一、特殊與一般的轉(zhuǎn)化

一般也成立，特殊也成立.由特殊得到一般性的規(guī)律與結(jié)論，這種數(shù)學(xué)思想在高中數(shù)學(xué)中較為常見，這也正是化歸思想的體現(xiàn).

分析 根據(jù)題意，面積大小為定值，與點(diǎn)P的位置無(wú)關(guān)，故可取任意一點(diǎn)解決問(wèn)題.

評(píng)注 在高考的填空題中，經(jīng)常會(huì)遇到定值問(wèn)題的計(jì)算，我們可以取特殊點(diǎn)，特殊的幾何圖形，特殊的位置等，將一般問(wèn)題特殊化，使問(wèn)題變得直接簡(jiǎn)單，達(dá)到了事半功倍的效果.另外，在解析幾何中，經(jīng)常也會(huì)遇到求定值、定點(diǎn)問(wèn)題，我們利用特殊的情況先找到定點(diǎn)，可以鎖定目標(biāo)，再加以證明，可以簡(jiǎn)化問(wèn)題.

2.數(shù)與形的轉(zhuǎn)化

數(shù)與形的結(jié)合在解決函數(shù)與方程的問(wèn)題中應(yīng)用較為廣泛.它包含了“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面，借助形的直觀性來(lái)闡述數(shù)之間的聯(lián)系或借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴(yán)密性來(lái)闡述形的某些屬性.

分析 方程f(x)=0的根的個(gè)數(shù)問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題；或者通過(guò)分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為研究?jī)蓚€(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題.

評(píng)注 數(shù)形結(jié)合更能快速抓住問(wèn)題的本質(zhì)，從而得到結(jié)果.在高考的填空題中，很多抽象的問(wèn)題需要借助圖形去解.比如“超越不等式”恒成立問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的上下位置關(guān)系來(lái)研究等.不過(guò)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合一定要對(duì)有關(guān)的函數(shù)圖象較為熟悉，否則錯(cuò)誤的圖形會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)果.

三 等與不等的轉(zhuǎn)化

等與不等式解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中矛盾的兩個(gè)方面，但它們?cè)谝欢ǖ臈l件下可以轉(zhuǎn)化，例如有些問(wèn)題，表面上只有不等的關(guān)系，但只要我們善于挖掘其中隱含的等量關(guān)系，可以達(dá)到解決問(wèn)題的目的；而有些問(wèn)題表面只有相等的數(shù)量關(guān)系，根據(jù)相等關(guān)系又難以解決,但若我們?nèi)裟芡ㄟ^(guò)建立不等式或不等式組去解決，可以達(dá)到簡(jiǎn)捷求解的效果.

分析 含絕對(duì)值函數(shù)最值問(wèn)題，一般要么去掉絕對(duì)值符號(hào)，或者研究絕對(duì)值里面的函數(shù)，對(duì)于這道題選擇這兩種方法都有一定的困難.題目本質(zhì)是一個(gè)不等式組恒成立問(wèn)題，通過(guò)對(duì)變量進(jìn)行賦值，從而達(dá)到從“不等”向“等”的轉(zhuǎn)化.

評(píng)注 兩邊夾是解決由不等到等的一個(gè)重要方法.利用等與不等的辯證關(guān)系，往往使問(wèn)題得到有效解決.

3.正與反的轉(zhuǎn)化

在處理某些問(wèn)題時(shí)，按照習(xí)慣思維方式從正面思考會(huì)遇到困難，甚至不可能時(shí)，用逆向思維去解決，往往能達(dá)到突破性的效果.

例4 設(shè)g(x)=3-x2，正實(shí)數(shù)a,b,c滿足ag(b)=bg(c)=cg(a)>0，證明a=b=c.

分析 題目中所給的條件，如果直接從正面入手，解出a,b,c，形式較復(fù)雜，很難達(dá)到解決問(wèn)題的目的，這時(shí)可從反面入手，即假設(shè)a,b,c中至少有兩個(gè)不等.

解 假設(shè)a,b,c中有兩個(gè)不等，不妨設(shè)a≠b，由ag(b)=bg(c)=cg(a)>0即a(3-b2)=b(3-c2)=c(3-a2)>0.由a≠b則a>b或者ab則3-b2<3-c2?b>c，又因?yàn)閎(3-c2)=c(3-a2),結(jié)合b>c可得3-c2<3-a2?c>a.綜上可得a>b>c>a，此式不可能成立.

②若a

評(píng)注 正難則反，求補(bǔ)集的轉(zhuǎn)化思想在高中數(shù)學(xué)中也體現(xiàn)得非常明顯.

4.平面與空間的轉(zhuǎn)化

利用分割、補(bǔ)形、折疊、展開、作輔助線等方法處理空間圖形或平面問(wèn)題，將立體問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題來(lái)求解或類比相關(guān)的結(jié)論，是解決立體幾何的常用方法.

例5 已知正三棱錐S-ABC的側(cè)棱長(zhǎng)為2，側(cè)面等腰三角形的頂角為30°，過(guò)底面頂角A作截面AMN分別交側(cè)棱SB,SC于點(diǎn)M,N，則△AMN周長(zhǎng)的最小值為多少？

分析 平面內(nèi)的兩點(diǎn)間的距離最短.在求三棱錐中兩點(diǎn)間的最短距離，利用展開圖的方法，也是把立體問(wèn)題化歸為平面問(wèn)題的重要依據(jù).

評(píng)注 展開圖就是將空間圖形展開攤平成一個(gè)平面圖形，能使空間圖形中一些不易觀察的幾何體元素之間的數(shù)量關(guān)系在平面圖形中顯而易見.另外，在計(jì)算幾何體體積時(shí)或點(diǎn)到平面的距離時(shí)，常常用到割補(bǔ)或等積轉(zhuǎn)化或轉(zhuǎn)移等手法，從而達(dá)到化歸的目的.

轉(zhuǎn)化與化歸的主要特點(diǎn)是它的靈活多樣，它的關(guān)鍵在于確定化歸的方向與目標(biāo)，通過(guò)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行變形，不斷改變問(wèn)題形態(tài)的過(guò)程.通常在遇到一些陌生的問(wèn)題時(shí)，要充分聯(lián)想自己已知的問(wèn)題，是否有與這一問(wèn)題類似的情形，就是從不熟悉中尋找熟悉的因素，從而找到解決問(wèn)題的突破口.此外，我們?cè)谟棉D(zhuǎn)化思想解決問(wèn)題時(shí)，還要注意以下幾個(gè)方面：(1)選擇恰當(dāng)化歸目標(biāo)，保證化歸的有效性.明確的目標(biāo)，且要選擇好方法是化歸思想能有效實(shí)施的重要保障.(2)注意問(wèn)題轉(zhuǎn)化的等價(jià)性，要確保邏輯正確.在實(shí)施轉(zhuǎn)化過(guò)程中，要做到命題的等價(jià)轉(zhuǎn)換或代數(shù)式的同解變形，才能解決問(wèn)題.(3)注意轉(zhuǎn)化的不唯一性，我們解題時(shí)常常一題多解，如何在有限時(shí)間內(nèi)選擇最優(yōu)的方法去解決問(wèn)題，需要長(zhǎng)期的積累和總結(jié).

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