基于高階矩陣函數(shù)的廣義逆波束形成改進算法

陳 思，張志飛 1，，徐中明 1，，賀巖松 1，，黎 術

(1.重慶大學 機械傳動國家重點實驗室，重慶 400030； 2.重慶大學 汽車工程學院，重慶 400030)

基于高階矩陣函數(shù)的廣義逆波束形成改進算法

陳 思2，張志飛1，2，徐中明1，2，賀巖松1，2，黎 術2

(1.重慶大學 機械傳動國家重點實驗室，重慶 400030； 2.重慶大學 汽車工程學院，重慶 400030)

廣義逆波束形成是一種高效的聲源識別定位方法，然而其計算穩(wěn)健性易受隨機噪聲影響，阻礙了其聲源識別動力學水平進一步提高。為改善廣義逆波束形成聲源識別方法的穩(wěn)健性，基于高階矩陣函數(shù)提出一種廣義逆波束形成改進算法：定義了基于廣義逆波束形成的正則化矩陣；對正則化矩陣與波束形成輸出進行迭代運算；利用高階矩陣函數(shù)對迭代求解所得廣義逆波束形成輸出的互譜進行優(yōu)化。通過數(shù)值仿真詳細分析了聲源頻率對波束形成矩陣函數(shù)階次取值的影響，得到階次的最優(yōu)取值區(qū)間。最后通過數(shù)值模型和實驗算例對單極子與相干聲源進行定位識別，結果表明:改進算法在準確識別聲源基礎上能有效抑制旁瓣干擾，且具有更高的聲源識別精度。

傳聲器陣列；聲源識別；廣義逆波束形成；高階矩陣函數(shù)

基于傳聲器聲陣列測量的波束形成是一種高效的聲源識別定位方法。目前已發(fā)展出多種波束形成[1,2]算法,包括傳統(tǒng)波束形成、自適應波束形成[3]、反卷積[4-5]和廣義逆波束形成[6-8]。傳統(tǒng)波束形成空間分辨率較低，自適應波束形成無法準確識別聲源強度，因此兩者應用范圍受限。反卷積波束形成雖不存在以上問題，但計算效率很低。廣義逆波束形成能通過較少求逆迭代過程有效降低旁瓣級水平、提高聲源識別精度，近年來得到廣泛運用。然而其迭代求逆過程易受到干擾隨機噪聲和測量誤差影響，需要通過適當?shù)恼齽t化方法[9-11]消除原求解過程存在的不適定性。

Nelson等[12]通過奇異值分解方法對廣義逆波束形成傳遞矩陣的條件數(shù)進行研究，并將Tikhonov正則化方法應用于廣義逆波束形成； Suzuki[13]在L1范數(shù)廣義逆波束形成中引入正則化因子經驗公式。以上研究結果表明，正則化方法可有效提高廣義逆波束形成的聲源識別精度和穩(wěn)健性。實際應用中，傳統(tǒng)廣義逆波束形成算法很難適應復雜的聲學測試環(huán)境，僅通過選擇正則化參數(shù)[14-15]無法保證原算法具有足夠的穩(wěn)健性與識別精度。Padois等[16-17]將重新定義的正則化矩陣應用于波束形成反問題的求解，并以風洞實驗加以驗證，取得了較好的聲源識別效果，表明選擇一定形式的正則化矩陣對提升廣義逆波束形成算法穩(wěn)健性是必要的。

Dougherty[18-19]針對傳統(tǒng)波束形成提出一種基于高階矩陣函數(shù)的新算法，該方法將高階矩陣函數(shù)與傳統(tǒng)互譜波束形成結合，在保證較高計算效率同時大幅提升了聲源識別精度。為了進一步提高廣義逆波束形成性能，將高階矩陣函數(shù)方法引入廣義逆波束形成中，并對正則化矩陣與波束形成輸出進行迭代優(yōu)化，提出了一種廣義逆波束形成改進算法。通過數(shù)值仿真分析了聲源頻率和信噪比等因素對階次選擇的影響，得到階次取值的最優(yōu)區(qū)間；分別以單極子和相干聲源為研究對象，通過對比仿真和試驗驗證了廣義逆波束形成改進算法的正確性與實用性。

1 廣義逆波束形成原理

傳統(tǒng)波束形成根據(jù)傳聲器陣列的各個傳聲器接收的聲音信號的時間差以及傳聲器的位置來確定聲源的方位。其目的為對傳聲器陣列中各陣元的輸出進行延時、加權、求和等運算，以補償各陣元上的傳播延時，將輸出信號聚焦到指定聲源方位，在聲源方向上得到了空間響應的極大值，從而實現(xiàn)聲源識別[18-19]。傳統(tǒng)波束形成的基本算法如下式所示：

q=Wp

(1)

式中：q為聲源所在掃描平面上的N維聲壓強度向量，即所求波束形成輸出結果；p為傳聲器陣列測得的M維聲壓強度聲向量；W則為包含了由傳聲器陣列各點到聲源掃描平面各點方向信息的N*M維導向矩陣。

與傳統(tǒng)波束形成不同，廣義逆波束形成以單極子聲源為假設得到聲源平面到傳聲器陣列的聲學響應傳遞方程式(2)，該方程的建立基于數(shù)學物理反問題思想，可準確描述聲場空間信息。

p=Gq

(2)

式中，G為M*N維聲學傳遞函數(shù)，其中聲學傳遞函數(shù)表征的是聲源到傳聲器陣列的理論聲波輻射模型。顯然通過求解式(2)即可得到聲壓強度向量q，然后利用聲壓強度向量即可重構聲源平面聲源分布。然而大多數(shù)情況下，聲學響應傳遞方程是具有不適定性的，無法通過直接對傳遞矩陣求逆得出滿意的聲源面成像結果。為此，需要采用結合了正則化方法的廣義逆方法在消除這種不適定性的同時近似求解方程式(2)。該方法首先將聲學響應傳遞方程轉化為如下加權的Tikhonov最小化問題：

(3)

式中，L-1為正則化方陣，其取值將在后文3.1節(jié)中詳細討論。然后通過廣義逆方法迭代求解式(3)，即可以得到實際聲壓強度向量。

qn+1=L(n)HH(HHH+λIM)-1p

(4)

式中，矩陣H=GL(n)=[h1,…,hs,…,hN]H，其中[·]H為矩陣的共軛轉置，[·](n)表征著第n步迭代值。λ為Tikhonov正則化因子，其值參考文獻[6]中的經驗取值，即為方陣HHH的最大特征值的1%～10%。最終通過求解得到的聲壓強度向量重構出實際聲源平面的聲源分布，利用聲源分布即可識別主要噪聲源方位與聲源強度，從而為噪聲控制提供可靠依據(jù)。

2 廣義逆波束形成改進算法

廣義逆波束形成由于運用廣義逆技術進行迭代求解，使得其相對于傳統(tǒng)波束形成具有更高的空間分辨率，能夠準確高效地進行聲源識別。然而由于其迭代的計算時效與本身動力學性能的限制，對于一些復雜的聲源不能準確識別且易受背景噪聲干擾的影響。為提高廣義逆波束形成的動力學性能，增強聲源重構的精度與動態(tài)性能，本文參考高階矩陣函數(shù)波束形成方法結合正則化矩陣定義提出一種改進的廣義逆波束形成方法。

2.1 基于正則化矩陣的改進

第1節(jié)給出了波束形成聲學響應傳遞方程的Tikhonov正則化解表達式?；诮浀銽ikhonov正則化方法的傳統(tǒng)廣義逆波束形成，其求解過程僅使用正則化參數(shù)λ消除傳遞方程的不適定性而令正則化矩陣L為單位陣，由于正則化參數(shù)無法充分反映實際聲源分布，故不能得到滿意的正則化效果，從而無法準確識別定位聲源。

本文在將高階矩陣函數(shù)與廣義逆波束形成結合的基礎上，通過在迭代加權過程中引入基于波束形成的正則化矩陣L，對聲源識別結果進行加權優(yōu)化，使得聲源識別結果更加精確。所引入的基于廣義逆波束形成的正則化矩陣如式(5)所示：

(5)

為便于后續(xù)分析與算法改進，首先對聲源平面任意聚焦點的波束形成輸出聲源強度進行歸一化處理：定義加權導向向量A(n)=L(n)B，其中B為歸一化矩陣，取值為B=[B1,...,BS,...,BN]H，其分量取值如下式所示：

(6)

式中，矩陣α=(HHH+λIM)-1對于聲源識別輸出結果影響較大，其取值受限于正則化參數(shù)λ和矩陣H。其中正則化參數(shù)可通過經典的L曲線和廣義交叉驗證等數(shù)值方法來進行精確選取。

式(4)所示波束形成輸出進行歸一化后可簡化為如下形式：

qn+1=L(n)Bp=A(n)p

(7)

對比式(7)與式(1)易見，廣義逆波束形成的輸出結果與傳統(tǒng)波束形成在表達形式上具有一致性，不妨令We=A(n)為等效的導向矩陣。

該優(yōu)化的正則矩陣中向量元素通過離散平滑范數(shù)和無窮范數(shù)在保證波束形成輸出整體不變的基礎上對聲源識別結果進行了歸一化，使得聲壓強度向量中具有較高聲能量的聲源分量在迭代過程中逐漸收斂于實際聲源分布，而相對聲源分量而言能量較低的非聲源分量部分則被抑制而逐漸衰減?；诓ㄊ纬蓡栴}定義的正則化矩陣不僅加快了算法迭代收斂速度，而且減弱了波束形成輸出對正則化參數(shù)的依賴，增強了算法穩(wěn)健性。

2.2 基于高階矩陣函數(shù)的改進

取式(7)所示q(n+1)的互譜得到如下廣義逆波束形成的互譜形式：

(8)

式中，C=ppH為聲壓向量的互譜。由于C是正定矩陣和Hermitian矩陣，可對其進行如下特征分解：

C=UΣUH

(9)

式中，U為特征向量矩陣，Σ為對角特征值矩陣。

首先參考高階矩陣函數(shù)波束形成定義一個基于互譜矩陣的矩陣函數(shù)f(C)，如式(10)所示:

f(C)=Udiag(f(δ1),...,f(δM))UH

(10)

式中，δM是Σ的第M個特征值。當矩陣函數(shù)f=t1/v時，可以得到互譜矩陣的指數(shù)形式：

(11)

將上式中互譜矩陣的指數(shù)形式替換廣義逆波束形成互譜表達式中互譜矩陣，并將其波束輸出結果取v次方后得到如下v階矩陣函數(shù)表達式：

(12)

提取式(12)中波束形成輸出Qv的對角元素，開方即得改進后的基于高階矩陣函數(shù)的廣義逆波束形成輸出。算法流程圖如圖1所示。

通過對聲壓互譜進行特征分解可以濾除較小特征值對應的噪聲成分。而采用高階矩陣函數(shù)方法對式(8)進行優(yōu)化可以進一步突出主要聲源信息，使波束形成輸出以階次形式急劇收斂于真實值，從而在準確識別聲源的基礎上有效提高廣義逆波束形成的動態(tài)性能。

需指出的是，在互譜矩陣的指數(shù)形式求解過程中，一般采用閾值截斷濾波來濾除較小特征值，以降低干擾噪聲的影響。而選擇合適的閾值至關重要，較小的閾值將導致降噪不徹底；閾值過大則有可能導致聲源面重要信息丟失，從而使得重建之后的聲源識別結果與真實值具有較大偏差。理想閾值應保證聲源信息能夠精確重建，在本廣義逆波束形成改進算法中建議將截斷閾值取為最大特征值的1%～5%左右即可。

圖1 改進算法流程圖Fig.1 Flow diagram of modified algorithm

2.3 最優(yōu)階次的選取

對于改進后的廣義逆波束形成算法，階次v的選擇至關重要。理論上來說階次v的取值易受測量誤差和聲源頻率等因素的影響，例如由于測量誤差的存在導致理論與實際導向向量之間相位不匹配，當階次v選擇不適當時，將導致測量誤差無限放大進而造成錯誤的聲源識別定位結果。下面通過數(shù)值仿真求解階次v的最優(yōu)取值范圍。

首先定義一個關于廣義逆波束形成性能的函數(shù)RES，該函數(shù)與聲源識別的空間分辨率相關。函數(shù)值越小，聲源識別精度越高。為簡化數(shù)據(jù)分析，假設真實聲源分布于聲源平面中心，利用36通道矩形傳聲器陣列在離聲源平面0.5 m處進行聲壓數(shù)據(jù)測量。最后將廣義逆波束形成算法計算得到的波束形成輸出與其最大響應值做比值，然后通過對數(shù)函數(shù)進行歸一化處理。

RES=

(13)

式中，RES亦可表示為聲源中心“半徑”，其中bmax為波束輸出響應峰值點處對應半徑，b-15 dB為對應-15 dB點處的聲學中心半徑，<*>為空間數(shù)據(jù)的幾何平均值。聲源中心“半徑”RES同時也從側面反映了波束響應的主瓣張角的大小， RES數(shù)值越小，聲源能量越集中，聲源識別定位越準確，從而表明RES能夠充分反映廣義逆波束形成聲源識別的性能。通過數(shù)值仿真繪制出不同聲源頻率下RES隨階次變化的關系曲線，如圖2所示。

圖2 不同聲源頻率下RES隨階次變化曲線(SNR:15 dB)Fig.2 The simulation result of RES at different frequencies

由圖2的數(shù)值仿真結果可知，聲源頻率越高聲源中心“半徑”RES越小，表示主瓣寬度越低，即聲源識別精度更高。在不同聲源頻率下，隨著階次數(shù)增加，聲源中心“半徑”逐漸減小，識別精度提高；然而當階次高于某一門限值，繼續(xù)增加階次值，RES數(shù)值反而隨之增加。此時由于階次取值過大，測量誤差被急劇放大，進而降低了聲源識別的空間分辨率。極端情況下可能在非聲源位置出現(xiàn)“旁瓣鬼影”，嚴重影響實際應用中對聲源方位的判斷。

以上數(shù)值仿真分析表明，改進算法在選擇階次時要考慮聲源頻率的影響，在合理范圍內采用更高階次值，波束輸出的主瓣張角將趨于減小，聲源定位精度將得到提高。根據(jù)圖2所示不同代表聲源頻率下階次與RES的關系，給出最優(yōu)階次的建議值為5～15。

3 算法對比研究

3.1 仿真分析

為驗證改進算法的聲源識別性能，利用MATLAB軟件對不同波束形成方法進行對比仿真分析。對不同頻率單極子與相干聲源進行仿真，虛擬聲源面大小為1 m×1 m，其中單極子聲源位于平面中心點處，相干聲源分布于(0.25,0,0)m和(-0.25,0,0)m點處。在距聲源平面0.5 m處設置測量面，虛擬36通道矩形傳聲器陣列進行數(shù)據(jù)測量，其中傳聲器間距為0.1 m。為便于利用計算機進行數(shù)據(jù)后處理，將聲源平面離散為41×41聚焦點的聲源計算平面，數(shù)據(jù)處理過程只計算聚焦點處聲源強度值。為便于不同波束形成算法之間進行聲源定位性能的對比分析，將測量得到的波束輸出結果利用指數(shù)函數(shù)歸一化為0 dB，其動態(tài)顯示范圍設為-15 dB。

分別繪制式(1)所示的傳統(tǒng)波束形成、文獻[6]提出的廣義逆波束形成以及廣義逆波束形成改進算法在聲源面上輸出結果的聲壓強度分布圖。

廣義逆波束形成的迭代次數(shù)為20次，廣義逆波束形成改進算法中迭代次數(shù)為5次，階次數(shù)依次為3和10。最終運用自開發(fā)軟件仿真得到的聲源成像結果如圖3所示。

圖3 聲源仿真結果Fig.3 The simulation result of the sound sources

圖3所示三種不同的波束形成方法聲源識別成像圖中，對于不同類別聲源，三種聲源識別算法均在目標聲源方位識別出0 dB左右的聲學中心，表明三者都能識別定位聲源。相對于傳統(tǒng)波束形成，廣義逆波束形成類波束形成在抑制旁瓣基礎上縮減了主瓣寬度，提高了聲源重構精度。對于改進的廣義逆波束形成算法，由圖可見其聲學中心覆蓋范圍最小。這主要是由于高階次指數(shù)函數(shù)急劇擴大了主瓣與旁瓣之間的相對差異，掩蓋了隨機噪聲等干擾因素，抑制了旁瓣生成，從而使得聲源識別結果更加精確。此外，在一定范圍內增加階次數(shù)(如圖從3階增加至10階),目標聲源在重構聲源面上產生的聲學中心也將進一步縮小。而且改進的廣義逆波束形成算法由于應用了基于波束形成問題的正則化矩陣，從而降低了正則化參數(shù)的影響，提高了聲源識別穩(wěn)健性。同時通過應用高階矩陣函數(shù)減小了迭代循環(huán)次數(shù)，提高了算法的計算時效，這對實際工程應用意義重大。

3.2 實驗驗證

本實驗采用B&K公司的集成了4958 型傳聲器的18 通道COMBO聲陣列(如圖4(a)所示)，并通過18通道LAN-XI數(shù)據(jù)采集前端進行數(shù)據(jù)采集。

分別以單極子和單頻相干雙聲源為對象進行實驗驗證。在聲陣列前方0.3 m處設置受穩(wěn)態(tài)信號激勵的揚聲器(如圖4(b)所示)。為便于進行聲源成像仿真，將目標聲源面重構為1 m ×1 m的聲源掃描平面，并將其離散成間距為0.02 m ×0.02 m的聚焦點平面。對于單極子聲源，設定其在掃描平面上的坐標為(0, 0)m；對于單頻相干雙聲源，分別設定其坐標為(0.25, 0)m和(-0.25, 0)m。

最后，將實測數(shù)據(jù)導出，利用自開發(fā)的基于不同波束形成算法的后處理軟件實現(xiàn)聲源識別聲學成像，對波束形成輸出數(shù)據(jù)進行歸一化處理，最終聲學成像云圖的動態(tài)范圍為(-30, 0)dB。

圖4 測試設備Fig.4 The test equipment

3.2.1 實驗一

實驗一分別采用文獻[6]提出的廣義逆波束形成與本文提出的改進算法對1 500 Hz與2 000 Hz單極子聲源進行了識別，其中改進算法的階次值設定為5。聲源成像圖如圖5所示。

由圖5可見，在代表聲源頻率1 500 Hz和2 000 Hz處，兩種算法都能準確定位聲源，原廣義逆波束形成算法與改進算法都具有比原廣義逆算法更高的聲源識別精度以及更少的干擾旁瓣。

3.2.2 實驗二

實驗二仍分別采用文獻[6]提出的廣義逆波束形成與本文提出的改進算法對1 500 Hz與2 000 Hz相干雙聲源進行識別，其中改進算法的階次值設定為5。聲源成像圖如圖6所示。

圖5 單極子聲源成像結果Fig.5 The monopole source beamforming outputs

圖6 相干雙聲源成像結果Fig.6 The coherent sources beamforming outputs

由圖6可見，在1 500 Hz代表聲源頻率處，原廣義逆算法主瓣過大，且向掃描平面兩側擴散，無法準確定位兩個相干聲源；改進算法在準確定位相干聲源的同時，具有較高的識別精度，且對旁瓣抑制較好。而在2 000 Hz處，兩種算法基本能夠確定相干聲源位置，考慮到圖5(c)與圖5(d)聲學中心在掃描面上偏離實際聲源的位置相對一致，原廣義逆算法在聲源頻率提升的情況下識別效果明顯改善，但改進算法仍具有更高的識別精度。

實驗一與實驗二的結果充分表明改進的廣義逆波束形成的聲源識別方法相比原廣義逆波束形成方法，不僅能準確地識別定位單頻單聲源與相干雙聲源，而且能更好地抑制旁瓣產生，進而提高其聲源識別的分辨率。同時試驗結果也與數(shù)值仿真結果相一致，進一步驗證了該方法的實用性。

4 結 論

本文在傳統(tǒng)廣義逆波束形成的基礎上，充分結合高階矩陣函數(shù)波束形成與正則化矩陣的優(yōu)勢，提出了一種基于高階矩陣函數(shù)的廣義逆波束形成改進算法；研究了階次隨聲源頻率的變化規(guī)律，得到了不同情況下最優(yōu)階次的取值區(qū)間：一般情況下最優(yōu)階次取值范圍為5～15；數(shù)值仿真和實驗研究表明，基于高階矩陣函數(shù)的廣義逆波束形成改進算法不僅能高效識別定位聲源還能顯著提高聲源識別的動力學性能，與此同時亦驗證了該方法的有效性。該方法在保證聲源識別結果準確性的基礎上進一步提高了聲源識別精度。

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Modified algorithm for generalized inverse beamforming based on high-order matrix function

CHEN Si2, ZHANG Zhifei1,2, XU Zhongming1,2, HE Yansong1,2, LI Shu2

(1. State Key Lab of Mechanical Transmissions, Chongqing 400030, China;2.College of Automobile Engineering, Chongqing University, Chongqing 400030, China)

Generalized inverse beamforming is an effective sound source locating method. But its calculation robustness is sensitive to random noises. For the sake of improving the robustness of generalized inverse beamforming, a modified algorithm based on high-order matrix function was proposed. The regularization matrix based on generalized inverse beamforming was defined and used in iteratively resolving the beamforming output. At the same time, the high-order matrix function was incorporated into the cross spectra of beamforming output to optimize the effect of sound source localization. Moreover, to find the optimum range of matrix function order, a numerical simulation was implemented and the influence of sound source frequency on the selection of matrix function order was analyzed correspondingly. The identifications of both monopole and coherent sound sources in some examples were realized numerically and experimentally. The results show that the proposed modified algorithm can identify the source position with higher space resolution and less side-lobe.

microphones array; sound source identification; generalized inverse beamforming; high order matrix function

國家自然科學基金(51275540)；重慶市重大應用開發(fā)計劃項目(cstc2015yykfC60003)

2015-07-28 修改稿收到日期： 2016-03-17

陳思 男，碩士生，1990年6月生

張志飛 男，博士，副教授，1983年7月生

TB52

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.10.016