劉頓
不難發(fā)現(xiàn),許多中考數(shù)學(xué)題的背景知識正是取材于日常生活中,尤其是有關(guān)銳角三角函數(shù)的考題更是貼近生活,甚至是我們每天在學(xué)習(xí)時經(jīng)常觸摸的學(xué)習(xí)工具,比如圓規(guī)、三角板、鉛筆、計算器等,可以說是“握在手中”的中考題。為方便同學(xué)們學(xué)習(xí),現(xiàn)以2016年中考題為例說明如下。
例1 (山東煙臺卷)下圖是我們數(shù)學(xué)課本上采用的科學(xué)計算器面板,利用該型號計算器計算cos55°,按鍵順序正確的是( )
A. 2 × cos 5 5 =
B. 2 cos 5 5 0 =
C. 2 cos 5 5 =
D. 2 5 5 cos =
分析 簡單的電子計算器工作順序是先輸入者先算,其中R-CM表示存儲、讀出鍵,M+為存儲加鍵,M-為存儲減鍵,根據(jù)按鍵順序?qū)懗鍪阶?,再根?jù)開方運(yùn)算即可求出顯示的結(jié)果。
解 利用該型號計算器計算cos55°,按鍵順序正確的是:,故應(yīng)選C。
說明 本題主要考查利用計算器求銳角三角函數(shù)的值的方法,求解時要能熟悉數(shù)的開方的意義,明確計算器上各個功能鍵的作用,會根據(jù)按鍵順序列出所要計算的式子。事實上,借助計算器這樣的工具做題,既能鍛煉同學(xué)們的動手能力,又能提高同學(xué)們的學(xué)習(xí)興趣,有助于對知識的掌握和運(yùn)用。
例2 (浙江麗水卷)數(shù)學(xué)拓展課程《玩轉(zhuǎn)學(xué)具》課堂中,小陸同學(xué)發(fā)現(xiàn):一副三角板中,含45°的三角板的斜邊與含30°的三角板的長直角邊相等。于是,小陸同學(xué)提出一個問題:如圖,將一副三角板直角頂點重合拼放在一起,點B,C,E在同一直線上,若BC=2,求AF的長。
請你運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識解決這個問題。
分析 由三角板各角的大小,結(jié)合題意,可先由正切的定義求出AC,再由正弦的定義求出CF,進(jìn)而計算即可。
解 在Rt△ABC中,BC=2,∠A=30°,由正切的定義,得AC=2,則EF=AC=2,∵∠E=45°,∴由正弦的定義,得FC=EF·sinE,∴AF=AC-FC=2。
說明 本題以司空見慣的一副三角板為背景,意在考查特殊角的三角函數(shù)值的應(yīng)用。掌握銳角三角函數(shù)的概念、熟記特殊角的三角函數(shù)值是順利解題的關(guān)鍵。
例3 (浙江臺州卷)保護(hù)視力要求人寫字時眼睛和筆端的距離應(yīng)超過30cm,如圖1是一位同學(xué)的坐姿,把他的眼睛B,肘關(guān)節(jié)C和筆端A的位置關(guān)系抽象成如圖2的△ABC,已知BC=30cm,AC=22cm,∠ACB=53°,他的這種坐姿符合保護(hù)視力的要求嗎?請說明理由。(參考數(shù)據(jù):sin53°≈0.8,cos53°≈0.6,tan53°≈1.3)
分析 依題意,為了方便求解,可通過作垂線構(gòu)造出直角三角形,進(jìn)而根據(jù)銳角三角函數(shù)關(guān)系得出BD,DC的長,再結(jié)合勾股定理得出答案。
解 他的這種坐姿不符合保護(hù)視力的要求。理由:如圖2所示,過點B作BD⊥AC于點D,∵BC=30cm,∠ACB=53°,∴由正弦的定義,得sin53°≈0.8,解得BD=24,再由余弦的定義,得cos53°≈0.6,解得DC=18,∴AD=22-18=4(cm),∴由勾股定理,得AB=<30, ∴他的這種坐姿不符合保護(hù)視力的要求。
說明 此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用,求解時需要通過對問題的理解,將其轉(zhuǎn)化到直角三角形中來,根據(jù)題意得出BD,AD的長是解題關(guān)鍵。
例4 (江西卷)如圖1是一副創(chuàng)意卡通圓規(guī),如圖2是其平面示意圖,OA是支撐臂,OB是旋轉(zhuǎn)臂,使用時,以點A為支撐點,鉛筆芯端點B可繞點A旋轉(zhuǎn)作出圓,已知OA=OB=10cm。
(1)當(dāng)∠AOB=18°時,求所作圓的半徑;(結(jié)果精確到0.01cm)
(2)保持∠AOB=18°不變,在旋轉(zhuǎn)臂OB末端的鉛筆芯折斷了一截的情況下,作出的圓與(1)中所作圓的大小相等,求鉛筆芯折斷部分的長度。(結(jié)果精確到0.01cm)
(參考數(shù)據(jù):sin9°≈0.1564,cos9°≈0.9877,sin18°≈0.3090,cos18°≈0.9511)
分析 (1)依題意,只需求出等腰三角形的底邊AB即為求所作圓的半徑,此時可過點O作OC⊥AB,利用等腰三角形的性質(zhì),結(jié)合正弦的定義求解。(2)由題意可知在OB上找到一點E,使得AE=AB,而BE即為所求。此時,以點A為圓心,AB長為半徑畫弧,交OB于點E,于是在等腰三角形ABE中仿照(1)的方法即可求解。
解 (1)如圖,過點O作OC⊥AB,∵OA=OB,OC⊥AB,∴AC=BC,∠AOC=∠BOC=∠AOB=9°,在Rt△AOC中,由正弦定義,得sin∠AOC=,∴AC≈0.1564×10=1.564,∴AB=2AC=3.128≈3.13,∴所作圓的半徑是3.13cm。
(2)以點A為圓心,AB長為半徑畫弧,交OB于點E,作AD⊥BE于點D?!逜E=AB,AD⊥BE,∴BD=ED,∠BAD=∠EAD=∠BAE。∵∠AOB=18°,OA=OB,AB=AE,∴∠BAE=18°,∴∠BAD=9°,在Rt△BAD 中,由正弦定義,得sin∠BAD=,∴BD≈0.1564×3.13≈0.4895,∴BE=2BD=0.979≈0.98,∴鉛筆芯折斷部分的長度約為0.98cm。
說明 解答完本題,同學(xué)們怎么也沒有想到自己天天打交道的圓規(guī),也被搬進(jìn)了中考試卷中,而且題目設(shè)計新穎,值得我們在平時的學(xué)習(xí)中關(guān)注。
(編輯 白 鳥)