讓計(jì)數(shù)器“開(kāi)放” 疏通知識(shí)脈絡(luò)

吳淑家

【中圖分類(lèi)號(hào)】TM935.46+2 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2017）07-0051-01

小學(xué)數(shù)學(xué)一年級(jí)在教學(xué)撥計(jì)數(shù)器時(shí)，對(duì)于它的每個(gè)數(shù)位上是否能超過(guò)10顆珠子？教師有兩種不同的意見(jiàn)：一種認(rèn)為不能的，理由是（以個(gè)位為例）當(dāng)數(shù)疊加到10時(shí)，就成了兩位數(shù)，十位上是1，個(gè)位上是0，而個(gè)位只能表示一位數(shù)，最大的一位數(shù)是9，所以各數(shù)位上最多只能撥9顆珠，否則滿(mǎn)了十就增多了一個(gè)位數(shù)。另一種認(rèn)為能的，理由10即表示1個(gè)十，也可以表示10個(gè)一，1個(gè)十就是在十位上撥1顆珠，10個(gè)一就是在個(gè)位上撥10顆珠。以此類(lèi)推，如21即可以表示2個(gè)十和1個(gè)一，也可以表示21個(gè)一，即個(gè)位可以撥21顆珠，所以每個(gè)數(shù)位上撥的珠可以超過(guò)10顆。兩種不同的觀點(diǎn)衍生出兩種不同的計(jì)數(shù)器，前一種觀點(diǎn)的老師在教學(xué)中使用“封閉式”計(jì)數(shù)器（每個(gè)數(shù)位是封閉的，最多只能撥10顆珠），后一種觀點(diǎn)的老師采用的是“開(kāi)放式”計(jì)數(shù)器（每個(gè)數(shù)位是開(kāi)放的，雖然棍子有長(zhǎng)短，但可以通過(guò)畫(huà)圖的方式無(wú)限延長(zhǎng)）。哪種計(jì)數(shù)器能更好地輔助教學(xué)，促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展呢？

下面以北師大版一年級(jí)下冊(cè)第 68頁(yè)的兩位數(shù)加一位數(shù)（進(jìn)位加法）為例，圍繞算式28+4等于幾？進(jìn)行計(jì)數(shù)器教學(xué)實(shí)踐，通過(guò)對(duì)比，引發(fā)思考。

28+4等于幾？

1、借助小棒計(jì)算

2、借助計(jì)數(shù)器計(jì)算 “封閉式”計(jì)數(shù)器（每個(gè)數(shù)位是封閉的，最多只能撥10顆珠）撥法，最后結(jié)果呈現(xiàn)：

課中巡視了解學(xué)生的想法：你是怎么撥的？

生1：先撥28，個(gè)位上不夠4顆珠，先撥2顆珠，再將10顆珠換成十位上1顆珠，最后在個(gè)位上再撥2顆珠。（只有個(gè)別同學(xué)能說(shuō)出此種方法）

生2：先撥出28，再在十位上撥1顆珠，個(gè)位上撥去6顆，讓它剩下2顆珠。（注：孩子認(rèn)為個(gè)位上8+4=12，就在十位上撥1，個(gè)位上撥2。也有個(gè)別同學(xué)想法是：6和4湊成10，滿(mǎn)十進(jìn)一。）

生3：個(gè)位上是8+4=12，先撥12，再加上20就是32。

生4：28+4=32就在十位上撥3，個(gè)位上撥2。

生5：老師，沒(méi)辦法撥，因?yàn)閭€(gè)位上要加4，它只剩下2顆珠。 “開(kāi)放式”計(jì)數(shù)器（每個(gè)數(shù)位是開(kāi)放的，雖然棍子有長(zhǎng)短，但可以通過(guò)畫(huà)圖的方式無(wú)限延長(zhǎng)）撥法，最后結(jié)果呈現(xiàn)：

課中巡視了解學(xué)生的想法：你是怎么撥的？

生1：先撥28，加上4，就是加上4個(gè)一，在個(gè)位上再撥4顆珠就行了。（如圖1）

生2：先撥28，再在個(gè)位上加上4顆珠，個(gè)位上的珠子超過(guò)了10顆，就可以換成十位上的1顆，就是32了。（如圖2）

3、借助豎式計(jì)算

一、化抽象為具體，再現(xiàn)知識(shí)發(fā)展過(guò)程。

最早數(shù)的產(chǎn)生是“相同的物、結(jié)繩、圖形符號(hào)”的簡(jiǎn)單疊加。隨著社會(huì)的發(fā)展，數(shù)越來(lái)越大，出現(xiàn)了用“大小物、圖形符號(hào)”來(lái)表示大小數(shù)，當(dāng)這些都無(wú)法滿(mǎn)足生產(chǎn)生活需求時(shí)，出現(xiàn)了阿拉伯?dāng)?shù)字和位值制，利用0-9這10個(gè)數(shù)字放在不同的數(shù)位上表示不同數(shù)量多少， “數(shù)”逐漸抽象化。而計(jì)數(shù)器最大的特點(diǎn)就是如同“還原精靈”一般，能把抽象的“數(shù)”的內(nèi)涵“還原”，具體化。它在數(shù)學(xué)計(jì)算教學(xué)中的作用之一就是使那些看不見(jiàn)摸不著的算理算法，借助撥珠鮮活地再現(xiàn)出來(lái)，使我們直觀地感受知識(shí)的發(fā)展過(guò)程。 上面兩種計(jì)數(shù)器，哪一種才能真正發(fā)揮其優(yōu)勢(shì)呢？

“28+4”這兩個(gè)數(shù)的合并，并不是隨意疊加，是有規(guī)矩的，只能將相同的計(jì)數(shù)單位進(jìn)行相加。 “封閉式”計(jì)數(shù)器呈現(xiàn)的計(jì)算過(guò)程是：8+2=10，10+20=30，0+2=2，30+2=32。個(gè)位上的8個(gè)一與4個(gè)一的簡(jiǎn)單疊加被復(fù)雜化，4個(gè)一被強(qiáng)制分成兩次加，在個(gè)位加上2個(gè)珠時(shí)，插入了十位上2+1=3，接著又返回個(gè)位上加上2顆珠，個(gè)位與十位的穿插加，如同一個(gè)書(shū)包雜亂地堆放著各種書(shū)，混淆學(xué)生的思維。

“開(kāi)放式”計(jì)數(shù)器，由于各數(shù)位上的珠子數(shù)量無(wú)限制，它能將算理與算法借助撥珠形象地展示出來(lái)：怎樣撥28，為什么在十位上撥2，在個(gè)位上撥8，它們各表示什么意思，加4要怎么撥，為什么？學(xué)生邊撥珠邊理解數(shù)的意義，借助動(dòng)作直觀體驗(yàn)到個(gè)位上是表示一個(gè)一個(gè)數(shù)的，“8”和“4”表示的意義一樣，“4”應(yīng)該和“8”放在一起，個(gè)位上8顆珠子與4顆珠子可以進(jìn)行簡(jiǎn)單疊加（即將相同數(shù)數(shù)單位相加）。在這個(gè)過(guò)程，之于學(xué)生是沒(méi)有任何阻礙，它將抽象的語(yǔ)言、符號(hào)借助直觀形象地動(dòng)作表征方式再現(xiàn)出來(lái)，將“理”與“法”回歸最原始的“疊加”狀態(tài)，并有機(jī)地結(jié)合在一起，順應(yīng)知識(shí)的發(fā)展過(guò)程，符合學(xué)生思維的發(fā)展特點(diǎn)，同時(shí)體現(xiàn)加法的本質(zhì)特點(diǎn)。

二、化繁為簡(jiǎn)，打通知識(shí)關(guān)節(jié)。

計(jì)數(shù)器在數(shù)學(xué)計(jì)算教學(xué)中的作用之二就是它有完整的位值制，能利用小小的珠子再次演繹數(shù)由少到多，由繁到簡(jiǎn)的過(guò)程，以此打通知識(shí)“關(guān)節(jié)”，引發(fā)學(xué)生思考，促進(jìn)思維的發(fā)展。

以上兩種計(jì)數(shù)器，在使用過(guò)程中出現(xiàn)明顯不同的成效。在計(jì)算“28+4”時(shí)，表示將兩部分合并成一部分，也就是將兩部分進(jìn)行疊加，數(shù)量由少變多，主要“關(guān)節(jié)”是“滿(mǎn)十進(jìn)一”。

“封閉式”計(jì)數(shù)器采用強(qiáng)制性的方法：數(shù)位上如果滿(mǎn)十必須先向前一位進(jìn)一，不進(jìn)一就不能繼續(xù)算。因此，撥的過(guò)程中要想：個(gè)位8能與幾湊成10，4要分成幾和幾，個(gè)位滿(mǎn)十進(jìn)一后還要再撥幾？低年級(jí)的孩子以短時(shí)記憶為主，一系列的思維活動(dòng)，即使有計(jì)數(shù)器作為依托，但腦海中要有序地進(jìn)行分析、思考這些問(wèn)題，難度還是很大，他們經(jīng)常撥了前面的忘了后面的，尤其對(duì)于中差生，這時(shí)的計(jì)數(shù)器之于他們不是學(xué)習(xí)的助手，而是高難度的學(xué)習(xí)內(nèi)容。他們無(wú)從下手，怎么辦？于是他們有的用已經(jīng)會(huì)的其它方法把算出來(lái)的結(jié)果在計(jì)數(shù)器上撥出結(jié)果；有的把個(gè)位的8顆珠撥掉向十位進(jìn)一后，接著就不知道怎么撥了；有的則是先算出8+4=12后，直接在計(jì)數(shù)器上撥出32……計(jì)數(shù)器在這個(gè)過(guò)程中成了學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，失去其輔助的功能。

“開(kāi)放式”計(jì)數(shù)器，由于各個(gè)數(shù)位上的珠子可以無(wú)限疊加，就如同“結(jié)繩計(jì)數(shù)”，珠子就是那些“繩結(jié)”，當(dāng)孩子們明白了相同數(shù)數(shù)單位放一起的道理后，就在相同數(shù)位上進(jìn)行簡(jiǎn)單疊加（如上表），中差生撥珠后呈現(xiàn)的最后結(jié)果（如圖1），優(yōu)生則在疊加后能進(jìn)行優(yōu)化，“滿(mǎn)十進(jìn)一”后呈現(xiàn)最優(yōu)的結(jié)果（如圖2）。這種計(jì)數(shù)器讓每個(gè)孩子都有的放矢。他們?cè)谥樽永塾?jì)的過(guò)程中，感受數(shù)由小變大，由簡(jiǎn)單變復(fù)雜了（如圖1），激發(fā)學(xué)生去改進(jìn)數(shù)，“這么多珠子數(shù)起來(lái)很麻煩，怎樣才能讓人一眼就看出是多少呢？”“可以把個(gè)位上的10顆珠子捆成1捆（受到捆小棒的啟發(fā)），換成十位上的1顆珠子” （如圖2）。這時(shí)候的“滿(mǎn)十進(jìn)一”不是老師逼迫孩子必須這么做，而是學(xué)生不滿(mǎn)足現(xiàn)狀的改良，這是數(shù)位產(chǎn)生的原因，同時(shí)也是數(shù)發(fā)展的必經(jīng)過(guò)程。

“封閉式”計(jì)數(shù)器采用是強(qiáng)迫式，壓制式的的手法“加塞關(guān)節(jié)”，反而讓學(xué)生感到計(jì)數(shù)器好難，計(jì)算好難。“開(kāi)放式”則充分地發(fā)揮計(jì)數(shù)器的優(yōu)勢(shì)，以珠子的簡(jiǎn)單疊加為基礎(chǔ)，由少增多，產(chǎn)生視覺(jué)與思維地矛盾沖突，產(chǎn)生要簡(jiǎn)化的需求，再化繁為簡(jiǎn)，以此疏通關(guān)節(jié)，這時(shí)的“滿(mǎn)十進(jìn)一”是可以看到、摸到、想到，可以理解、接受、運(yùn)用的。

三、化零為整，形成知識(shí)脈絡(luò)。

任何知識(shí)都不是孤立存在的，它既有生命實(shí)踐活動(dòng)的現(xiàn)實(shí)基礎(chǔ)，同時(shí)也與其他知識(shí)之間相互關(guān)聯(lián)。在教學(xué)中注意引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)和把握知識(shí)之間內(nèi)在的共通性與互補(bǔ)性，不僅可以使學(xué)生形成整體和系統(tǒng)的知識(shí)觀，更好地整體把握知識(shí)，而且還可以使學(xué)生實(shí)現(xiàn)知識(shí)的融會(huì)貫通，真正地內(nèi)化和靈活運(yùn)用知識(shí)。

計(jì)算28+4的過(guò)程中，教師借助具體的小棒操作（如圖3）→在指定的標(biāo)有數(shù)學(xué)元素的“數(shù)位表”計(jì)數(shù)器撥珠→抽象的數(shù)字符號(hào)豎式計(jì)算（如圖4），層層深入，由易到難，由具體操作水平向抽象邏輯水平發(fā)展。這三種方法既是獨(dú)立的存在，又有本質(zhì)共性。當(dāng)學(xué)生根據(jù)各自的知識(shí)水平選擇其中一種方法解決28+4=32時(shí)，并不是教學(xué)的結(jié)束，而是剛剛進(jìn)入教學(xué)重點(diǎn)：

師：“這三種方法有什么相同的地方”？

生1：它們都是在算28+4。

生2：它們都是把相同數(shù)數(shù)單位進(jìn)行相加，也就是都是把8+4。（讓學(xué)生上臺(tái)指出三種方法的8+4在哪）

生3：它們都有滿(mǎn)十進(jìn)一。

師：誰(shuí)來(lái)介紹一下擺小棒、撥計(jì)數(shù)器、豎式計(jì)算，它們的滿(mǎn)十進(jìn)一都在哪？

生上臺(tái)指，老師引導(dǎo)學(xué)生把小棒中長(zhǎng)方形方框里圈起來(lái)的10根換成1捆，把計(jì)數(shù)器（圖1）中個(gè)位上的10顆珠換成十位上1顆珠（變成圖2），并讓學(xué)生指出這小棒中的1捆和計(jì)數(shù)器十位上的1顆珠在豎式計(jì)算的哪里？

師：看來(lái)，這三種方法的“樣子”長(zhǎng)得不一樣，但是它們表示的意義是……（一樣的）

擺小棒、撥計(jì)數(shù)器、豎式計(jì)算都可以單獨(dú)解決“28+4等于幾”這個(gè)問(wèn)題，它們又同時(shí)體現(xiàn)相同的運(yùn)算方法和算理：相同數(shù)位相加，滿(mǎn)十進(jìn)一。然而“封閉式”計(jì)數(shù)器在此與小棒和豎式的聯(lián)系卻不緊密，它的“滿(mǎn)十進(jìn)一”是在逼迫下的一個(gè)短暫停留的過(guò)程，而“開(kāi)放式”計(jì)數(shù)器的撥算方法卻可以與其它兩種方法形成一個(gè)整體。經(jīng)過(guò)上下溝通后，原來(lái)只是零散的作為計(jì)算輔助工具的各種方法，卻緊緊圍繞著加法運(yùn)算的本質(zhì)特征展開(kāi)，學(xué)生的學(xué)習(xí)也由“選擇一種你喜歡的方法進(jìn)行計(jì)算”發(fā)展為：教師指定一種方法，他們可以隨心所欲用相通的算理進(jìn)行解決。

綜上所述，開(kāi)放了計(jì)數(shù)器就如同疏通了知識(shí)的脈絡(luò)，學(xué)生從僅僅對(duì)知識(shí)掌握的關(guān)注到對(duì)其背后的過(guò)程形態(tài)知識(shí)的關(guān)注，從僅僅對(duì)散點(diǎn)知識(shí)的關(guān)注到對(duì)其背后的關(guān)系形態(tài)的關(guān)注，形成了知識(shí)由具體到抽象、由局部到整體、由過(guò)程到結(jié)果的提升，這樣的教學(xué)才是以培養(yǎng)人的生命自覺(jué)為目的，致力于每一個(gè)學(xué)生發(fā)展的教學(xué)。[1]

參考文獻(xiàn)：

[1]吳亞萍著：《中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)課型研究》，福建教育出版社，2014.10