淘盡黃沙始見金

林發(fā)輝

[摘 要] 行程問題的基本量為路程、速度、時(shí)間，三者的關(guān)系為：路程=速度×?xí)r間（s=vt），行程問題除了路程關(guān)系，還有關(guān)于時(shí)間的描述（時(shí)間關(guān)系）和速度關(guān)系. 解復(fù)雜的應(yīng)用題時(shí)，設(shè)未知數(shù)，列方程都需要根據(jù)相等關(guān)系進(jìn)行.

[關(guān)鍵詞] 相遇問題；追及問題；相等關(guān)系；應(yīng)用題；行程問題

內(nèi)容綜述

行程問題是應(yīng)用題中較重要的題型之一，也是較難的題型之一，很多學(xué)生對(duì)應(yīng)用題有畏難情緒，就是從學(xué)行程問題開始的. 究其原因，第一，行程問題涉及的變化較多，有的涉及一個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)，有的涉及兩個(gè)甚至多個(gè)物體的運(yùn)動(dòng). 涉及兩個(gè)物體運(yùn)動(dòng)的，又有“相向運(yùn)動(dòng)”（相遇問題）、“同向運(yùn)動(dòng)”（追及問題）和“相背運(yùn)動(dòng)”（相離問題）三種. 第二，行程問題需要學(xué)生敏銳發(fā)覺多個(gè)量之間的關(guān)系，如時(shí)間關(guān)系、速度關(guān)系、路程關(guān)系及時(shí)間、速度、路程之間的關(guān)系. 第三，行程問題需要學(xué)生熟練運(yùn)用一些綜合方法解決問題，如方程思想、函數(shù)思想、不等式等. 本文主要討論行程問題之相遇問題和追及問題.

教學(xué)內(nèi)容再現(xiàn)

例1 甲、乙兩站相距1080千米，一列快車從甲站開出，每小時(shí)行駛72千米，一列慢車從乙站開出，每小時(shí)行駛48千米，兩車相向而行，幾小時(shí)后相遇？

分析 畫路程圖找路程關(guān)系，快車的路程+慢車的路程=總路程（如圖1）.

解答 設(shè)兩車相向而行，x小時(shí)后相遇，則有72x+48x=1080，解得x=9. 所以兩車相向而行，9小時(shí)后相遇.

變式1 甲、乙兩站相距1080千米，一列快車從甲站開出，每小時(shí)行駛72千米，一列慢車從乙站開出，每小時(shí)行駛48千米，兩車相向而行，若快車先開1小時(shí)，則慢車開出多少小時(shí)后與快車相遇？

分析 畫路程圖找路程關(guān)系，快車的路程+慢車的路程=總路程（如圖2）.

解答 設(shè)慢車開出x小時(shí)后與快車相遇，則有72（x+1）+48x=1080，解得x=8.4. 所以慢車開出8.4小時(shí)后與快車相遇.

變式2 甲、乙兩站相距1080千米，一列快車從甲站開出，每小時(shí)行駛72千米，一列慢車從乙站開出，每小時(shí)行駛48千米，兩車相向而行，若慢車先開2小時(shí)，則慢車開出多少小時(shí)后與快車相遇？

分析 畫路程圖找路程關(guān)系，快車的路程+慢車的路程=總路程（如圖3）.

解答 設(shè)慢車開出x小時(shí)后與快車相遇，則72（x-2）+48x=1080，解得x=10.2. 所以慢車開出10.2小時(shí)后與快車相遇.

變式3 甲、乙兩站相距1080千米，一列快車從甲站開出，每小時(shí)行駛72千米，一列慢車從乙站開出，每小時(shí)行駛48千米，兩車相向而行，若兩車同時(shí)開出，則開出多少小時(shí)兩車相距120千米？

分析 （1）相遇前：畫路程圖找路程關(guān)系，快車的路程+慢車的路程+120=總路程（如圖4）.

（2）相遇后：畫路程圖找路程關(guān)系，快車的路程+慢車的路程-120=總路程（如圖5）.

解答 （1）設(shè)兩車同時(shí)開出，開出x小時(shí)后兩車還相距120千米才相遇，則有72x+48x+120=1080，解得x=8.

（2）設(shè)兩車同時(shí)開出，開出x小時(shí)后兩車背向相距120千米，則有72x+48x-120=1080，解得x=10.

綜上所述，兩車同時(shí)開出8小時(shí)或10小時(shí)，兩車相距120千米.

例2 A，B兩地相距480千米，一列慢車從A開出，每小時(shí)行駛50千米，一列快車從B開出，每小時(shí)行駛90千米.兩車同時(shí)開出，若同向而行，快車在慢車后面，幾小時(shí)后快車追上慢車？

分析 畫路程圖找路程關(guān)系：快車走的路程=慢車走的路程+480（如圖6）.

解答 設(shè)兩車同時(shí)開出，若同向而行，快車在慢車后面，x小時(shí)后快車追上慢車. 可得90x=50x+480，解得x=12. 所以兩車同時(shí)開出，若同向而行，快車在慢車后面，12小時(shí)后快車追上慢車.

一點(diǎn)見解

利用行程圖找路程關(guān)系，這種方法是極好的. 因?yàn)閳D形直觀、形象，它體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想. 著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生說：“數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛？數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微. 數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休. 切莫忘，幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠(yuǎn)聯(lián)系莫分離. ” 行程問題除了路程關(guān)系，還有關(guān)于時(shí)間的描述（時(shí)間關(guān)系）和速度關(guān)系. 教者似乎覺得時(shí)間和速度關(guān)系太簡(jiǎn)單了，因此忽略了對(duì)它們的分析. 然而，筆者認(rèn)為它們一樣重要. 關(guān)于時(shí)間的描述，描述的是運(yùn)動(dòng)物體的時(shí)間關(guān)系，這種關(guān)系常用在設(shè)未知數(shù)上.

關(guān)于時(shí)間的描述有：同時(shí)（即兩運(yùn)動(dòng)物體的時(shí)間相等）、先出發(fā)（即先出發(fā)的物體時(shí)間多）、晚出發(fā)（即晚出發(fā)的物體時(shí)間少）、遲到或晚點(diǎn)（即遲到或晚點(diǎn)的物體時(shí)間多）、早到（即早到的物體時(shí)間少）、停留或耽擱（即停留或耽擱的物體時(shí)間少）等.

筆者試舉一例說明此類教法.

例3 甲、乙兩人相距40千米，甲先出發(fā)1.5小時(shí)后乙再出發(fā)，甲在后乙在前，二人同向而行，甲的速度是每小時(shí)8千米，乙每小時(shí)比甲少走2千米，甲出發(fā)幾小時(shí)后追上乙？

分析 畫行程圖找路程關(guān)系（如圖7）.

路程關(guān)系：由圖及題意得甲走的路程比乙走的路程多40千米，即甲的路程=乙的路程+40.

時(shí)間關(guān)系：由“甲先出發(fā)1.5小時(shí)”可知甲多用了1.5小時(shí)，即甲的時(shí)間=乙的時(shí)間+1.5.

速度關(guān)系：由“甲的速度是每小時(shí)8千米，乙每小時(shí)比甲少走2千米”得甲的速度是每小時(shí)8千米，乙的速度是每小時(shí)6千米.

由時(shí)間關(guān)系間接設(shè)未知數(shù)（當(dāng)然，直接設(shè)未知數(shù)也不難，只需把時(shí)間關(guān)系稍微變形）：設(shè)乙出發(fā)x小時(shí)被追上，則甲的總時(shí)間為（x+1.5）小時(shí). 可得8（x+1.5）=6x+40，解得x=14. 14+1.5=15.5（小時(shí)）. 所以甲出發(fā)15.5小時(shí)后追上乙.

筆者以為，解復(fù)雜的應(yīng)用題時(shí)，設(shè)未知數(shù)、列方程都需要根據(jù)相等關(guān)系進(jìn)行. 不能在未進(jìn)行分析的情況下“問什么就設(shè)什么為未知數(shù)”，應(yīng)根據(jù)實(shí)際情況決定是否要間接設(shè)未知數(shù).