一類圓錐曲線綜合題的教材探源

☉江蘇省海安縣曲塘中學(xué) 周 強(qiáng)

一類圓錐曲線綜合題的教材探源

☉江蘇省海安縣曲塘中學(xué) 周 強(qiáng)

教材是我們學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容，也是高考命題的重要載體，很多高考試題或模擬試題從命題形式或解答方法上，都能找到其教材根源所在.下面以一類圓錐曲線綜合題的求解為例說明，以期拋磚引玉.

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)A，B是橢圓C的左，右頂點(diǎn)，P為橢圓上異于A、B的一點(diǎn)，以原點(diǎn)O為端點(diǎn)分別作與直線AP和BP平行的射線，交橢圓C于M、N兩點(diǎn)，求證：△OMN的面積為定值.

一、常規(guī)解答

（2）設(shè)點(diǎn)P（x0，y0），M（x1，y1），N（x2，y2）.

①M(fèi)（x1，y1），N（x2，y2）在x軸同側(cè)，如圖1，不妨設(shè)x1＞0，x2＜0，y1＞0，y2＞0.

圖1

圖2

②M（x1，y）1，N（x2，y2）在x軸異側(cè)，如圖2，方法同①.

綜合①②，△OMN的面積為定值■2.

評注：本解法充分運(yùn)用了平面幾何的幾何性質(zhì)，以及處理解析幾何問題的核心思想，即坐標(biāo)法的應(yīng)用.

二、課本探源

評注：結(jié)合點(diǎn)A的軌跡方程，不難發(fā)現(xiàn)B、C即為橢圓的左、右頂點(diǎn)，進(jìn)而引發(fā)我們探究橢圓上的點(diǎn)與兩個(gè)頂點(diǎn)連線的斜率之積為定值.

三、探究問題的一般性

四、問題另解

五、拓展探究

類似的結(jié)論還可以拓展到雙曲線.

探究2：設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為（-a，0）、（a，0）（或（0，-a）、（0，a））.直線AM、BM相交于M，且它們的斜率之積是

圖3

（1）設(shè)直線PF1、PF2的斜率分別為k1、k2，證明：k1·k2=1；

0-4，所以k1·k2=1.即y20=x2

（2）設(shè)直線AB的方程為y=k（x+2），A（x1，y1），B（x2， y2）.

由（1）知，k1·k2=1，則直線CD的方程為同理可得所以

綜上，在教學(xué)時(shí)對教材中的典型例題或習(xí)題進(jìn)行拓展研究，可以發(fā)散學(xué)生思維、提升解題能力.F