《映射與空間》50年

林 壽

(1. 閩南師范大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院, 福建 漳州 363000; 2. 四川大學 數(shù)學科學學院, 四川 成都 610065)

《映射與空間》50年

林 壽1,2

(1. 閩南師范大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院, 福建 漳州 363000; 2. 四川大學 數(shù)學科學學院, 四川 成都 610065)

1966年,著名的綜述論文(A. V. Arhangel’skiǐ. Uspechi Mat Nauk,1966,21(4):133-184.)對一般拓撲學,尤其是廣義度量空間理論,產(chǎn)生了強大的推動力.概述這50年間該文對一般拓撲學的歷史意義與現(xiàn)實作用,列舉了文中一些尚未解決的問題,同時介紹近年來Arhangel’skiǐ的工作對中國一般拓撲學發(fā)展的一些影響.

空間與映射的相互分類; 映射; 廣義度量空間; 弱基;p空間; 拓撲代數(shù)

謹以本文紀念我國著名數(shù)學家、中國科學院院士、四川大學教授劉應(yīng)明(1940—2016),深切緬懷劉應(yīng)明老師為我國一般拓撲學及相關(guān)領(lǐng)域的發(fā)展與壯大所做出的卓越貢獻.

廣義度量空間理論是一般拓撲學的重要研究課題.關(guān)于廣義度量空間理論的第一次系統(tǒng)和全面的綜述報告當屬D. K. Burke等[1]的文章.該文開篇就提到了廣義度量空間理論的3個主要來源:度量化問題、積空間的仿緊性問題與Alexandroff設(shè)想.這一觀點至今依然正確.

捷克斯洛伐克科學院與國際數(shù)學聯(lián)盟于1961年在布拉格召開了第1屆“一般拓撲學以及它與現(xiàn)代分析和代數(shù)的關(guān)系”的學術(shù)會議,簡稱布拉格拓撲學會議[2].在這次會議上,蘇聯(lián)科學院院士P. S. Alexandroff[3]做了關(guān)于拓撲空間及其連續(xù)映射的著名演講,提出了用映射研究空間的設(shè)想,其核心內(nèi)容是如下2類問題:

問題 1 什么空間類可以表為“好的”空間類(如度量空間類、零維空間類等)在“好的”連續(xù)映射下的像?

問題 2 什么空間類可以由“好的”映射類映入“好的”空間類?

Alexandroff問題是關(guān)于映射對空間進行分類的思想,導致了空間與映射相互分類的方法,其意義在于用映射作為工具提示各種拓撲空間類的內(nèi)在規(guī)律,將映射作為紐帶把五花八門的拓撲空間聯(lián)結(jié)于一體.1966年A. V. Arhangel’skiǐ[4]發(fā)表了著名綜述論文《映射與空間》,他認為:“空間與映射相互分類”的實質(zhì)是下述3個密切聯(lián)系的基本問題(這些問題在1978年P(guān). S. Alexandroff等[5]論述點集拓撲學發(fā)展的幾個奠基性時刻的綜述報告中再次加以強調(diào)):

問題 3 在什么情況下,某個特定類A中的每個空間,在屬于類F的映射作用下,能夠被映成類B中的某個空間?

問題 4 如果F(A)是類A中的空間在屬于類F的映射作用下的像空間全體,那么類F(A)中的空間具有怎樣的內(nèi)部特征?

問題 5 用F(A,B)表示一類映射,其定義域與值域分別是類A、類B中的空間,設(shè)H是另一映射類,則類F(A,B)∩H中的映射有哪些性質(zhì)?

特別地,上述的一般提法包含了下述問題:

問題 6 在各類映射作用下,哪些拓撲性質(zhì)保持不變?

《映射與空間》[4]開創(chuàng)了用映射研究空間的新紀元.它較系統(tǒng)地總結(jié)了一般拓撲學發(fā)展半個世紀來人們在映射理論方面所取得的重要成果,更重要的是對如何借助映射來研究各式各樣的空間給出了一些具體的設(shè)想.50年的研究實踐已表明[5-9]:這些設(shè)想不僅給一般拓撲學中許多經(jīng)典的課題灌輸了新鮮血液,而且產(chǎn)生了眾多新的研究方向,帶來了20世紀60年代末期至整個20世紀80年代一般拓撲學的繁榮景象,其中一些課題的持續(xù)探討已發(fā)展成為21世紀初一般拓撲學中活躍的研究方向.

文獻[4]提出了一些發(fā)展映射與空間理論的新概念,如弱基、弱第一可數(shù)性(文獻[4]中定義2.3)、嚴格p空間(文獻[4]中定義5.1)、σ仿緊空間(文獻[4]中定義5.2)、偽乘積空間(文獻[4]中定義5.3)、MOBI類(文獻[4]中定義5.4)、MOBOS類(文獻[4]中定義5.5)、FABOS類(文獻[4]中定義5.6).本文試圖以“核心問題”、“弱基”和“p空間”為切入點,從一個側(cè)面說明關(guān)于空間與映射相互分類思想的來龍去脈以及它對激發(fā)新的研究工作的歷史意義及現(xiàn)實作用.

本文依照文獻[4]的約定,所有映射都是連續(xù)的滿射,若未特別說明,所論的空間都是完全正則的空間.本文中τ表示實直線R的基數(shù).

1 核心問題

《映射與空間》[4]分成6節(jié),證明或引用定理43個,最重要的部分是所提出的問題,文中共引用、提出問題或猜想71個,其中33個給予標號的問題或猜想被作者認為是最困難的.首先從Arhangel’skiǐ問題[4]中選取6個已解決的問題給予論述.

問題 1.1(Alexandroff-Urysohn的問題[10]) 是否存在第一可數(shù)的Hausdorff的緊空間X使得|X|>τ?

問題 1.2(Ponomarev的問題) 完正規(guī)的Lindel?f空間是否是可分空間?

問題 1.3 閉映射把度量空間映成什么空間?

問題 1.4 如何刻畫度量空間的商s映像?

問題 1.5 完備映射是否保持點可數(shù)基?

問題 1.6 具有點可數(shù)基的仿緊p空間是否是可度量化空間?

關(guān)于問題1.1[11]:“The work on the Problem gave a good push to developing and refining set-theoretic methods in General Topology.”文獻[4]提出了下述相關(guān)問題:若第一可數(shù)的緊Hausdorff空間X是τ個度量子空間之并,則是否有|X|≤τ?1969年,A. V. Arhangel’skiǐ[12]證明了每一個Hausdorff的第一可數(shù)Lindel?f空間的基數(shù)都不超過τ,從而解決了問題1.1.而且與R. Hodel[13]開創(chuàng)了一般拓撲學的一個新的研究領(lǐng)域:拓撲空間上的基數(shù)函數(shù).若用基數(shù)函數(shù)的語言,則Arhangel’skiǐ的定理可表述為:|X|≤2L(X)·χ(X),其中L(X)和χ(X)分別是拓撲空間X的Lindel?f數(shù)和特征.這一結(jié)果也成為A. V. Arhangel’skiǐ對于一般拓撲學的代表性貢獻.

非可分的正則遺傳Lindel?f空間稱為L空間.問題1.2等價于著名的L空間問題:是否不存在L空間?關(guān)于問題1.2,A. V. Arhangel’skiǐ[4]提出了下述相關(guān)問題:具有點可數(shù)基的完正規(guī)的Lindel?f空間是否是可度量化空間?即是否不存在具有點可數(shù)基的L空間?現(xiàn)在基本上認為現(xiàn)代研究L空間與S空間(即非Lindel?f的正則遺傳可分空間)的開篇之作是A. Jajnal等[14]于1968年發(fā)表的論文.L空間與S空間的探討是集論拓撲的重要內(nèi)容[6].如果不存在L空間,即問題1.2的回答是肯定的,則上述Arhangel’skiǐ的問題的回答也是肯定的.2006年,J. T. Moore[15]在ZFC中構(gòu)造了第一個L空間,這也是對問題1.2的第一個完整的否定回答.2015年,Peng Y. H.[16]證明了J. T. Moore構(gòu)造的L空間其平方不是一個Lindel?f空間.Peng Y. H.關(guān)于L空間的工作于2015年11月在閩南師范大學召開的“首屆泛太平洋拓撲學及其應(yīng)用國際會議”上獲得了2015年度的Mary Ellen Rudin Young Researcher Award.至于是否存在具有點可數(shù)基的L空間,這是一個獨立性問題.Z. Szentmikolóssy[17]證明了在假設(shè)MA+CH下不存在第一可數(shù)的L空間,F. D. Tall[18]在假設(shè)CH下構(gòu)造了一個具有點可數(shù)基的L空間.

問題1.3和1.4是問題1和4的具體形式,其中問題1.3討論的是“度量空間類”和“連續(xù)的閉映射類”,A. V. Arhangel’skiǐ[4]曾提到度量空間的閉映像是一個層空間;問題1.4討論的是“度量空間類”和“商s映射類”.1966年,N. La?nev[19]獲得了度量空間的閉映像的第一個內(nèi)在的刻畫.現(xiàn)在把度量空間的閉映像稱為La?nev空間.1985年,L. Foged[20]利用k網(wǎng)給出了問題1.3一個較好的回答:拓撲空間X是一個度量空間的閉映像,當且僅當X是一個具有σ遺傳閉包保持k網(wǎng)的正則的Fréchet-Urysohn空間,其中“遺傳閉包保持集族”就是N. La?nev[19]提出的概念.1987年,Y. Tanaka[21]利用cs*網(wǎng)也給出了問題1.4一個較好的回答:拓撲空間X是一個度量空間的商s映像當且僅當X是一個具有點可數(shù)cs*網(wǎng)的序列空間,這既表明了點可數(shù)集族的重要性,同時也顯示了由Gao Z.[22]引入的cs*網(wǎng)的作用.

問題1.5相關(guān)于問題6討論的是“完備映射類”和“點可數(shù)基性質(zhì)”.1968年,V. V. Filippov[23]證明了完備映射保持具有點可數(shù)基的空間,肯定地回答了問題1.5.問題1.6既相關(guān)于問題2也聯(lián)系于拓撲空間的度量化問題.1962年,A. S. Mi?cenko[24]證明了具有點可數(shù)基的可數(shù)緊空間是可度量化空間;1963年,A. V. Arhangel’skiǐ[25]證明了仿緊p空間可刻畫為度量空間的完備原像(更詳細的敘述見本文第3節(jié)).1968年,V. V. Filippov[26]肯定地回答了問題1.6.問題1.4～1.6更引起了人們關(guān)注具有點可數(shù)覆蓋空間的映射性質(zhì)與度量化問題[27].

綜上所述,上述所列的6個問題對于點集拓撲學未來發(fā)展的重要性至少體現(xiàn)在3個方面:一是開辟一般拓撲中新的研究領(lǐng)域;二是關(guān)注拓撲空間理論中的映射性質(zhì)及度量化問題;三是探索及引導點可數(shù)覆蓋的研究方向.

2 弱基

可對稱空間產(chǎn)生于度量空間的商緊映像的研究[11].度量空間的商緊映像是可對稱空間,但是未必是第一可數(shù)空間.A. V. Arhangel’skiǐ[4]引入了弱基及弱第一可數(shù)空間.

設(shè)集合X的每一點x對應(yīng)X的含有點x的子集之族Tx,并且Tx關(guān)于有限交封閉.集族TC={Tx:x∈X}可按下述方式定義集合X上的拓撲T:子集P?X是閉的,當且僅當對于每一點x∈XP存在Q(x)∈Tx,使得Q(x)∩P=?.族TC稱為拓撲T的弱基,Tx的元稱為x的弱鄰域.拓撲空間X稱為滿足弱第一可數(shù)性公理,簡記gf可數(shù)性公理,如果X的拓撲可以由弱基TC={Tx:x∈X}給出,其中每一Tx是可數(shù)的.

上述集族Tx的來源就是對稱空間(X,ρ)中的球形鄰域族{Bρ(x,ε):ε>0},也可以看成是拓撲空間X中點x∈X的一種弱鄰域基.弱基的引入開啟了可對稱空間的系統(tǒng)研究,并且指出了構(gòu)建廣義度量空間理論的新框架.R.E.Hodel[28]評論道:IwouldliketoemphasizethatArhangel’skiǐ’s1966paper“MappingsandSpaces”playedaveryimportantroleinthetheoryofsymmetrizablespaces.

第一可數(shù)空間等價于弱第一可數(shù)的Fréchet-Urysohn空間[4].每一對稱空間是弱第一可數(shù)空間.每一弱第一可數(shù)空間是序列空間[29].A.V.Arhangel’skiǐ[4]給予弱基及對稱空間極大的關(guān)注,提出的一些相關(guān)問題列舉如下:

問題 2.1 滿足gf可數(shù)公理的拓撲群是否是可度量化空間?

問題 2.2 具有點可數(shù)弱基的緊空間是否是可度量化空間?

問題 2.3 對稱空間是否具有σ離散網(wǎng)?

問題 2.4 對稱的仿緊空間是否是層空間?

問題 2.5MOBI類中的每個空間是否是對稱空間?

問題 2.6 刻畫度量空間的商緊映像?

問題 2.7 尋求可分度量空間的商緊映像的內(nèi)在刻畫.

N.V.Velicko[30]由弱鄰域基出發(fā)引入弱展開的概念,給出對稱空間以內(nèi)在的刻畫.F.Siwice[29]由弱基定義了幾類重要的廣義度量空間,如具有σ局部有限弱基的正則空間,發(fā)現(xiàn)了弱鄰域具有“序列鄰域”的性質(zhì),并證明了弱基可導出J.A.Guthrie[31]引入的cs網(wǎng).在此基礎(chǔ)上,林壽[32]和LiuC.等[33]分別引入了sn網(wǎng)和0弱基的概念.弱基是sn網(wǎng)和0弱基,sn網(wǎng)是cs網(wǎng),0弱基和cs網(wǎng)都是cs*網(wǎng).這些相關(guān)概念,形成了豐富的廣義度量空間類[27],如g可度量空間、g可展空間、o可度量空間、sn可度量空間、cs-σ空間、sn對稱空間、snf可數(shù)空間、0弱第一可數(shù)空間和csf可數(shù)空間等,對他們的研究已構(gòu)成了廣義度量空間理論的重要部分.

顯然,問題2.1和2.2都涉及拓撲空間的度量化問題.

“Atypicalobjectoftopologicalalgebracanbedescribedasaresultofahappymarriageofanalgebraicstructurewithatopology.Thetiesarisingfromthismarriagestronglyinfluencethepropertiesofbothstructures.AclassicalexampleofthissituationisBirkhoff-KakutaniTheorem:atopologicalgroupGismetrizableifandonlyifitisfirst-countable”[11].

問題2.1來源于Birkhoff-Kakutani定理,這是A.V.Arhangel’skiǐ關(guān)于拓撲群的第一個問題,成為他后來系統(tǒng)研究拓撲代數(shù)的一個最早的標志.S.J.Nedev等[34]和P.J.Nyikos[35]都給出了問題2.1的肯定回答,由此導出拓撲代數(shù)中具有廣義序列性質(zhì)的研究[36-37].問題2.2是A.S.Mi?cenko[24]關(guān)于點可數(shù)基的度量化定理情形的深化,T.Hoshina[38]肯定地回答了這個問題,由此激發(fā)由點可數(shù)覆蓋所確定的緊空間,或可數(shù)緊空間,甚至偽緊空間的度量化問題的研究[27],如具有點可數(shù)k網(wǎng)的序列緊空間是可度量化空間[39];具有σ點有限基的偽緊空間是可度量化空間[40].

問題2.3和2.4及其解答中所涉及的概念“網(wǎng)”是拓撲空間中“基”概念的最重要、最成功的推廣.A.V.Arhangel’skiǐ[41]為證明任意基數(shù)的Alexandroff-Urysohn加法定理時引進了“網(wǎng)”的概念.“網(wǎng)”既是A.V.Arhangel’skiǐ的處女之作,也是成名之作.J.Kofner[42]構(gòu)造了不具有σ離散網(wǎng)的半度量空間,否定回答了問題2.3.這個問題的重要之處是表現(xiàn)了A.V.Arhangel’skiǐ[4]在研究了具有可數(shù)網(wǎng)空間性質(zhì)的基礎(chǔ)上[41],引入并關(guān)注具有σ離散網(wǎng)的空間,提出了一批涉及具有σ離散網(wǎng)空間的問題.除了問題2.3之外,還有如半度量的仿緊空間是否具有σ離散網(wǎng)?層空間是否具有σ離散網(wǎng)?1967年,A.Okuyama[43]把具有σ局部有限網(wǎng)的正則空間命名為σ空間.隨后,F.Siwice等[44]證明了正則空間中具有σ離散網(wǎng)的空間等價于σ空間,也等價于具有σ閉包保持網(wǎng)的空間,從而使σ空間成為最具有代表性的廣義度量空間[45].R.W.Heath[46]構(gòu)造了一個具有可數(shù)網(wǎng)的正則的半度量空間,使它不是一個層空間,否定了問題2.4,并問保持仿緊的半度量空間是層空間的充要條件是什么?D.J.Lutzer[47]定義了k半層空間給上述Heath的問題予以肯定的回答.

問題2.5～2.7涉及度量空間的映像的研究.A.V.Arhangel’skiǐ[4]為研究問題1、3和4的一個富有特色的步驟是引入MOBI類.MOBI類是包含度量空間類且關(guān)于開緊映射封閉的最小的空間類.H.R.Bennett等[48]和M.M.Choban等[49]關(guān)于MOBI類的研究取得了重大進展.J.Chaber[50]構(gòu)造了一個完全正則的弱仿緊的可展空間Z和一個開緊映射f:Z→X,使得X是完全正則空間,但X不是p空間(這概念在第3節(jié)中將重點論述),這時空間Z屬于MOBI類,但是空間X不是對稱空間,從而否定了問題2.5.問題2.6和2.7既與弱基相關(guān)又與問題1和4相關(guān),同時也與MOBI類相關(guān).N.N.Jakovlev[51]最早用點有限的弱展開序列刻畫度量空間的商緊映像,回答了問題2.6.在正則空間類中,具有可數(shù)弱基的空間恰好刻畫了可分度量空間的商緊映像[45],這給出問題2.7一個肯定的回答.2011年,T.V.An等[52]證明了一個Hausdorff空間X是一個度量空間的偽序列覆蓋的緊映像當且僅當X具有點正則的cs*網(wǎng).2012年,T.V.An等[53]又證明了一個Hausdorff空間X是一個可分度量空間的偽序列覆蓋的緊映像,當且僅當X是具有可數(shù)cs*網(wǎng)的sn對稱空間.如上所述,問題1.4及問題2.5～2.7等誘發(fā)了度量空間上關(guān)于緊覆蓋映射及序列覆蓋映射方面豐富多彩的工作,使其成為20世紀末以來空間與映射相互分類方法中最具活力的部分[27,54].

下面列舉幾個具有代表性的結(jié)果以說明對稱空間及弱基的進一步作用.2013年,A.V.Arhangel’skiǐ[11]又重提了一些gf可數(shù)空間和對稱空間的老問題,表明了他對這些內(nèi)容的持續(xù)關(guān)注.

定理 2.8[55]對稱空間是遺傳的D空間.

定理 2.9[56]對稱的1緊空間是遺傳的Lindel?f空間.

定理 2.10[32]拓撲空間X具有點可數(shù)弱基當且僅當X是某一度量空間的1序列覆蓋的商s映像.

定理 2.11 正則空間X具有σ離散弱基當且僅當X具有σ局部有限弱基[57],當且僅當X具有σ遺傳閉包保持弱基[58].

定理 2.12[59-60]具有σ局部有限弱基的正則空間的正則的閉映像具有σ局部有限弱基當且僅當它是gf可數(shù)空間.

定理 2.13 拓撲空間X是可度量化空間,當且僅當存在空間X的覆蓋列{Un},使得對于每一x∈X,{st2(x,Un):n∈N}是x在X中的弱鄰域基[61],當且僅當X具有cs*正則弱基[27].

3 p空間

在問題1.6及問題2.5的解答中已提到了p空間.1963年,A. V. Arhangel’skiǐ[25]引進了p空間,并證明了拓撲空間X是一個度量空間的完備原像當且僅當X是一個仿緊的p空間,回答了P. S. Alexandroff提出的一個問題.是否每一p空間是可展空間的完備原像?為回答這一問題, A. V. Arhangel’skiǐ[4]引進了嚴格p空間.

完全正則空間X稱為p空間[25],若存在X的極大緊化βX中開集族的序列{Un},滿足:

1) Un覆蓋X;

如果更設(shè)

則X稱為嚴格p空間[4].

可展空間的完備原像是嚴格p空間,但是p空間未必是嚴格p空間,如序空間ω1,所以p空間未必是可展空間的完備原像.嚴格p空間是否是可展空間的完備原像?為此,A. V. Arhangel’skiǐ[4]又引進了σ仿緊空間:拓撲空間X稱為σ仿緊空間,若對于X的每一開覆蓋U存在X的開覆蓋列{Un}滿足:對于每一x∈X存在m∈N和U∈U使得st(x,Um)?U.A.V.Arhangel’skiǐ[4]提出的一些與p空間及σ仿緊空間相關(guān)的問題,列舉如下(它們主要涉及p空間,嚴格p空間及σ仿緊空間的內(nèi)在刻畫及映射定理):

問題 3.1 完備映射是否保持仿緊p空間性質(zhì)?

問題 3.2 完備映射是否保持p空間性質(zhì)?

問題 3.3 對稱的或具有σ離散網(wǎng)的嚴格p空間是否是可展空間?

問題 3.4 σ仿緊空間的完備原像是σ仿緊空間?

問題 3.5 完備映射是否保持σ仿緊空間?

問題 3.6 具有σ離散網(wǎng)的空間是否是σ仿緊空間?

問題 3.7 弱仿緊,σ仿緊的p空間是仿緊空間?

問題 3.8 σ仿緊的p空間刻畫了可展空間的完備原像?

問題 3.9MOBI類中的每個空間是否是p空間?p空間的開緊映像是否是p空間?

問題 3.10 度量空間的偽開緊映像是否是p空間?

問題3.1～3.3涉及p空間自身的性質(zhì).問題3.1最先由V.V.Filippov[62]給予肯定回答,即完備映射保持仿緊p空間性質(zhì).在第1節(jié)中的問題1.5和1.6的解答中已介紹過V.V.Filippov的貢獻.1982年,J.Chaber[63]構(gòu)造了一個σ仿Lindel?f的p空間使其任一完備映像不是一個p空間,從而否定地回答了問題3.2.J.Worrell[63-64]更早構(gòu)造出完備映射不保持p空間的例子,但這例子一直沒有發(fā)表.1969—1970年,D.K.Burke等[65-66]獲得了后來廣泛使用的嚴格p空間,p空間的內(nèi)在刻畫,并由此證明了可展空間類具有σ離散網(wǎng)的p空間類以及對稱的p空間類是一致的[65],從而問題3.3的回答也是肯定的.

問題3.4～3.7涉及σ仿緊空間的等價刻畫.D.K.Burke[67]引入了次仿緊空間:拓撲空間X稱為次仿緊空間,若X的每一開覆蓋具有σ離散的閉加細;并證明了σ仿緊性等價于次仿緊性,由此給出了問題3.4～3.6的肯定回答,甚至證明了閉映射保持σ仿緊空間.由于存在非仿緊的局部緊的弱仿緊、次仿緊空間[68],所以問題3.7的回答是否定的.在弱仿緊和次仿緊空間的基礎(chǔ)上,劉應(yīng)明[69]引入了擬仿緊空間和狹義擬仿緊空間,推廣了Burke等的一些結(jié)果;并證明了在假設(shè)2>2下每一個可分正規(guī)的擬仿緊空間是仿緊的.這是我國學者關(guān)于集論拓撲學的第一個結(jié)果,所以劉應(yīng)明是我國最先從事集論拓撲學研究的學者.

問題3.8～3.10涉及可展空間及p空間的映射性質(zhì).1971年,T.Isiwata[70]給出了可展空間的完備原像的一個內(nèi)在刻畫.J.Chaber[71]構(gòu)造了一個局部緊的次仿緊空間,但它不可表為任一可展空間的完備原像,否定了問題3.8.J.Chaber[50]在否定上節(jié)問題2.5中所構(gòu)造的例子也是對問題3.9的否定回答.V.J.Mancuso[72]證明了每一度量空間的偽開緊映像是一個可展空間,肯定回答了問題3.10.1976年,A.V.Arhangel’skiǐ[73]證明了每一度量空間的偽開緊映像刻畫為弱仿緊的可展空間.

下面列舉幾個具有代表性的結(jié)果以說明p空間及σ仿緊空間的進一步作用.2011年,A.V.Arhangel’skiǐ等[74]又發(fā)表了關(guān)于p空間的論文,既表明了p空間強大的生命力,又展示了他們對于p空間的持續(xù)關(guān)注.

定理 3.11[67,75-76]對于拓撲空間X,下述條件相互等價:

1) X是σ仿緊空間;

2) X是次仿緊空間;

3) X的任一開覆蓋具有σ局部有限的閉加細;

4) X的任一開覆蓋具有σ閉包保持的閉加細;

5) X的任一開覆蓋具有σ墊狀加細.

定理 3.12 若X是一個p空間,則w(X)=nw(X)[77]且X具有可數(shù)型[78].

定理 3.13[79]設(shè)X是一個半拓撲群.若X是一個Baire,p空間,則X是一個仿拓撲群.

定理 3.14 拓撲空間X是嚴格p空間,當且僅當X是次亞緊的p空間[80],從而完備映射保持嚴格p空間性質(zhì).

定理 3.15[81]拓撲空間X是具有Gδ角線的p空間當且僅當X具有弱展開.

定理 3.16[82]拓撲空間X是可度量化空間,當且僅當X是具有Gδ對角線的單調(diào)正規(guī)的p空間.

4 尚未解決的問題

Arhangel’skiǐ[4]的論文共引用、提出問題或猜想71個,其中在ZFC中已解決的問題54個,已證明與ZFC相互獨立的問題3個,尚未解決的問題還有14個.在尚未解決的14個問題中,在集論假設(shè)下相對解決的問題7個,尚無答案的問題7個.在前3節(jié)介紹了在ZFC中已解決的問題26個,與ZFC相互獨立的問題1個.本節(jié)列出A.V.Arhangel’skiǐ[4]論文中尚未解決的14個問題,供讀者進一步研究.

首先,列出在集論假設(shè)下相對解決的7個問題.

問題 4.1 在緊空間類中g(shù)f可數(shù)公理與第一可數(shù)公理是否等價?

N.N.Jakovlev[83]在假設(shè)CH下構(gòu)造了一個緊Hausdorff的gf可數(shù)空間不具有點Gδ性質(zhì),否定了這問題.

問題 4.2 是否存在滿足gf可數(shù)公理的緊空間X使得|X|>τ?

U.Abraham等[84]在假設(shè)κ=τ下肯定了這問題,并且在假設(shè)V[G]下構(gòu)造了具有任意大基數(shù)的gf可數(shù)的緊空間.

問題 4.3 完正規(guī)緊空間的對稱子空間是否是可度量化空間?

D.K.Burke等[85]在假設(shè)CH下構(gòu)造了一個不可度量化的對稱空間,使它有一個完正規(guī)的緊化,因而這問題在CH下是否定的.

問題 4.4 半度量的仿緊空間是否具有σ離散網(wǎng)?

E.S.Berney[86]在假設(shè)CH下構(gòu)造了不具有σ離散網(wǎng)的正則遺傳Lindel?f的半度量空間.

問題 4.5 正規(guī)的對稱空間是否是仿緊空間?

W.G.Fleissner[87]在假設(shè)MA+CH下證明了Aronszajn樹是一個不可度量化的正規(guī)Moore空間,于是這空間是非仿緊的正規(guī)的對稱空間.

問題 4.6 在仿緊空間的每個閉映射下,原像不是緊集的點的全體的勢是否不超過被映空間的權(quán)?

V.V.Filippov[88]在假設(shè)2>2下構(gòu)造一個例子否定了這問題.

問題 4.7 具有可數(shù)基空間的商緊映像是否是層空間?

L.Foged[89]在假設(shè)MA下構(gòu)造了一個非單調(diào)正規(guī)空間,使它是一個可分度量空間在有限到一商映射下的像,這例子表明這問題的回答是否定的.

其次,列出尚無答案的問題7個.

問題 4.8 集態(tài)正規(guī)的對稱空間是否是仿緊空間?

問題 4.9 集態(tài)正規(guī)的對稱空間是否可用連續(xù)一對一映射映成某一度量空間?

問題 4.10 完備映射是否保持MOBI類?

J.Chaber[90]證明了MOBI1類等價于具有點可數(shù)基的T1空間類,而完備映射保持具有點可數(shù)基的T1空間類[23],所以完備映射保持MOBI1類.

問題 4.11 正規(guī)空間是否是零維正規(guī)空間的不可約的完備映像?

問題 4.12 線段與線段的偽乘積是否具有可數(shù)基?

問題 4.13FABOC類中的空間具有怎樣的內(nèi)部特征?對于FABOC類中的空間,3種維數(shù)dim、ind和Ind是否相價?

FABOC類是包含可分度量空間類且關(guān)于商緊映射封閉的最小的空間類[4].顯然,FABOC類中的空間都具有可數(shù)網(wǎng).M.G.Charalambous[91]構(gòu)造了一具有可數(shù)網(wǎng)的正則空間X使得dim(X)=1,ind(X)=2.

問題 4.14 完正規(guī)的Lindel?f空間是完正規(guī)k空間的連續(xù)映像?

5 A. V. Arhangel’skiǐ在中國

Alexandroff設(shè)想是廣義度量空間理論的3個重要來源之一.《映射與空間》[4]系統(tǒng)地發(fā)展了P.S.Alexandroff的思想.前3節(jié)所介紹的A.V.Arhangel’skiǐ的問題對于數(shù)理邏輯和集論拓撲、映射理論、廣義度量空間理論和覆蓋性質(zhì)等一般拓撲學及相關(guān)的重要課題的研究產(chǎn)生了強有力的推動作用[92-93].

《映射與空間》[4]由蘇州大學吳利生、陳必勝翻譯成中文,于1981—1982年在《數(shù)學譯林》分3期刊出.1983年上海光華出版社出版由劉應(yīng)明、高國士等編輯的論文集《SelectedPapersonTopologyI,II,III》,選取從1937—1979年國際上較有影響的一般拓撲學論文115篇[94],其中收入了《映射與空間》[4](俄文).A.V.Arhangel’skiǐ的著作《FundamentalsofGeneralTopology:ProblemsandExercises》[95]和《GeneralTopologyI》[96]曾在中國印刷發(fā)行.在20世紀70年代末到80年代這個中國歷史上獨特的時期中,這些珍貴的資料對于推動我國一般拓撲學的復(fù)蘇及其后續(xù)的發(fā)展起到了較大的作用[97-98],如高國士[99]在《拓撲空間論》的序言中就很自豪地寫道:本書是《映射與空間》理論的發(fā)展與應(yīng)用.

A.V.Arhangel’skiǐ曾3次到中國訪問,其中2006年11月27日—12月7日到首都師范大學和漳州師范學院訪問;2012年9月22日—10月1日到南京參加“拓撲學及其相關(guān)領(lǐng)域國際會議”,做了題為“Somepropertiesofremaindersofmetrizableandclosetothemspaces”的40min大會邀請報告,并到南京大學、南京師范大學和蘇州大學訪問;2015年11月25日—12月8日到漳州參加“首屆泛太平洋拓撲學及其應(yīng)用國際會議”,并到閩南師范大學訪問.

A.V.Arhangel’skiǐ的研究工作涉及與一般拓撲學及其應(yīng)用相關(guān)的廣泛領(lǐng)域,如空間與映射的相互分類、度量空間及其推廣、緊性及其推廣、拓撲空間的基數(shù)函數(shù)、連續(xù)函數(shù)空間理論、拓撲群、拓撲代數(shù)和拓撲空間的齊性等.在過去的近60年間,A.V.Arhangel’skiǐ所引進的新概念、獲得的新結(jié)果和提出的大量問題成為一般拓撲學向前推進的巨大動力,深深地影響著當代一般拓撲學的前進方向.近年來,A.V.Arhangel’skiǐ及其部分學生(如M.M.Choban、M.G.Tkachenko、V.G.Pestov、I.I.Guran、V.V.Uspenskij、D.B.Shakhmatov、O.G.Okunev、O.V.Sipacheva、E.A.Reznichenko、A.S.Gul’ko、C.Liu)的研究興趣主要在拓撲代數(shù)方面[36].從空間與映射的相互分類,到連續(xù)函數(shù)空間,到拓撲群,到拓撲代數(shù)及拓撲空間的齊性等,其研究方向的變化軌跡本身就是一道優(yōu)美的弧線.

1925年O.Schreier[100]和1927年F.Leja[101]分別獨立地給出了第一個Hausdorff拓撲群的現(xiàn)代定義.我國老一輩拓撲學家胡世楨[102]在20世紀40年代曾在一致空間及齊性空間方面做過工作.20世紀50年代,蘇聯(lián)科學院院士龐特里亞金[103-104]的著作《連續(xù)群》被譯成中文.中國科學院院士關(guān)肇直[105]早年的著作《拓撲空間概論》中也有關(guān)于拓撲群的介紹.黎景輝等[106]的《拓撲群引論》作為《現(xiàn)代數(shù)學基礎(chǔ)叢書》之38輯在科學出版社出版.這些均未對國內(nèi)關(guān)于拓撲群的研究工作產(chǎn)生重要的影響.作為一個較成熟的研究課題,在國內(nèi)拓撲群理論似乎只作為代數(shù)、分析等學科的基礎(chǔ)知識而存在.自從A.V.Arhangel’skiǐ等到中國不遺余力地弘揚拓撲代數(shù)之后,情況發(fā)生了顯著的變化.從2009年起,國內(nèi)的青年學者開始發(fā)表拓撲代數(shù)的論文[107],而后逐漸在國際舞臺上嶄露頭腳,繼而出現(xiàn)了拓撲代數(shù)的研究群體,如2014—2015年我國學者在《TopologyanditsApplications》上發(fā)表的拓撲代數(shù)方面的論文有19篇,解決了若干包括A.V.Arhangel’skiǐ在內(nèi)的拓撲代數(shù)名家提出的問題,獲得了國際同行的認可與高度評價.A.V.Arhangel’skiǐ的中國之旅及其著作對推動我國拓撲代數(shù)水平的迅速提升并進入國際研究前沿發(fā)揮了巨大的作用[37,108-109].

[1] BURKE D K, LUTZER D J. Recent advances in the theory of generalized metric spaces[C]//Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics, 24. New York:Marcel Dekker,1976:1-70.

[2] Czechoslovak Academy of Sciences. General topology and its relations to modern analysis and algebra I[C]//Proc 1st Topological Symp. New York:Academic Press,1962:5.

[3] ALEXANDROFF P S. On some results concerning topological spaces and their continuous mappings[C]//General Topology and its Relations to Modern Analysis and Algebra I. Proc 1st Topological Symp. New York:Academic Press,1962:41-54.

[4] ARHANGEL’SKII A V. Mappings and spaces[J]. Uspechi Mat Nauk,1966,21(4):133-184.

[5] ALEXANDROFF P S, FEDORCHUK V V, ZAICEV V I. The main aspects in the development of set-theoretic topology[J]. Uspechi Mat Nauk,1978,33(3):3-48.

[6] KUNEN K, VAUGHAN J E. Handbook of Set-theoretic Topology[M]. Amsterdam:Elsevier Science Publishers,1984.

[7] HUSEK M, VAN MILL J. Recent Progress in General Topology[M]. Amsterdam:Elsevier Science Publishers,1992.

[8] HUSEK M, VAN MILL J. Recent Progress in General Topology II[M]. Amsterdam:Elsevier Science Publishers,2002.

[9] HART K P, VAN MILL J, SIMON P. Recent Progress in General Topology III[M]. Pairs:Atlantis Press,2014.

[10] ALEXANDROFF P S, URYSOHN P S. Mémoire sur les espaces topologiques compacts[J]. Verh Koninkl Akad Wetensch,1929,14:1-96.

[11] ARHANGEL’SKII A V. Selected old open problems in general topology[J]. Bil Acad Stiinte Repub Mold Mat,2013,72(2):37-46.

[12] ARHANGEL’SKII A V. The cardinality of first-countable bicompacta[J]. Dokl Akad Nauk SSSR,1969,187:967-970.

[13] HODEL R. Cardinal functions I[C]//KUNEN K, VAUGHAN J E. Handbook of Set-theoretic Topology. Amsterdam:Elsevier Science Publishers,1984:1-61.

[14] JAJNAL A, JUHASZ I. On hereditarilyα-Lindel?f and hereditarilyα-separable spaces[J]. Ann Univ Sci Budapest,1968,9:115-124.

[15] MOORE J T. A solution to the L space problem[J]. J Am Math Soc,2006,19(3):717-736.

[16] PENG Y H. AnLspace with non-Lindel?f square[J]. Topology Proc,2015,46:233-242.

[17] SZENTMIKOLOSSY Z.S-spaces andL-spaces under Martin’s Axiom[J]. Colloq Math Soc Janos Bolyai,1978,23:1139-1145.

[18] TALL F D. On the existence of normal metacompact Moore spaces which are not metrizable[J]. Canad J Math,1974,26:1-6.

[19] LASNEV N. Closed images of metric spaces[J]. Dokl Akad Nauk SSSR,1966,170:505-507.

[20] FOGED L. A characterization of closed images of metric spaces[J]. Proc Am Math Soc,1985,95:487-490.

[21] TANAKA Y. Point-countable covers andk-networks[J]. Topology Proc,1987,12:327-349.

[23] FILIPPOV V V. Preservation of the order of a base under a perfect mapping[J]. Dokl Akad Nauk SSSR,1968,181:1077-1079.

[24] MISCENKO A S. Spaces with a pointwise denumerable basis[J]. Dokl Akad Nauk SSSR,1962,144:985-988.

[25] ARHANGEL’SKII A V. On a class of spaces containing all metric and all locally bicompact spaces[J]. Dokl Akad Nauk SSSR,1963,151:751-754.

[26] FILIPPOV V V. On feathered paracompacta[J]. Dokl Akad Nauk SSSR,1968,178(3):555-558.

[27] 林壽. 點可數(shù)覆蓋與序列覆蓋映射[M]. 2 版. 北京:科學出版社,2015.

[28] HODEL R E. A history of generalized metrizable spaces[C]//AULL C E, LOWEN R. Handbook of the History of General Topology. 2nd ed. Dordrecht:Kluwer Academic Publishers,1998,541-576.

[29] SIWICE F. On defining a space by a weak base[J]. Pacific J Math,1974,52:233-245.

[30] VELICKO N V. Symmetrizable spaces[J]. Mat Zametki,1972,12(5):577-582.

[31] GUTHRIE J A. A characterization of0-spaces[J]. General Topology Appl,1971,1:105-110.

[32] 林壽. 關(guān)于序列覆蓋s映射[J]. 數(shù)學進展,1996,25:548-551.

[33] LIU C, LIN S. On countable-to-one maps[J]. Topology Appl,2007,154:449-454.

[34] NEDEV S J, CHOBAN M M. On metrization of topological groups[J]. Vestnik Moskow Univ Mat Meh,1968,6:18-20.

[35] NYIKOS P J. Metrizability and the Fréchet-Urysohn property in topological groups[J]. Proc Am Math Soc,1981,83:793-801.

[36] ARHANGEL’SKII A V, TKACHENKO M. Topological Groups and Related Structures[M]. Paris:Atlantis Press and World Sci,2008.

[37] 林福財. 拓撲代數(shù)與廣義度量空間[M]. 廈門:廈門大學出版社,2012.

[38] HOSHINA T. On the quotients-images of metric spaces[J]. Sci Rep Tokyo Kyoiku Daigaku Sect A,1970,10:265-268.

[39] CAI Z Y, LIN S. Sequentially compact spaces with a point-countablek-network[J]. Topology Appl,2015,193:162-166.

[40] USPENSKIJ V V. Pseudocompact spaces with aσ-point-finite base are metrizable[J]. Comment Math Univ Carolinae,1984,25:261-264.

[41] ARHANGEL’SKII A V. An addition theorem for the weight of sets lying in bicompacts[J]. Dokl Akad Nauk SSSR,1959,126(2):239-241.

[42] KOFNER J. On a new class of spaces and some problems of symmetrizable theory[J]. Dokl Akad Nauk SSSR,1969,187(2):270-273.

[43] OKUYAMA A. Some generalizations of metric spaces, their metrization theorems and product spaces[J]. Sci Rep Tokyo Kyioku Daigaku Sect A,1967,9:236-254.

[44] SIWICE F, NAGATA J. A note on nets and metrization[J]. Proc Jpn Acad,1968,44:623-727.

[45] 林壽. 廣義度量空間與映射[M]. 2 版. 北京:科學出版社,2007.

[46] HEATH R W. A paracompact semi-metric space which is not anM3-space[J]. Proc Am Math Soc,1966,17:868-870.

[47] LUTZER D J. Semimetrizable and stratifiable spaces[J]. General Topology Appl,1971,1:43-48.

[48] BENNETT H R, CHABER J. A survey of the class MOBI[C]//VAN MILL J, REED G M. Open Problems in Topology. Amsterdam:North-Holland,1990:221-229.

[49] CHOBAN M M. The open mappings and spaces[J]. Ren Circolo Math Palermo,1992,29(1):51-104.

[50] CHABER J. Metacompactness and the class MOBI[J]. Fund Math,1976,91:211-217.

[51] JAKOVLEV N N. Ong-metrizable spaces[J]. Dokl Akad Nauk SSSR,1976,226(3):530-532.

[52] AN T V, TUYEN L Q. On an affirmative answer to S. Lin’s problem[J]. Topology Appl,2011,158:1567-1570.

[53] AN T V, TUYEN L Q. Onπ-images of separable metric spaces and a problem of Shou Lin[J]. Mat Vesnik,2012,64(4):297-302.

[54] MICHAEL E A. Some problems[C]//VAN MILL J, REED G M. Open Problems in Topology. Amsterdam:North-Holland,1990:271-278.

[55] BURKE D K. Weak-bases andD-spaces[J]. Comment Math Univ Carolinae,2007,48(2):281-289.

[56] NEDEV S J. Symmetrizable spaces and final compactness[J]. Dokl Akad Nauk SSSR,1967,175:532-534.

[57] FOGED L. Ong-metrizability[J]. Pacific J Math,1982,98:327-332.

[58] LIU C. On weak bases[J]. Topology Appl,2005,150:91-99.

[59] 林壽. 關(guān)于g-可度量空間[J]. 數(shù)學年刊,1992,A13(3):403-409.

[60] TANAKA Y.σ-hereditarily closure-preservingk-networks andg-metrizability[J]. Proc Am Math Soc,1991,112:283-290.

[61] MARTIN H W. Weak bases and metrization[J]. Trans Am Math Soc,1976,222:337-344.

[62] FILIPPOV V V. The perfect image of a paracompact feathered space[J]. Dokl Akad Nauk SSSR,1967,176(3):533-535.

[63] CHABER J. Perfect images ofp-spaces[J]. Proc Am Math Soc,1982,85:609-614.

[64] ARHANGEL’SKII A V. Notes on the history of general topology in Russia[J]. Topology Proc,2000,25:353-395.

[65] BURKE D K, STOLTENBERG R A. A note onp-spaces and Moore spaces[J]. Pacific J Math,1969,30:601-608.

[66] BURKE D K. Onp-spaces andwΔ-spaces[J]. Pacific J Math,1970,35:285-296.

[67] BURKE D K. On subparacompact spaces[J]. Proc Am Math Soc,1969,23:655-663.

[68] BURKE D K. Covering properties[C]//KUNEN K, VAUGHAN J E. Handbook of Set-theoretic Topology. Amsterdam:Elsevier Science Publishers,1984:347-422.

[69] 劉應(yīng)明. 一類包含弱仿緊空間和次仿緊空間的拓撲空間[J]. 數(shù)學學報,1977,20:212-214.

[70] ISIWATA T. Inverse images of developable spaces[J]. Bull Tokyo Gakugei Univ Math Sci,1971,23:11-21.

[71] CHABER J. Perfect preimages of Moore spaces[J]. Bull Acad Pol Sci:Math,1983,31:31-34.

[72] MANCUSO V J. Inverse images and first countability[J]. General Topology Appl,1972,2:29-44.

[73] ARHANGEL’SKII A V. Intersection of topologies, and pseudo-open bicompact mappings[J]. Dokl Akad Nauk SSSR,1976,226(4):745-748.

[74] ARHANGEL’SKII A V, CHOBAN M M. Some generalizations of the concept of ap-space[J]. Topology Appl,2011,158(2):1381-1389.

[75] CHOBAN M M. Onσ-paracompact spaces[J]. Vestnik Moskow Univ Mat Mech,1969,22:20-27.

[76] JUNNILA H J K. On submetacompactness[J]. Topology Proc,1978,3:375-405.

[77] ARHANGEL’SKII A V. Bicompact sets and the topology of spaces[J]. Trudy Moskow Mat Obsch,1965,13:3-55.

[78] CHOBAN M. Perfect mappings and spaces of countable type[J]. Vestnik Moskow Univ:Mat Mech,1967,22(6):87-96.

[79] BOUZIAD A. Continuity of separately continuous group actions onp-spaces[J]. Topology Appl,1996,71:119-124.

[80] JIANG S. Every strictp-space isθ-refinable[J]. Topology Proc,1986,11:309-316.

[81] ALLECHE B, ARHANGEL’SKII A V, CALBRIX J. Weak developments and metrization[J]. Topology Appl,2000,100:23-38.

[82] HEATH R W, LUTZER D J, ZENOR P L. Monotonically normal spaces[J]. Trans Am Math Soc,1973,178:481-493.

[83] JAKOVLEV N N. On the theory ofo-metrizable spaces[J]. Dokl Akad Nauk SSSR,1976,229(6):1330-1331.

[84] ABRAHAM U, GORELIC I, JUHASZ I. On Jakovlev spaces[J]. Isr J Math,2006,152:205-219.

[85] BURKE D K, DAVIS S W. Compactifications of symmetrizable spaces[J]. Proc Am Math Soc,1981,81:647-651.

[86] BERNEY E S. A regular Lindel?f semi-metric space which has no countable network[J]. Proc Am Math Soc,1970,26:361-364.

[87] FLEISSNER W G. When is Jones’ space normal?[J]. Proc Am Math Soc,1975,50:375-378.

[88] FILIPPOV V V. On the “degree of non-bicompactness” of a closed mapping of a paracompacta[J]. Vestnik Moskow Univ:Mat Mech,1972,27(4):9-11.

[89] FOGED L. Normality ink-and-spaces[J]. Topology Appl,1986,22:223-240.

[90] CHABER J. On the class MOBI[C]//FROLIC Z. Proc 6th Prague Topological Symp. General Topology and its Relations to Modern Analysis and Algebra VI. Berlin:Heldermann Verlag,1988:77-82.

[91] CHARALAMBOUS M G. Resolving a question of Arkhangel’skiǐ’s[J]. Fund Math,2006,192:67-76.

[92] 林壽. 關(guān)于ARHANGEL’SKII的《映射與空間》[J]. 蘇州大學學報(自然科學版),1992,8(4):393-400.

[93] 林壽. 關(guān)于ARHANGEL’SKII的《映射與空間》(續(xù))[J]. 蘇州大學學報(自然科學版),1993,9(1):11-19.

[94] 程民德. 中國現(xiàn)代數(shù)學家傳:第3卷[M]. 南京:江蘇教育出版社,1998:292.

[95] ARHANGEL’SKII A V, PONOMAREV V I. Fundamentals of general topology:problems and exercises[C]//JAIN V K. Mathematics and its Applications, 13. Dordrecht:Kluwer Academic Publishers,1984.

[96] ARHANGEL’SKII A V, PONTRYAGIN L S. General topology I[C]//Encyclopaedia of Mathematical Sciences, 17. Berlin:Springer-Verlag,1990.

[97] 劉應(yīng)明. 拓撲學(一般拓撲學)[C]//自然科學年鑒. 北京：科學出版社,1982.

[98] 劉應(yīng)明,蔣繼光. 點集拓撲學[C]//自然科學年鑒. 北京：科學出版社,1989.

[99] 高國士. 拓撲空間論[M]. 北京:科學出版社,2000.

[100] SCHREIER O. Abstrakte kontinuerliche Gruppen[J]. Abh Math Sem Univ Hamburg,1925,4:15-32.

[101] LEJA F. Sur la notion du group abstrait topologique[J]. Fund Math,1927,9:37-44.

[102] 陳克勝. 民國時期中國拓撲學史稿[M]. 北京:科學出版社,2014.

[103] 龐特里亞金. 連續(xù)群(上冊)[M]. 曹錫華,譯. 北京:科學出版社,1957.

[104] 龐特里亞金. 連續(xù)群(下冊)[M]. 曹錫華,譯. 北京:科學出版社,1958.

[105] 關(guān)肇直. 拓撲空間概論[M]. 北京:科學出版社,1958.

[106] 黎景輝,馮緒寧. 拓撲群引論[M]. 北京:科學出版社,1991.

[107] 沈榮鑫,林壽. 拓撲群中廣義度量性質(zhì)的一個注記[J]. 數(shù)學年刊,2009,A30(5):697-704.

[108] TKACHENKO M. Paratopological and semitopological groups vs topological groups[C]//HART K P, VAN MILL J, SIMON P. Recent Progress in General Topology III. Pairs:Atlantis Press,2014:803-859.

[109] 李丕余,謝利紅,牟磊,等. 仿拓撲群和半拓撲群的若干專題[M]. 沈陽:東北大學出版社,2014.

[110] GRUENHAGE G. Generalized metric spaces[C]//KUNEN K, VAUGHAN J E. Handbook of Set-theoretic Topology. Amsterdam:Elsevier Science Publishers,1984:423-501.

[111] GRUENHAGE G, MICHAEL E A, TANAKA Y. Spaces determined by point-countable covers[J]. Pacific J Math,1984,113:303-332.

[112] 林壽,朱忠景. 幾類度量空間映像的研究[J]. 數(shù)學進展,2013,42(2):129-137.

LIN Shou1,2

( 1.SchoolofMathematicsandStatistics,MinnanNormalUniversity,Zhangzhou363000,Fujian;

2.SchoolofMathematics,SichuanUniversity,Chengdu610065,Sichuan)

2010 MSC：54C10; 54D70; 54E18

(編輯 周 俊)

Fifty Years of Mappings and Spaces

A famous surveyMappingsandSpaceswritten by A. V. Arhangel’skiǐ in 1966 gave a powerful driving force to general topology, especially in the theory of generalized metric spaces. This paper provides an overview on its historical significance and practical function for general topology in fifty years, lists some open problems in the survey, and introduces some influence of recent Arhangel’skiǐ’s work for the development of general topology in China.

mutual classification of spaces and mappings; mapping; generalized metric space; weak base;p-space; topological algebra

2016-10-15

國家自然科學基金(11471153)

林 壽(1960—),男,教授,主要從事一般拓撲學的研究,E-mail:shoulin60@163.com

O189.1

A

1001-8395(2017)01-0133-10

10.3969/j.issn.1001-8395.2017.01.022