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    例談中考數(shù)學(xué)中最值問(wèn)題的解決策略

    2017-05-11 02:03:43江蘇省淮陰中學(xué)新城校區(qū)韓先麗
    數(shù)學(xué)大世界 2017年10期
    關(guān)鍵詞:行李箱中點(diǎn)最值

    江蘇省淮陰中學(xué)新城校區(qū) 韓先麗

    例談中考數(shù)學(xué)中最值問(wèn)題的解決策略

    江蘇省淮陰中學(xué)新城校區(qū) 韓先麗

    隨著新課標(biāo)的實(shí)施與推廣,近幾年全國(guó)各地的中考試卷中出現(xiàn)了許多與最值有關(guān)的數(shù)學(xué)題目。這類(lèi)問(wèn)題具有較強(qiáng)的開(kāi)放性和探索性,設(shè)計(jì)又新穎,能有效地考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合、動(dòng)手操作能力,有利于培養(yǎng)學(xué)生的探究意識(shí)和創(chuàng)新精神,很受命題者的青睞。這類(lèi)問(wèn)題形式多樣,能考查學(xué)生與多方面知識(shí)的整合和運(yùn)用能力,已逐步成為中考試卷中的一個(gè)亮點(diǎn)。在此采擷幾例中考試題加以歸類(lèi)淺析,供同行探討。

    一、與不等式相結(jié)合的最值問(wèn)題

    例1 (南京中考)鐵路部門(mén)規(guī)定旅客免費(fèi)攜帶行李箱的長(zhǎng)、寬、高之和不超過(guò)160cm,某廠家生產(chǎn)符合該規(guī)定的行李箱,已知行李箱的高為30cm,長(zhǎng)與寬的比為3∶2,則該行李箱的長(zhǎng)的最大值為cm。

    解:設(shè)長(zhǎng)為3 x cm,寬為2 x cm,由題意,得:5x+30≤160,

    解得x≤26,故行李箱的長(zhǎng)的最大值為78cm。

    點(diǎn)評(píng):本題考查了一元一次不等式的應(yīng)用,解答本題的關(guān)鍵是仔細(xì)審題,找到不等關(guān)系,建立不等式。

    二、轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)解決的最值問(wèn)題

    例2 (蘇州中考)如圖1,直線l與半徑為4的⊙O相切于點(diǎn)A,P是⊙O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A重合),過(guò)點(diǎn)P作PB⊥l,垂足為B,連接PA。設(shè)PA=x,PB=y,則x-y的最大值是 。

    圖1

    圖2

    解:如圖2,作直徑AC,連接CP,∴∠CPA=90°,

    ∵AB是切線,∴CA⊥AB,∵PB⊥l,

    ∴AC∥PB,∴∠CAP=∠APB,

    當(dāng)x=4時(shí),x-y有最大值是2。

    點(diǎn)評(píng):此題考查了切線的性質(zhì)。平行線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及二次函數(shù)的性質(zhì),熟練掌握性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵。

    三、利用軸對(duì)稱(chēng)解決的最值問(wèn)題

    例3 (宿遷中考)如圖3,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)E為邊BC的中點(diǎn),點(diǎn)P在對(duì)角線BD上移動(dòng),則PE+PC的最小值是 。

    圖3

    圖4

    解:如圖4,連接AE,AP,

    ∵點(diǎn)C關(guān)于BD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)A,∴PE+PC=PE+AP,根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得AE就是AP+PE的最小值。

    ∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,E是BC邊的中點(diǎn),∴BE=1,∴

    點(diǎn)評(píng):此題主要考查了正方形的性質(zhì)和軸對(duì)稱(chēng)及勾股定理等知識(shí)。根據(jù)已知及兩點(diǎn)之間線段最短可得AE就是PE+PC的最小值是解題關(guān)鍵。

    例4 (連云港中考改編)某數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)線段上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題進(jìn)行探究,如圖5,已知AB=8,P是線段AB上的一動(dòng)點(diǎn),分別以AP,BP為邊在同側(cè)作正方形APDC和正方形PBFE。若點(diǎn)M、N是線段AB上的兩點(diǎn),且AM=BN=1,點(diǎn)G、H分別是邊CD、EF的中點(diǎn),請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P從M到N的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,GH的中點(diǎn)O所經(jīng)過(guò)的路徑的長(zhǎng)及OM+OB的最小值。

    圖5

    如圖6,分別過(guò)點(diǎn)G、O、H作AB的垂線,垂足分別為點(diǎn)R、S、T,則四邊形GRTH為梯形。

    ∵點(diǎn)O為中點(diǎn),

    ∴點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)路徑在與AB距離為4的平行線上。

    由題意知MN=6,點(diǎn)P在線段MN上運(yùn)動(dòng),且點(diǎn)O為GH中點(diǎn),

    如圖7,作點(diǎn)M關(guān)于直線XY的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M′,連接BM′,與XY交于點(diǎn)O。

    由軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)可知,此時(shí)OM+OB=BM′最小。

    圖6

    圖7

    點(diǎn)評(píng):本題是中考?jí)狠S題,難度較大。解題難點(diǎn)在于分析動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡,需要很好的空間想象能力和作圖分析能力。此外,本題還綜合考查了二次函數(shù)、整式運(yùn)算、四邊形、中位線、相似、軸對(duì)稱(chēng)與勾股定理等眾多知識(shí)點(diǎn),是一道好題。

    四、對(duì)教學(xué)的啟示

    1.重視“四基”,提升思維品質(zhì)

    2011年版《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提出了學(xué)生獲得適應(yīng)社會(huì)生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的“四基”,即基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。較之之前的課程要求,新增了基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。為了體現(xiàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì),這就要求課堂教學(xué)中要善于引導(dǎo)學(xué)生歸納并體會(huì)數(shù)學(xué)中常用的思想方法,如:分類(lèi)討論、數(shù)形結(jié)合、類(lèi)比等數(shù)學(xué)思想。為了體現(xiàn)學(xué)生的主體地位,這就要求教師要從學(xué)生的角度去設(shè)計(jì)一些貼近生活,利于操作,學(xué)生感興趣并積極參與的活動(dòng),并讓學(xué)生在活動(dòng)中獨(dú)立思考、主動(dòng)探索、合作交流,使學(xué)生能夠通過(guò)活動(dòng),理解和掌握基本的知識(shí)和技能,體會(huì)和運(yùn)用數(shù)學(xué)思想與方法,獲得基本的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

    2.培養(yǎng)“四能”,善于反思創(chuàng)新

    2011年版《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提出“體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系……增強(qiáng)發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力、分析和解決問(wèn)題的能力”,這就要求教學(xué)設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)中要有學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的平臺(tái);教學(xué)探索環(huán)節(jié)中教師要退居二線,不可包辦、代辦,要突出學(xué)生的主體地位,引導(dǎo)學(xué)生要有自主思考,合作探究的數(shù)學(xué)活動(dòng)意識(shí)。從歷年中考立意來(lái)看,“四能”不僅要求學(xué)生會(huì)根據(jù)已有的數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想方法分析和解決提出的問(wèn)題,更要求學(xué)生有發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力,這是要求學(xué)生會(huì)知識(shí)遷移,是對(duì)學(xué)生創(chuàng)新能力的要求。這些都需要我們?cè)诮窈蟮慕虒W(xué)中加以重視和培養(yǎng)。

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