大學(xué)《實(shí)變函數(shù)》課程教學(xué)體會(huì)與方法探索

尹秀霞+陳自力

（南昌大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系，江西 南昌 330031）

摘要：實(shí)變函數(shù)論是高等院校數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的一門(mén)基礎(chǔ)專(zhuān)業(yè)課。對(duì)該課程教學(xué)中遇到的各種問(wèn)題，本文從大量的教學(xué)實(shí)踐中有針對(duì)性地提出幾條切實(shí)可行的教學(xué)方法。這些方法能有效地激發(fā)學(xué)生的好奇心，提升學(xué)生的自信心以及提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：實(shí)變函數(shù)；Lebesgue積分；研究型教學(xué)

中圖分類(lèi)號(hào)：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2017）21-0205-02

一、引言

《實(shí)變函數(shù)》課程是高等院校數(shù)學(xué)系本科極其重要的專(zhuān)業(yè)基礎(chǔ)課，主要講述的是本世紀(jì)初建立的Lebesgue測(cè)度與積分，學(xué)生普遍覺(jué)得這門(mén)課晦澀難懂。作為實(shí)分析的主體部分，實(shí)變函數(shù)在數(shù)學(xué)的許多領(lǐng)域中，如測(cè)度論、分形幾何、泛函分析、調(diào)和分析、偏微分方程中都產(chǎn)生了極大的影響，可以說(shuō)是它們共同的基礎(chǔ)。然而《實(shí)變函數(shù)》課程因其自身的特點(diǎn)，如課程展開(kāi)的方式需要經(jīng)過(guò)漫長(zhǎng)的準(zhǔn)備、集合論與分析相結(jié)合的處理方法、所討論的函數(shù)類(lèi)范圍的擴(kuò)大以及習(xí)題量大而且難做等，都使得學(xué)生認(rèn)為其深?yuàn)W晦澀、枯燥無(wú)味。學(xué)習(xí)不到一個(gè)月，不少學(xué)生便對(duì)這門(mén)課程喪失了信心，更談不上興趣；后期的學(xué)習(xí)情況更糟，甚至對(duì)一些基本概念的理解都出現(xiàn)困難。為了更好地實(shí)施教學(xué)，筆者查閱相關(guān)文獻(xiàn)資料，從實(shí)變函數(shù)教學(xué)中的點(diǎn)滴體會(huì)出發(fā)，就《實(shí)變函數(shù)》這門(mén)課程的教學(xué)方法進(jìn)行初步探討。

二、注重鮮活的人物和故事的介紹

興趣是最好的老師，如果在教學(xué)的過(guò)程中能穿插一些與教學(xué)內(nèi)容相關(guān)并且非常有趣的故事，不僅能極大地提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，而且還有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力。

在實(shí)變函數(shù)的第一節(jié)課中，我是通過(guò)闡述1926年Lebesgue本人在哥本哈根的演講中的形象比喻來(lái)介紹Lebesgue積分與Riemann積分的區(qū)別的。這個(gè)比喻是這樣的：“按照Riemann的方法，我們對(duì)依自變量x的大小順序所提供的不可分割的量求和，這有如沒(méi)有條理的商人數(shù)錢(qián)，碰到硬幣數(shù)硬幣，碰到紙幣數(shù)紙幣。而我們的做法像有條理的商人，把相同面值的紙幣、硬幣放在一起，然后再分別計(jì)數(shù)之后相加，這就是我的積分?！边@樣一來(lái)，即使學(xué)生并不知道Lebesgue積分的精確定義，對(duì)Lebesgue積分的種種好處也無(wú)從得知，但他們至少會(huì)記住這個(gè)形象的比喻，而這其實(shí)就是Lebesgue積分建立所蘊(yùn)含的基本思想。理解這種思想對(duì)以后深入地學(xué)習(xí)有著事半功倍的作用。而另一個(gè)例子的效果更大，通過(guò)它學(xué)生可以徹底理解無(wú)窮大與有限數(shù)的區(qū)別。這個(gè)例子是著名德國(guó)數(shù)學(xué)家Hilbert在討論無(wú)窮大的演講中的一個(gè)小故事：有一家旅館，內(nèi)設(shè)有限個(gè)房間，而所有的房間都已客滿(mǎn)。這時(shí)來(lái)了位新客人，店主人說(shuō)：“對(duì)不起，所有的房間都住滿(mǎn)了?！庇辛硪患衣玫?，內(nèi)設(shè)無(wú)限多個(gè)房間，所有房間也都客滿(mǎn)了。這時(shí)也有一位新客來(lái)臨，想訂個(gè)房間。這時(shí)店主人說(shuō)（留些時(shí)間讓學(xué)生考慮）：“不成問(wèn)題！”只見(jiàn)他把一號(hào)房間里的旅客移到二號(hào)房間，二號(hào)房間的旅客移到三號(hào)房間，三號(hào)房間的旅客移到四號(hào)房間，等等，這一來(lái)，新客人就住進(jìn)了已被騰空的一號(hào)房間。第二天，這個(gè)無(wú)窮多個(gè)房間的旅店各個(gè)房間也都住滿(mǎn)了。這時(shí)來(lái)了無(wú)窮多位要求訂房間的客人。店主人（留些時(shí)間讓學(xué)生考慮）仍然成竹在胸，不緊不慢地說(shuō)：“好的，先生們，請(qǐng)等一會(huì)兒?！彼岩惶?hào)房間的旅客移到二號(hào)房間，二號(hào)房間的旅客移到四號(hào)房間，三號(hào)房間的旅客移到六號(hào)房間，如此類(lèi)推。現(xiàn)在所有的單號(hào)房間都騰出來(lái)了，新來(lái)的無(wú)窮多位客人又可以住進(jìn)去了。

三、積極采用具有啟發(fā)性而不嚴(yán)格的表述和證明

《實(shí)變函數(shù)》帶有大量嚴(yán)謹(jǐn)、枯燥的證明。在介紹無(wú)最大基數(shù)的定理時(shí)，我舉了一個(gè)“理發(fā)師的悖論”來(lái)代替這個(gè)抽象的證明。說(shuō)的是一位鄉(xiāng)村理發(fā)師聲稱(chēng)他的工作是給本鎮(zhèn)上所有不給自己刮臉的人刮臉；同時(shí)，他絕不給那些給自己刮臉的人刮臉。忽然有天早上他想：“我該不該給自己刮臉呢？”（留些時(shí)間讓學(xué)生考慮）因?yàn)槿绻o自己刮臉，則據(jù)他聲稱(chēng)的前一半，他不應(yīng)給自己刮臉；但如果他不給自己刮臉，則據(jù)他聲稱(chēng)的后一半，他又應(yīng)給自己刮。于是理發(fā)師陷入矛盾之中，學(xué)生不僅被這個(gè)故事引得哄堂大笑，還從中領(lǐng)會(huì)了“矛盾律”的深刻內(nèi)涵，效果遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出對(duì)這個(gè)定理的抽象證明。又如在總結(jié)Lebesgue測(cè)度和積分理論的時(shí)候，我引入了如下并不嚴(yán)格但極具啟發(fā)性的Littlewood三原理：①每個(gè)可測(cè)集“基本上”是區(qū)間的并；②每個(gè)函數(shù)“基本上”是連續(xù)的；③逐點(diǎn)收斂的函數(shù)列“基本上”是一致收斂的。這三條中都有一個(gè)很模糊的詞語(yǔ)“基本上”，它的不確定性以及每一條含義的多樣性正是Littlewood三原理的妙用。譬如從第二原理出發(fā)，就有若干不同的理解。可以理解成Lusin定理：任何可測(cè)函數(shù)在去掉一個(gè)測(cè)度充分小的集合之后是連續(xù)的。也可以理解成任何可測(cè)函數(shù)可以表示成連續(xù)函數(shù)逐點(diǎn)收斂的極限?；蛘呃斫鉃槿魏谓^對(duì)可積函數(shù)與某個(gè)連續(xù)函數(shù)的差的積分可以任意小。接著從這樣的思想出發(fā)，我又引導(dǎo)同學(xué)們建立了類(lèi)似的容易感知但不嚴(yán)格的表述。整整一節(jié)課，同學(xué)們充分討論了關(guān)于它們的各種各樣的理解，囊括了《實(shí)變函數(shù)》這門(mén)課中幾乎所有重要的知識(shí)點(diǎn)。既加深了對(duì)已學(xué)過(guò)知識(shí)的理解，又對(duì)這門(mén)課有了一個(gè)較為完整的認(rèn)識(shí)。

四、合理運(yùn)用研究型教學(xué)

不同于傳統(tǒng)的教學(xué)模式，研究型教學(xué)是師生共同建立的將教學(xué)的重心逐步由獲取知識(shí)轉(zhuǎn)移到激發(fā)學(xué)生的好奇心、求知欲與學(xué)習(xí)興趣、培養(yǎng)學(xué)生的探索精神、創(chuàng)造思維與創(chuàng)新能力。比如上完控制收斂定理之后，我問(wèn)大家：“請(qǐng)大家回顧一下控制收斂定理的證明，分析一下控制函數(shù)在證明中發(fā)揮了什么作用？這個(gè)控制函數(shù)是不是必須的？”時(shí)間在悄無(wú)聲息中流淌了二十分鐘，總算有個(gè)同學(xué)自告奮勇上來(lái)給出了證明。當(dāng)我要求同學(xué)們針對(duì)這個(gè)證明進(jìn)行分析從而尋找控制函數(shù)在證明中發(fā)揮了什么作用時(shí)，全堂茫然。于是我進(jìn)一步引導(dǎo)：控制收斂定理證明的基本思路是將積分域分解成兩個(gè)部分，在測(cè)度較大的集合上，函數(shù)序列一致收斂（葉果洛夫定理保證），在這個(gè)子集上，積分與極限自然可以交換順序。在測(cè)度充分小的集合上，函數(shù)序列的積分被控制函數(shù)的積分所控制，此時(shí)，函數(shù)序列的積分值會(huì)不會(huì)隨著n的變化產(chǎn)生大的變化？這個(gè)時(shí)候?qū)W生才知道，由控制函數(shù)積分的絕對(duì)連續(xù)性可以看出函數(shù)序列積分的絕對(duì)連續(xù)性具有一致性，終于明白只要函數(shù)序列積分的絕對(duì)連續(xù)性是一致的，不一定需要一個(gè)可積的控制函數(shù)，于是發(fā)現(xiàn)了一個(gè)新的概念：“積分等度絕對(duì)連續(xù)函數(shù)簇”。在這個(gè)分析過(guò)程中只有少數(shù)學(xué)生能夠參與，大多數(shù)學(xué)生仍然一頭霧水。接著，將控制函數(shù)用函數(shù)序列積分的等度絕對(duì)連續(xù)性取而代之，但暫且加上極限函數(shù)的可積性從而分解難度。由于有Lebesgue控制收斂定理的證明在先，完成這個(gè)證明并不困難。最后，有學(xué)生問(wèn)道：極限函數(shù)為什么是可積的。我對(duì)這位勇于思考的學(xué)生大加表?yè)P(yáng)了一番，然后引導(dǎo)大家仔細(xì)思考“極限函數(shù)的絕對(duì)可積性”，因?yàn)長(zhǎng)ebesgue可積等價(jià)于絕對(duì)可積。時(shí)間又過(guò)去了十來(lái)分鐘，終于有學(xué)生小聲的說(shuō)，“是不是要用Fadou引理？”我趕緊鼓勵(lì)他把想法在黑板上寫(xiě)下來(lái)，最后歸結(jié)到證明函數(shù)列的積分一致有界。因此，我問(wèn)了最后一個(gè)問(wèn)題：“（測(cè)度有限的集合上）積分等度絕對(duì)連續(xù)的函數(shù)序列，它們的積分有共同的上界嗎？”大家再一次回顧了積分等度絕對(duì)連續(xù)的概念，終于在共同的討論中圓滿(mǎn)的解決了這個(gè)問(wèn)題。

研究型教學(xué)帶來(lái)的效果是講授型課堂教學(xué)無(wú)法比的，但該教學(xué)方法很難可持續(xù)。以上面Vitali定理為例，如果是老師啟發(fā)式引導(dǎo)為主，最多一節(jié)課就可以完成概念的建立與所有的證明，而按照研究型教學(xué)方式展開(kāi)教學(xué)，至少需要兩節(jié)課。少量的合適的課題、恰當(dāng)?shù)臅r(shí)機(jī)在研究型教學(xué)中是必不可少的。

五、結(jié)束語(yǔ)

本文總結(jié)了實(shí)變函數(shù)教學(xué)中的一些做法與體會(huì)。些做法并不完善，有很多需要注意的問(wèn)題，并且在教學(xué)實(shí)踐過(guò)程中，還會(huì)不斷有新問(wèn)題出現(xiàn)，需要根據(jù)實(shí)際情況調(diào)整教學(xué)方法。

參考文獻(xiàn)：

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[3]熊文俊.淺析高等數(shù)學(xué)的教學(xué)模式改革[J].教育教學(xué)論壇，2016，（27）：104-105.

收稿日期：2016-11-07

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金No.11601217和No.11426129；江西省自然科學(xué)基金No.20151BAB211007

作者簡(jiǎn)介：陳自力（1985-），男，湖南常德人，講師，學(xué)位：博士，主要從事玻爾茲曼方程經(jīng)典解的存在唯一性研究。