從印度乘法口訣想到的數(shù)學(xué)教育問題

鄢青云+張弦

摘 要 從印度乘法口訣的教育中得到啟發(fā)，再結(jié)合本人從教三十多年的經(jīng)歷，覺得簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)教育，對(duì)于非數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生來說，是當(dāng)務(wù)之急，他們沒必要花大量的時(shí)間用在“為什么”上，而是需要懂得“怎么用”“如何用”。

關(guān)鍵詞 創(chuàng)新 簡(jiǎn)易 直觀 易懂

中圖分類號(hào)：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

一個(gè)偶然，看到關(guān)于印度人教乘法的方法，大概的意思是：1919以內(nèi)的乘法問題，可以分解為四步走。舉個(gè)例子，問：1716=？，為了算出它的結(jié)果，第一步：17+6=23；第二步：2310=230；第三步：7+6=13；第四步：230+13=243，這就是最終結(jié)果。表面上，一個(gè)乘法問題分解為四步做變復(fù)雜了，實(shí)際上，它是把高級(jí)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為低級(jí)運(yùn)算，而人類擅長(zhǎng)的是低級(jí)運(yùn)算，從而使人們可以進(jìn)行口算。這種方法的使用，不僅可以口算1919以內(nèi)的乘法，而且可以推廣。比如：1234=？

從上面的圖示讀者不難看出，1234=408，這樣的運(yùn)算很神奇。再比如：9897=？

顯然，9897=9506，這兩個(gè)乘法問題都滲透了加減運(yùn)算，為什么可以將乘法轉(zhuǎn)化為加、減法來做？它是有數(shù)學(xué)上的理論依據(jù)的，它的依據(jù)就是巧妙地利用公式（a+b）（c+d）=ac+ad+bc+bd，盡可能地將乘法問題轉(zhuǎn)化為加、減法，從而達(dá)到口算的目的。

其實(shí)，數(shù)學(xué)上有許多趣題，不用傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)方法，而是將它回歸到生活中，用一種解說的方式找到正確答案。比如：“雞兔同籠”問題，說的是在一個(gè)籠子里住著100只兔子和雞，告訴你共有320條腿，問兔子有多少只？雞有多少只？這個(gè)數(shù)學(xué)問題，用方程來解，可以解出結(jié)果，但是有點(diǎn)繁瑣。有種方法直接、簡(jiǎn)單，而且還很生活。其解題思路是從上往下思索，100個(gè)頭下都是4條腿的一定是兔子，這樣應(yīng)該有400條腿，而事實(shí)上，只有320條腿，多算了400-320=80條腿，這多出來的80條腿，是把雞當(dāng)成兔子來算，這時(shí)我們就要卸掉2條腿，每卸一次，就把兔子轉(zhuǎn)化為雞，卸幾次，就有幾只雞，于是，雞有802=40只，兔子有100-40=60只。

上述解說，讀者可能認(rèn)為有道理，也算是簡(jiǎn)易解法了。沒有最好，只有更好，同樣的問題，不同的思路，決定著解題的難易程度。還是上面的“雞兔同籠”問題，我們來個(gè)從下往上思索，看效果如何？想像一下，你面前站著100只雞和兔子，你手上拿著一把神奇的刀，砍下去對(duì)動(dòng)物沒有生命威脅，這時(shí)，你對(duì)每只動(dòng)物砍掉兩條腿，雞全部趴下了，而兔子依然還可以站著（4條腿的兔子拿掉2條腿，還有2條腿撐著），于是，兔子有：（320-2100）2=60只，雞有100-60=40只。

印度人在進(jìn)行小學(xué)生乘法口訣的教育上，應(yīng)用的是初中才能學(xué)到的乘法運(yùn)算法則，而他高明的地方就在于，拋棄理論，并將理論直接轉(zhuǎn)化為方法。而我國(guó)小學(xué)生的乘法口訣定格在九九乘法表上，豎式、進(jìn)位求乘法，雖然一本萬利，但嚴(yán)重阻礙了學(xué)生的計(jì)算能力，這種教育上的差距不是一般的大呀。

再來看看極限概念的定義，純數(shù)學(xué)理論習(xí)慣于用“€%^-€%]”語(yǔ)言來描述，但對(duì)于大部分非數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生來說，他們不需要知道“為什么？”，他們需要的是如何方便快捷地“怎么用？”。印度人教乘法的方法值得我們借鑒。實(shí)際上，數(shù)學(xué)上的許多知識(shí)，我們是可以做些轉(zhuǎn)換的。

“極限”的概念”語(yǔ)言晦澀難懂，對(duì)某個(gè)函數(shù)來說，如果當(dāng)自變量變化的時(shí)候，因變量呈現(xiàn)“無限逼近某一個(gè)常數(shù)”的特征，那么我們就說該函數(shù)存在極限。這種形象化的語(yǔ)言，學(xué)生更容易接受，如果再配上圖形，效果更佳。

顯然，由圖1知： arctanx=，arctanx=，arctanx不存在；而圖2顯示，當(dāng)自變量x→∞時(shí)，函數(shù)→0，于是有=0，這樣借助圖形理解極限概念，簡(jiǎn)單直觀得多。當(dāng)然，計(jì)算極限值，我們有一整套的理論體系，總結(jié)起來，大體有五條路可行：第一條路，f（x）=f（x0），這條路有兩個(gè)缺陷，一是x必須趨近于某個(gè)實(shí)數(shù)x0；二是x0必須是f（x）定義域里的點(diǎn)，假如不是，進(jìn)入第二條路：x0代入到f（x）中，造成分母為0，這時(shí)就看分子，分子的結(jié)果不外乎兩種情形0或非0，為了敘述方便起見，我把它記著型或（A≠0）型，對(duì)于型，可用洛必達(dá)法則、無窮小的等價(jià)代換等方法，而（A≠0）型的結(jié)果只有一個(gè)，那就是無窮大。第三條路是專門針對(duì)x→∞的情形，當(dāng)x→∞時(shí)前兩條路都行不通。這時(shí)使用洛必達(dá)法則是很有效的，或者盡可能制造（€%Z>0），再配合極限的四則運(yùn)算法則來完成，效果奇佳。第四條路使用公式：（1+）x=e或（1+x）=e，該公式的特點(diǎn)是底與指數(shù)都是關(guān)于x的表達(dá)式。第五條路依據(jù)“有界函數(shù)與無窮小的積是無窮小”，此法不需要解題過程直接寫出結(jié)果，如：x2cos=0，計(jì)算極限問題，有了這五條路做為行動(dòng)方向，紛繁復(fù)雜的極限問題變得明朗了許多。我想，這就是教育工作者常應(yīng)思索的問題。

數(shù)學(xué)有許多定理，死記硬背不可取，理解的基礎(chǔ)上記憶，效果好。如果再滲入方式方法的應(yīng)用，那將是根深蒂固的。在刻畫曲線凹凸問題時(shí)，有個(gè)判斷定理：設(shè)函數(shù)y=f（x）在[a，b]上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)有一階和二階導(dǎo)數(shù)，則若在（a，b）內(nèi)y''>0，則曲線y=f（x）在[a，b]上的圖形是凹的；若在（a，b）內(nèi)y''<0，則曲線y=f（x）在[a，b]上的圖形是凸的。文字很長(zhǎng)，看下面兩圖的嘴型，便一目了然。

兩張臉譜，就能表達(dá)一個(gè)數(shù)學(xué)定理的核心思想，我就在想，我們可以進(jìn)行大膽創(chuàng)新，將幾千年的數(shù)學(xué)文化變得直觀、簡(jiǎn)易、好懂。與時(shí)俱進(jìn)，共同創(chuàng)造高效、有趣的生活。讓數(shù)學(xué)更接地氣，讓人們不再覺得數(shù)學(xué)高不可攀。