含初始撓度加筋板的穩(wěn)定性分析

劉春正，吳 梵，牟金磊

(海軍工程大學(xué) 艦船工程系，湖北 武漢 430033)

含初始撓度加筋板的穩(wěn)定性分析

劉春正，吳 梵，牟金磊

(海軍工程大學(xué) 艦船工程系，湖北 武漢 430033)

為了確定初始撓度變形對(duì)加筋板穩(wěn)定性的影響作用，根據(jù)實(shí)際情況假設(shè)初始撓度為雙三角級(jí)數(shù)形式，利用 Ansys 計(jì)算分析了整體初始撓度的幅值與半波數(shù)對(duì)彈性失穩(wěn)壓力的影響，并得到初始撓度對(duì)加筋板穩(wěn)定性的影響因子計(jì)算方法。計(jì)算結(jié)果分析表明，隨著初始撓度的幅值和半波數(shù)的增加，加筋板彈性失穩(wěn)壓力逐漸減??；對(duì)于含有某種初始撓度的加筋板，其影響因子主要受加筋板的厚度和加強(qiáng)筋間距的影響，而加筋板長(zhǎng)寬比的影響較小，可以忽略。

初始撓度；加筋板；穩(wěn)定性；幅值；半波數(shù)；影響因子

0 引 言

加筋板被廣泛應(yīng)用于許多工程結(jié)構(gòu)中，它大大提高了板的承載能力。在加筋板的設(shè)計(jì)中，加筋板的穩(wěn)定性是一個(gè)必須考慮的重要因素，同時(shí)由于加筋板穩(wěn)定性問(wèn)題的復(fù)雜性，對(duì)加筋板穩(wěn)定性的研究顯得尤為重要[1]。加筋板結(jié)構(gòu)為船體甲板結(jié)構(gòu)的基本構(gòu)件，其穩(wěn)定性直接影響整體結(jié)構(gòu)的承載能力。艦船在中垂?fàn)顟B(tài)時(shí)甲板板架受總縱彎曲軸向壓力，甲板板架是距離中和軸最遠(yuǎn)的主船體受壓結(jié)構(gòu)，所受的軸向壓力最大，只有保證甲板的穩(wěn)定性，才能保證艦船整體結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性[2]。加筋板作為船體甲板的主要結(jié)構(gòu)單元，研究其穩(wěn)定性十分必要。船用加筋板結(jié)構(gòu)屈曲行為一般分為板的屈曲、加強(qiáng)筋屈曲、加強(qiáng)筋之間的板格屈曲和加筋板格的整體屈曲 4 種[3-4]。其中加筋板的整體屈曲是最危險(xiǎn)的屈曲情況。

加筋板結(jié)構(gòu)在長(zhǎng)期使用過(guò)程中，由于各種載荷的作用，會(huì)產(chǎn)生固定的初始撓度變形。初始撓度變形對(duì)加筋板的穩(wěn)定性和極限承載能力都會(huì)產(chǎn)生嚴(yán)重不利影響。因此，在加筋板的穩(wěn)定性分析中，考慮初始變形等因素的影響，具有重要的工程意義。

目前，國(guó)內(nèi)考慮初始撓度變形對(duì)結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性影響的研究較多。但研究初始撓度的具體形式對(duì)加筋板穩(wěn)定性影響較少；而且對(duì)船用加筋板初始撓度的考慮都是基于船體結(jié)構(gòu)建造時(shí)的測(cè)量的數(shù)據(jù)，并未考慮艦船長(zhǎng)期服役之后產(chǎn)生的撓度變形的具體情況以及其對(duì)加筋板穩(wěn)定性產(chǎn)生的影響。本文主要考慮艦船長(zhǎng)期服役之后，加筋板的整體撓度變形情況對(duì)其穩(wěn)定性的影響。假設(shè)初始撓度為雙級(jí)數(shù)形式，利用有限元方法計(jì)算含初始撓度加筋板的彈性失穩(wěn)壓力。并通過(guò)控制初始撓度函數(shù)形式，討論初始撓度的幅值與半波數(shù)對(duì)彈性失穩(wěn)壓力的影響，最后得到初始撓度對(duì)加筋板穩(wěn)定性的影響因子。

1 含初始撓度加筋板的穩(wěn)定性分析

1.1 有限元模型建立

本文根據(jù)某艦船的甲板結(jié)構(gòu)，選取甲板典型位置處的某一加筋板作為研究對(duì)象。該加筋板具有 6 條縱向加強(qiáng)筋，板尺寸a×b為 1 500 mm × 2 800 mm，加強(qiáng)筋間距s= 400 mm，加強(qiáng)筋均為角鋼，角鋼尺寸為

研究中，利用有限元分析軟件 Ansys，根據(jù)加筋板的具體尺寸，建立合適的有限元模型。采用 shell181單元，單元長(zhǎng)度在 20～30 mm 之間，計(jì)算中假定板的材料是理想彈塑性，彈性模量E= 2.1 × 105MPa，泊松比ν= 0.3。

加筋板的邊界條件定義為四邊簡(jiǎn)支，具體定義方法可以參照相關(guān)文獻(xiàn)[5]：

1）加筋板的四周邊界限制法向位移Uz= 0，即為z方向簡(jiǎn)支；

2）長(zhǎng)度方向兩端AB，CD邊（x= 0 和x=a處）限制轉(zhuǎn)角位移Rx=Rz= 0，即可沿y方向自由轉(zhuǎn)動(dòng)；寬度方向兩端AD，BC邊（y= 0 和y=b處）限制轉(zhuǎn)角位移Ry=Rz= 0，即可沿x方向自由轉(zhuǎn)動(dòng)；

3）AB，CD邊線(xiàn)保持沿x方向的直邊約束，AD，BC邊線(xiàn)保持沿y方向的直邊約束；

4）AB、CD邊線(xiàn)中點(diǎn)限制y方向位移，即Uy= 0，AD、BC邊線(xiàn)中點(diǎn)限制x方向位移，即Ux= 0。

加筋板的外載荷施加方式為在AB，CD兩端截面同時(shí)施加軸向壓力為 1 MPa 的集中力載荷，在有限元軟件中轉(zhuǎn)換施加到截面節(jié)點(diǎn)上。有限元模型的邊界條件和載荷施加情況如圖 1 所示。

1.2 初始撓度設(shè)計(jì)

初始撓度這種結(jié)構(gòu)上的缺陷可分為整體和局部 2種形態(tài)。整體初始撓度是指板和加強(qiáng)筋同時(shí)產(chǎn)生撓度變形；局部初始撓度是指僅板產(chǎn)生的撓度變形。初始撓度形態(tài)主要包括兩方面因素，即幅值和半波數(shù)。在較長(zhǎng)的跨度范圍內(nèi)，初始撓度是由多個(gè)半波所組成的曲面，而在較短的范圍內(nèi)（ 2 個(gè)加強(qiáng)筋之間）一般只有一個(gè)半波。船體加筋板初始撓度形態(tài)可以看成由多種半波形式疊加而成，可用如下公式表示：

也有用如下公式來(lái)表示焊接作用導(dǎo)致加筋板產(chǎn)生的撓度變形[6]：

式中：w0為初始撓度，mm；wopl為加強(qiáng)筋間板格的最大初始撓度，mm；Boi為初始變形幅值，mm。

加筋板結(jié)構(gòu)的一階屈曲模態(tài)是最容易產(chǎn)生的失穩(wěn)狀態(tài)，對(duì)加筋板的穩(wěn)定性有重要影響[7]。一般認(rèn)為，取一階模態(tài)作為結(jié)構(gòu)的初始缺陷比較合理。本文在考慮初始撓度時(shí)，并不是考慮焊接影響產(chǎn)生的撓度變形，而是考慮長(zhǎng)期外載荷作用下產(chǎn)生的撓度變形，這種撓度變形在加載之前就已經(jīng)存在，故稱(chēng)為初始撓度。根據(jù)艦船甲板實(shí)際情況，可以假設(shè)初始撓度用下式表示：

考慮半波數(shù)對(duì)彈性失穩(wěn)壓力的影響時(shí)，限定y方向?yàn)橐粋€(gè)半波，只考慮x方向半波數(shù)的影響。

本文擬采用式（3）的初始撓度形式模擬實(shí)際初始撓度情況，來(lái)研究整體初始撓度的幅值和半波數(shù)對(duì)加筋板彈性失穩(wěn)壓力的影響。

根據(jù)船廠(chǎng)生產(chǎn)實(shí)踐和調(diào)研結(jié)果，當(dāng)強(qiáng)力甲板厚度在 7～10 mm 之間時(shí)，鋼板的絕對(duì)變形量達(dá)到 35 mm時(shí)，才會(huì)對(duì)鋼板進(jìn)行矯正修復(fù)；從對(duì)我國(guó)甲板變形測(cè)量的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)來(lái)看，甲板變形一般在 8 mm 左右。為了使研究更具有實(shí)用性，本文將初始撓度幅值設(shè)定在0～30 mm 之間進(jìn)行計(jì)算研究。國(guó)內(nèi)關(guān)于艦船甲板板架變形的半波數(shù)測(cè)量研究?jī)?nèi)容較少。國(guó)外有對(duì)船廠(chǎng)建造中船體變形情況測(cè)量的研究[8]，初始撓度的半波數(shù)一般在 3 個(gè)以?xún)?nèi)。本文根據(jù)施加初始撓度的實(shí)際情況，決定最多取 6 個(gè)半波作為研究對(duì)象。

1.3 初始撓度對(duì)彈性失穩(wěn)壓力的影響

在有限元軟件 Ansys 中，可以通過(guò)對(duì)各個(gè)節(jié)點(diǎn)施加具體的法向位移來(lái)實(shí)現(xiàn)初始撓度的設(shè)計(jì)與施加。圖 2所示為具有 1 mm 幅值、一個(gè)半波初始撓度的加筋板。

當(dāng)計(jì)算模型不具有初始撓度時(shí)，計(jì)算所得彈性失穩(wěn)壓力為 333.012 MPa。通過(guò)不斷改變初始撓度的幅值和半波數(shù)，計(jì)算相應(yīng)的彈性失穩(wěn)壓力數(shù)值，計(jì)算數(shù)據(jù)見(jiàn)表 1。

1.3.1 初始撓度幅值對(duì)加筋板彈性失穩(wěn)壓力的影響

根據(jù)計(jì)算數(shù)據(jù)可以繪制出彈性失穩(wěn)壓力與初始撓度幅值的關(guān)系圖，從而可以判定，在某一半波數(shù)情況下，彈性失穩(wěn)壓力隨初始撓度幅值的變化規(guī)律。為了更加方便比較不同半波數(shù)的初始撓度情況下，彈性失穩(wěn)壓力隨幅值的變化規(guī)律，將各個(gè)半波數(shù)下的曲線(xiàn)繪制到同一個(gè)坐標(biāo)系下，并考慮將初始撓度幅值和彈性失穩(wěn)壓力轉(zhuǎn)化為無(wú)因次量，取初始撓度幅值f與加筋板厚度t的比值為自變量，取含初始撓度加筋板彈性失穩(wěn)壓力σ與不含初始撓度加筋板彈性失穩(wěn)壓力σcr比值作為因變量，如圖 3 所示。

從圖中可看出，曲線(xiàn)整體呈現(xiàn)半波數(shù)越大，彈性失穩(wěn)壓力的變化率越大的規(guī)律。在幅值較小的一定范圍內(nèi)，含初始撓度加筋板彈性失穩(wěn)壓力大于不含初始撓度加筋板的彈性失穩(wěn)壓力，該范圍即可以稱(chēng)為有利范圍；超過(guò)一定范圍，彈性失穩(wěn)壓力小于原來(lái)的彈性失穩(wěn)壓力。

1.3.2 初始撓度半波數(shù)對(duì)加筋板彈性失穩(wěn)壓力的影響

由于計(jì)算數(shù)據(jù)較多，考慮初始撓度半波數(shù)對(duì)彈性失穩(wěn)壓力的影響，只選取了含幅值為 5 mm，10 mm，15 mm，20 mm，25 mm 和 30 mm 初始撓度的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，如圖 4所示。

圖4 顯示了當(dāng)初始撓度幅值不變時(shí)，增加初始撓度的半波數(shù)，加筋板的彈性失穩(wěn)壓力的變化情況。從圖中可以清晰地看出，不同的初始撓度情況下，彈性失穩(wěn)壓力整體的變化規(guī)律相似，都是隨著半波數(shù)的增加而減小。在半波數(shù)不超過(guò) 3 的情況下，彈性失穩(wěn)壓力的變化率隨半波數(shù)增大逐漸增大，當(dāng)初始撓度幅值越大，彈性失穩(wěn)壓力隨半波數(shù)的變化率也增大；半波數(shù)大于 3 的情況下，彈性失穩(wěn)壓力變化率減小。當(dāng)半波數(shù)為 4 時(shí)，彈性失穩(wěn)壓力會(huì)突然變大，但是這種作用隨著初始撓度幅值的增大而逐漸減小并消失。

2 初始撓度影響因子確定

由計(jì)算可知，含初始撓度的加筋板的彈性失穩(wěn)壓力與不含初始撓度加筋板的值存在一定差距。后者與前者差值反映了初始撓度對(duì)加筋板彈性失穩(wěn)壓力的影響，定義兩者差值與后者的比值為影響因子 φ，即

表1 含不同初始撓度加筋板的彈性失穩(wěn)壓力（MPa）Tab. 1Pof the stiffened plate with different initial deflections（MPa）

相關(guān)文獻(xiàn)已經(jīng)對(duì)含有初始缺陷的加肋圓柱殼理論失穩(wěn)壓力的修正系數(shù)進(jìn)行了研究[9-10]，參考其研究?jī)?nèi)容，可以初步確定影響因子與加筋板的長(zhǎng)寬比、板厚、加強(qiáng)筋間距等幾何尺寸有關(guān)。下面將分析含初始撓度加筋板彈性失穩(wěn)壓力與各主要尺寸參數(shù)的關(guān)系，計(jì)算模型是利用第 2 節(jié)的有限元模型作為基礎(chǔ)，進(jìn)行相應(yīng)的參數(shù)改變。根據(jù)對(duì)中修船體甲板變形的勘驗(yàn)測(cè)量數(shù)據(jù)可知，船體加筋板出現(xiàn)的初始撓度幅值大部分在 10 mm 左右，具有 1 個(gè)半波形式，因此只討論含有幅值 10 mm、具有 1 個(gè)半波初始撓度的加筋板的影響因子。

2.1 加筋板長(zhǎng)寬比與影響因子的關(guān)系

根據(jù)相關(guān)對(duì)船體加筋板尺寸的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)[11]，船體加筋板板長(zhǎng)a與加強(qiáng)筋間距s的比值應(yīng)該滿(mǎn)足關(guān)系：2≤a/s≤6。因此，控制加強(qiáng)筋間距保持不變，主要通過(guò)改變加筋板的長(zhǎng)度a來(lái)改變加筋板的長(zhǎng)寬比a/b。

已知加筋板計(jì)算模型加強(qiáng)筋間距s=400 mm ，具有 6 根加強(qiáng)筋，加筋板寬度b= 2 800 mm 所以加筋板長(zhǎng)度取值范圍為 800≤a≤2 400，均勻取值：800 mm，1 000 mm，1 200 mm，1 400 mm，1 600 mm，1 800 mm，2 000 mm，2 200 mm，2 400 mm。經(jīng)過(guò)計(jì)算可以得到影響因子如表 2?？梢詫⒈?2 數(shù)據(jù)放在直角坐標(biāo)系中顯示，如圖 5 所示。

從圖 5 中可以看出，隨著加筋板長(zhǎng)寬比 a/b 的變化，影響因子 φ 的數(shù)值都出處在 0.996 到 1 的范圍之內(nèi)，且變化趨勢(shì)趨于平緩，即影響因子變化率會(huì)保持在 0.4% 以?xún)?nèi)。由此可以確定，加筋板長(zhǎng)寬比對(duì)影響因子的作用可以忽略不計(jì)，即加筋板長(zhǎng)寬比對(duì)其極限承載力的影響可以忽略。

2.2 加筋板厚度與影響因子的關(guān)系

船用加筋板的厚度一般在 8 mm 左右，對(duì)于特殊的大型船舶和軍船，加筋板的厚度可能會(huì)超過(guò) 10 mm。因此，加筋板的厚度在 6 mm 到 14 mm 之間均勻取值進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表 3。為了保持變量為無(wú)量綱因子，將加筋板厚度t與加筋板寬度b的比值作為因變量。將計(jì)算結(jié)果繪制成圖，如圖 6 所示。

表2 φ 隨加筋板長(zhǎng)寬比a/b的變化Tab. 2 φ varies witha/b

從圖 6 可以看出，隨著加筋板厚度t的增大，影響因子 φ 先減小然后增大，變化規(guī)律可以近似看成二次函數(shù)的關(guān)系。利用 Matlab 可以得到擬合的二次函數(shù)關(guān)系：

擬合函數(shù)數(shù)據(jù)與原始數(shù)據(jù)最大誤差為 0.1% 左右，符合工程要求。擬合函數(shù)符合實(shí)際情況。利用擬合函數(shù)可以確定影響因子最小點(diǎn)，設(shè)計(jì)過(guò)程中在最小點(diǎn)附近取值板厚，可以保證較小的影響因子。

2.3 加強(qiáng)筋間距與影響因子的關(guān)系

考慮加強(qiáng)筋間距對(duì)影響因子φ的影響，對(duì)加強(qiáng)筋間距的控制，主要是通過(guò)改變加強(qiáng)筋的數(shù)量來(lái)實(shí)現(xiàn)，即保持加筋板的寬度b保持不變。根據(jù)統(tǒng)計(jì)規(guī)律，船用加筋板上加強(qiáng)筋一般在 2 根以上。因此，加筋板數(shù)量取 2～9 進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表 4。為了保持變量為無(wú)量綱因子，將加強(qiáng)筋間距s與加筋板寬度b的比值作為因變量。將計(jì)算結(jié)果繪制成圖，如圖 7所示。

表3 φ 隨t/b的變化規(guī)律Tab. 3 φ varies witht/b

表4 φ 隨s/b的變化規(guī)律Tab. 4 φ varies withs/b

從計(jì)算數(shù)據(jù)可看出，隨著加強(qiáng)筋間距的增大，影響因子 φ 也逐漸減小，并出現(xiàn)負(fù)值，即加筋板的穩(wěn)定性增強(qiáng)。根據(jù)圖 7 可得，當(dāng)加強(qiáng)筋間距較小時(shí)，即s/b小于 1/7 時(shí)，影響因子的變化率較小。所以，對(duì)于密加筋板，加強(qiáng)筋間距對(duì)影響因子的影響作用可以忽略不計(jì)。當(dāng)加強(qiáng)筋間距比較大時(shí)，初始撓度對(duì)加筋板的穩(wěn)定性具有一定的增強(qiáng)作用。這就說(shuō)明，當(dāng)加筋板產(chǎn)生初始撓度之后，加強(qiáng)筋對(duì)穩(wěn)定性的作用減弱，而在實(shí)際加筋板設(shè)計(jì)過(guò)程中，加強(qiáng)筋用于增強(qiáng)其穩(wěn)定性，因此，可以綜合考慮初始撓度和加強(qiáng)筋對(duì)穩(wěn)定性的作用進(jìn)行設(shè)計(jì)。

3 結(jié) 語(yǔ)

1）初始撓度對(duì)加筋板的彈性失穩(wěn)壓力影響較大，且隨著初始撓度的幅值和半波數(shù)的增加，彈性失穩(wěn)壓力不斷變小。

2）對(duì)于含有某種初始撓度的加筋板，其影響因子主要受加筋板的厚度和加強(qiáng)筋間距的影響，加筋板的長(zhǎng)寬比影響較小，可以忽略。

3）影響因子的確定方法，滿(mǎn)足工程要求，具有一定的可行性，可應(yīng)用于船舶結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，完善結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范。

[ 1 ]張濤, 劉土光, 趙耀, 等. 初始缺陷加筋板的屈曲與后屈曲分析[J]. 船舶力學(xué), 2003, 7(1): 79-83.

[ 2 ]王偉, 吳梵. 國(guó)內(nèi)船舶結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性研究進(jìn)展[J]. 船舶工程, 2010, (32): 5-9.

[ 3 ]EIRIK B. Semi-analytical model for global buckling and postbuckling analysis of stiffened panels 2004[J]. Thin-Walled Structures. 2004, (42): 701-717.

[ 4 ]王偉, 吳梵. 單根加筋板整體屈曲臨界應(yīng)力計(jì)算與分析[J].艦船科學(xué)技術(shù), 2010, 32(10): 3-7. WANG Wei, WU Fan. Calculating and analysis of the overall buckling’s critical stress of single stiffened panels[J]. Ship Science and Technology, 2010, 32(10): 3-7.

[ 5 ]單成巍. 循環(huán)載荷作用下船體結(jié)構(gòu)的極限強(qiáng)度非線(xiàn)性有限元分析[D]. 武漢：武漢理工大學(xué), 2013.

[ 6 ]楊淼. 基于 HCSR 的加筋板格非線(xiàn)性屈曲研究[D]. 大連：大連理工大學(xué), 2011.

[ 7 ]萬(wàn)育龍, 朱旭光. 加筋板屈曲和極限強(qiáng)度有限元計(jì)算方法研究[J]. 船海工程, 2013, 42(6): 17-21.

[ 8 ]TEIXEIRA A P, IVANOV L D, GUEDES SOARES C. Assessment of characteristic values of the ultimate strength of corroded steel plates with initial imperfections[J]. Engineering Structures, 2013, 56: 517-527.

[ 9 ]DONNELL L H. Effect of imperfection on buckling of thin cylinders under external pressure[J]. Journal of Applied Mechanics. Trans, ASME, 1956.

[10]張二. 初始幾何缺陷對(duì)錐-環(huán)-柱結(jié)合殼力學(xué)性能影響研究[D]. 武漢：海軍工程大學(xué), 2015.

[11]張曉丹, 楊平. 加筋板在軸向壓力下的極限強(qiáng)度研究[J]. 武漢理工大學(xué)學(xué)報(bào), 2011, 35(2): 305-308.

The buckling analysis of the stiffened plate with initial deflection

LIU Chun-zheng, WU Fan, MU Jin-lei
(Naval University of Engineering, Department of Naval Architecture, Wuhan 430033, China)

For the research, the mode of the initial deflection was regarded as the double trigonometric series based on the practical truth and the effect of the amplitude and the number of half-waves on the critical stress entirely was analyzed by computing with ANSYS. The impact factor of the initial deflection was obtained. Results indicate that with the increasing of amplitude and the number of half-waves, the critical stress decreases. For the stiffened plate with one kind of initial deflection, the impact factor is up to the thickness of the stiffened plate and the space between stiffeners. The length-width ratio has little influence on the impact factor and it can be ignored.

initial deflection；stiffened plate；stability；amplitude；the number of half-waves；impact factor

U663.6

A

1672 - 7619(2017)04 - 0040 - 05

10.3404/j.issn.1672 - 7619.2017.04.008

2016 - 06 - 24；

2016 - 07 - 07

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51309231)

劉春正(1991 - )，男，碩士研究生，研究方向?yàn)榇敖Y(jié)構(gòu)強(qiáng)度與振動(dòng)。