“數(shù)概念”核心經(jīng)驗(yàn)概說(shuō)

田方

數(shù)概念是學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)概念的基礎(chǔ)。在日常生活中，數(shù)可以用來(lái)表示各種客觀事物的量，量可以用數(shù)字符號(hào)來(lái)表示。幼兒生活在數(shù)的世界中，會(huì)在日常生活中不斷接觸和用到數(shù)。學(xué)前兒童數(shù)概念的學(xué)習(xí)與發(fā)展包含著豐富的內(nèi)容，其中最核心的三個(gè)方面是計(jì)數(shù)、數(shù)量比較和理解數(shù)字符號(hào)含義。

核心經(jīng)驗(yàn)要點(diǎn)一：通過(guò)計(jì)數(shù)確定一個(gè)集合的數(shù)量，掌握五個(gè)計(jì)數(shù)的基本原則

計(jì)數(shù)與兒童數(shù)概念的發(fā)展有著密切關(guān)系，通過(guò)計(jì)數(shù)可以確定一個(gè)集合中的數(shù)量。計(jì)數(shù)是一種有目的、有手段、有結(jié)果的活動(dòng)，其目的是確定集合的數(shù)量，其手段是運(yùn)用數(shù)數(shù)的方法和策略，其結(jié)果是用數(shù)字來(lái)表現(xiàn)。計(jì)數(shù)（count）亦稱數(shù)數(shù)，就是將一個(gè)具體集合的各元素與自然數(shù)建立起一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，通常方法有口說(shuō)數(shù)字、手點(diǎn)實(shí)物，使數(shù)字和要數(shù)的物體一一對(duì)應(yīng)，結(jié)果用數(shù)字來(lái)表示。

計(jì)數(shù)一般包括記憶計(jì)數(shù)和理解計(jì)數(shù)兩種類型。記憶計(jì)數(shù)主要是指按順序從記憶中提取數(shù)字。如果幼兒能夠說(shuō)出“1、2、3、4、5、6、7、8、9、10”，就說(shuō)明他已能在記憶層面準(zhǔn)確計(jì)數(shù)1到10。通常我們所說(shuō)的唱數(shù)就是記憶計(jì)數(shù)，是幼兒掌握序數(shù)的主要方法。很多幼兒都能在進(jìn)入幼兒園之前唱數(shù)1～20，但能唱數(shù)并不代表就能正確計(jì)數(shù)。因?yàn)橛幸饬x的數(shù)數(shù)，既要能夠記住順序或者數(shù)字的名稱（記憶計(jì)數(shù)），又要能夠有原則地?cái)?shù)數(shù)（理解計(jì)數(shù)）。“理解計(jì)數(shù)”是指能夠把每個(gè)數(shù)字和集合中的具體物體對(duì)應(yīng)起來(lái)，它建立在理解一一對(duì)應(yīng)概念的基礎(chǔ)上。如果幼兒能每次手指著餅干說(shuō)“一塊餅干，兩塊餅干，三塊餅干”，那就說(shuō)明他已能成功地在“理解計(jì)數(shù)”的水平上數(shù)出3個(gè)物品。理解計(jì)數(shù)是一種高水平的一一對(duì)應(yīng)，它是幼兒在協(xié)調(diào)對(duì)應(yīng)關(guān)系、序列關(guān)系和包含關(guān)系的基礎(chǔ)上表現(xiàn)出來(lái)的點(diǎn)數(shù)并說(shuō)出總數(shù)的數(shù)數(shù)水平。美國(guó)心理學(xué)教授格爾曼等人認(rèn)為幼兒計(jì)數(shù)能力的發(fā)展受計(jì)數(shù)原則的影響，幼兒在3歲時(shí)就能逐漸了解計(jì)數(shù)實(shí)物的原則，但只有當(dāng)他們已熟練掌握計(jì)數(shù)的全部五個(gè)基本原則時(shí)，他們才算真正能“理解計(jì)數(shù)”。

●一一對(duì)應(yīng)原則

一一對(duì)應(yīng)原則，是指幼兒在數(shù)數(shù)時(shí)必須理解要數(shù)的集合中的每一個(gè)元素只能對(duì)應(yīng)于一個(gè)數(shù)字，也就是說(shuō)一個(gè)集合中的物體必須且只能點(diǎn)數(shù)一次。計(jì)數(shù)活動(dòng)的過(guò)程就是把要數(shù)的那個(gè)集合的元素與自然數(shù)列的集合建立起一一對(duì)應(yīng)關(guān)系的過(guò)程。學(xué)會(huì)一一對(duì)應(yīng)的方法是幼兒掌握計(jì)數(shù)和正確理解數(shù)量的實(shí)際含義的基礎(chǔ)。對(duì)幼兒來(lái)說(shuō)，要掌握這個(gè)原則需要經(jīng)過(guò)大量的練習(xí)，并在理解集合概念的基礎(chǔ)上不斷得到強(qiáng)化。幼兒在掌握這一原則的過(guò)程中通常表現(xiàn)為將嘴里說(shuō)出的數(shù)字和手眼一致點(diǎn)數(shù)物體的動(dòng)作一一對(duì)應(yīng)起來(lái)，一個(gè)數(shù)字對(duì)應(yīng)一個(gè)物體，直到所有的物體都被點(diǎn)數(shù)一遍。一個(gè)物體只能數(shù)一次，一個(gè)數(shù)字也只能用一次。在這個(gè)過(guò)程中，幼兒容易出現(xiàn)兩種錯(cuò)誤情況：（1）手和口不匹配，譬如手點(diǎn)得快，嘴數(shù)得慢。（2）在數(shù)數(shù)時(shí)忘記已經(jīng)點(diǎn)數(shù)過(guò)而產(chǎn)生重復(fù)數(shù)問(wèn)題。

●固定順序原則

固定順序原則，是指用于數(shù)不同物體的數(shù)字順序是固定不變的，它是由數(shù)字本身特定的規(guī)律所決定的，如用“1、2、3、4……”的順序去數(shù)一個(gè)集合，再數(shù)另一個(gè)集合時(shí)，也應(yīng)當(dāng)是相同的順序，即3總是在2的后面、4的前面。對(duì)幼兒來(lái)說(shuō)，唱數(shù)就是熟悉和掌握這一原則的具體體現(xiàn)。

很多幼兒在將計(jì)數(shù)與實(shí)物聯(lián)系起來(lái)時(shí)仍比較困難，比如正在學(xué)計(jì)數(shù)的幼兒可能在數(shù)13個(gè)物體時(shí)口中念的是“1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、12、13”，即跳過(guò)或忘記將11“標(biāo)記”給一個(gè)實(shí)物，這說(shuō)明幼兒還沒(méi)有很好地掌握10以后的數(shù)字順序，這也與幼兒不能同時(shí)運(yùn)用固定順序原則和一一對(duì)應(yīng)原則有關(guān)。數(shù)字名稱的順序是固定的，所以記住數(shù)序是掌握固定順序原則的重要前提。但是，要想真正理解固定順序原則，不能僅僅依靠機(jī)械背誦數(shù)字順序的方法，因?yàn)楣潭樞蛟瓌t也體現(xiàn)了模式和結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，即每一個(gè)數(shù)都比它的前一個(gè)數(shù)多1，比它的后一個(gè)數(shù)少1。

●順序無(wú)關(guān)原則

順序無(wú)關(guān)原則是建立在固定順序原則基礎(chǔ)上的，也是由一一對(duì)應(yīng)原則推理而來(lái)的。它是指在數(shù)數(shù)時(shí)結(jié)果是唯一的，與被數(shù)物體的順序無(wú)關(guān)，無(wú)論是從左往右數(shù)，還是從中間往兩邊數(shù)、轉(zhuǎn)圈數(shù)，其結(jié)果總是同一個(gè)數(shù)，簡(jiǎn)而言之，即集合的總數(shù)與點(diǎn)數(shù)這個(gè)集合時(shí)物體的順序無(wú)關(guān)。幼兒掌握這一原則需要積累一定的數(shù)數(shù)經(jīng)驗(yàn)，因?yàn)橛變涸缙诔?huì)受物體排列順序的影響而產(chǎn)生計(jì)數(shù)錯(cuò)誤，同樣的五個(gè)糖果如果從左到右排成直線，幼兒就比較容易點(diǎn)數(shù)，但如果散亂無(wú)序地?cái)[放，幼兒就比較容易漏數(shù)或重復(fù)數(shù)。隨著數(shù)數(shù)經(jīng)驗(yàn)的不斷豐富，尤其是在有了對(duì)不同排列形式和擺放位置的材料進(jìn)行計(jì)數(shù)的感性經(jīng)驗(yàn)后，幼兒才能慢慢體會(huì)到順序無(wú)關(guān)原則。

●基數(shù)原則

基數(shù)原則，是指計(jì)數(shù)到最后一個(gè)物體時(shí)的數(shù)字代表該集合的總數(shù)?；鶖?shù)原則看起來(lái)比較簡(jiǎn)單，但是要理解它就會(huì)涉及數(shù)字的兩種不同用法：其一，幼兒要為點(diǎn)數(shù)過(guò)的物體賦予數(shù)字名稱，同時(shí)還要使用正確的數(shù)序（固定順序原則），每個(gè)元素必須且只能點(diǎn)數(shù)一次（一一對(duì)應(yīng)原則）。其二，點(diǎn)數(shù)結(jié)束時(shí)，幼兒要用點(diǎn)數(shù)到的最后一個(gè)數(shù)字來(lái)命名這個(gè)集合的總數(shù)。這個(gè)數(shù)字的意義不同于在點(diǎn)數(shù)集合時(shí)說(shuō)出的最后一個(gè)數(shù)字，前者是表示點(diǎn)數(shù)過(guò)的集合的總數(shù)，而后者不僅是對(duì)最后一個(gè)物體的“命名”，也標(biāo)志著點(diǎn)數(shù)的結(jié)束。

●抽象原則

抽象原則，是指任何由可數(shù)實(shí)體組成的集合都可以進(jìn)行計(jì)數(shù)。這一可數(shù)實(shí)體既可以是感知性的材料，也可以是非感知性的觀點(diǎn)、想法等，但數(shù)數(shù)的原則同樣適用，因?yàn)橛?jì)數(shù)的結(jié)果是抽象的。

核心經(jīng)驗(yàn)要點(diǎn)二：數(shù)量是集合的一種屬性，不同數(shù)字可以用來(lái)表示不同的數(shù)量，兩個(gè)集合的數(shù)量可以用來(lái)進(jìn)行比較

任何一個(gè)集合都有多種屬性，如物體的顏色、材質(zhì)、圖案等。但實(shí)際上，數(shù)量也是集合的一種屬性。例如，三朵花，三只螞蟻，三把椅子，數(shù)量3是它們的共同屬性?；卮稹岸嗌佟保怯?jì)數(shù)活動(dòng)的基本目的，知道“多少”能幫助幼兒在日后有意義地進(jìn)行數(shù)運(yùn)算。知道多少，不僅是在計(jì)數(shù)，還是在進(jìn)行集合比較，即比較不相等的數(shù)量或者確認(rèn)相等的數(shù)量。幼兒在計(jì)數(shù)能力有了進(jìn)一步發(fā)展之后，就會(huì)更加確切地進(jìn)行數(shù)量比較。通常，幼兒進(jìn)行數(shù)量比較的方法有如下幾種。

●目測(cè)

幼兒在比較兩個(gè)集合元素?cái)?shù)量多少的時(shí)候，通常會(huì)采用目測(cè)的方式，即一瞬間看到集合數(shù)量（數(shù)群）。

●視覺(jué)提示

幼兒通常是以看到的物體的大小、排列形式等外顯特征來(lái)判斷數(shù)量多少的。例如，教師出示兩組數(shù)量一樣、材料和形狀相同但大小不同的積木，問(wèn)幼兒哪組積木多、哪組積木少，幼兒往往會(huì)認(rèn)為大的那組積木多，小的那組積木少?？梢?jiàn)，幼兒會(huì)受物體的大小、空間排列等影響而產(chǎn)生錯(cuò)誤判斷。

●一一對(duì)應(yīng)

幼兒在尚不會(huì)準(zhǔn)確計(jì)數(shù)時(shí)，通常會(huì)運(yùn)用一一對(duì)應(yīng)的方式來(lái)比較兩組物體的數(shù)量。他們會(huì)將兩組物體加以重疊擺放，或者進(jìn)行直線式排列，這種情況下幼兒通常會(huì)很快比較、判斷出兩組物體的多少。隨著比較經(jīng)驗(yàn)的不斷豐富，幼兒會(huì)在此基礎(chǔ)上判斷出“多多少”“少多少”。

●數(shù)數(shù)

幼兒學(xué)會(huì)數(shù)數(shù)后，就會(huì)通過(guò)點(diǎn)數(shù)去比較兩組物體的數(shù)量，判斷出兩組物體哪個(gè)多、哪個(gè)少。當(dāng)數(shù)量比較的經(jīng)驗(yàn)足夠豐富時(shí)，他們就會(huì)進(jìn)一步得出“多多少”“少多少”，逐步涉及有關(guān)數(shù)運(yùn)算的經(jīng)驗(yàn)。因此，數(shù)數(shù)、數(shù)量比較是幼兒后續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)運(yùn)算的基礎(chǔ)。

應(yīng)當(dāng)注意的是，已有研究證明，學(xué)前兒童還不能自發(fā)地運(yùn)用數(shù)數(shù)去解決數(shù)量比較的問(wèn)題（要到5歲半后才能得到較好的發(fā)展），他們常會(huì)使用目測(cè)或者一一對(duì)應(yīng)的比較方法?？梢?jiàn)，集合呈現(xiàn)的方式會(huì)影響幼兒對(duì)兩個(gè)集合的數(shù)量比較。《3～6歲兒童學(xué)習(xí)與發(fā)展指南》明確指出，3～4歲幼兒能夠通過(guò)一一對(duì)應(yīng)的方法比較兩組物體的多少，4～5歲幼兒能通過(guò)數(shù)數(shù)比較兩組物體的多少。幼兒在掌握數(shù)數(shù)的基本技能之后，數(shù)量比較的結(jié)果就會(huì)逐漸精確起來(lái)，從而為他們學(xué)習(xí)數(shù)運(yùn)算、理解數(shù)量的變化打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

核心經(jīng)驗(yàn)要點(diǎn)三：生活中充滿著數(shù)字符號(hào)，數(shù)字除了可用于表征數(shù)量之外，還有種種不同的含義

日常生活中充滿了數(shù)字，學(xué)前兒童在理解和使用數(shù)字之前就已經(jīng)開(kāi)始接觸數(shù)字。例如門牌、電話、鬧鐘、車牌、運(yùn)動(dòng)衣上都有數(shù)字，不同的情境下，數(shù)字符號(hào)代表的意義各不相同。因此，讓幼兒認(rèn)識(shí)數(shù)字，不是純粹的讓他們認(rèn)讀數(shù)字，而是要引導(dǎo)他們理解數(shù)字所表達(dá)的實(shí)際意義，理解數(shù)字是在抽取實(shí)物相關(guān)特征的基礎(chǔ)上，對(duì)其本質(zhì)特征的一種概括和提煉。幼兒在生活中接觸到的數(shù)字較多是用以表征數(shù)量的，此外還有表征次序或位置，以及表征名稱或時(shí)間的。幼兒平常接觸到的數(shù)字所表征的含義大致有以下四種類型。

●基數(shù)

基數(shù)是指用來(lái)表示集合中元素個(gè)數(shù)的數(shù)。與命名數(shù)、參照數(shù)不同，基數(shù)和序數(shù)是幼兒建立數(shù)感的重要基礎(chǔ)?；鶖?shù)能夠回答“多少”的問(wèn)題。比如，“今天班里來(lái)了幾個(gè)小朋友”，如果答案是20，20就是一個(gè)基數(shù)，它表示班里出勤的小朋友這一集合的數(shù)量。理解基數(shù)的含義是進(jìn)行數(shù)數(shù)以及數(shù)運(yùn)算的首要基礎(chǔ)。

●序數(shù)

序數(shù)是用以表示集合中元素排列次序的數(shù)。序數(shù)并不表示數(shù)量，而是具體指明排列次序。序數(shù)還能用來(lái)比較數(shù)量屬性，比如，如果一個(gè)玩具娃娃在五個(gè)娃娃中第二高，那就是還有一個(gè)娃娃比這個(gè)娃娃高，是第一高的，這個(gè)娃娃比其他三個(gè)娃娃高，排在其他三個(gè)娃娃前面。

基數(shù)和序數(shù)的含義既有區(qū)分又有聯(lián)系，如幼兒在數(shù)一盤糖果時(shí)，點(diǎn)一塊，數(shù)一塊，點(diǎn)到最后一塊時(shí)，數(shù)出的數(shù)字“6”就表示了這盤糖果的數(shù)量，這是基數(shù)的含義；若幼兒手點(diǎn)第6塊糖果，說(shuō)出數(shù)字“6”，代表的就是序數(shù)的含義。剛開(kāi)始學(xué)習(xí)基數(shù)和序數(shù)時(shí)，很多幼兒容易將兩者混淆，這是幼兒發(fā)展過(guò)程中的正常現(xiàn)象。理解這一點(diǎn)，有助于教師根據(jù)幼兒的特定回答，洞察他們的思維過(guò)程，從而幫助他們形成穩(wěn)定的基數(shù)概念。

●命名數(shù)

命名數(shù)是指用來(lái)給一個(gè)集合中的元素命名的數(shù)，如電話號(hào)碼、電視頻道、社會(huì)保險(xiǎn)號(hào)、郵編、運(yùn)動(dòng)衣上的數(shù)字、房間號(hào)等，它們只是一個(gè)名稱或分類編號(hào)，主要用以標(biāo)記和識(shí)別。它們并沒(méi)有實(shí)際的數(shù)學(xué)意義，不表示數(shù)量、身份或其他的測(cè)量結(jié)果。

●參照數(shù)

參照數(shù)是指用以共享的衡量標(biāo)準(zhǔn)。例如，當(dāng)鐘表上的時(shí)針指向10時(shí)，孩子們就知道戶外活動(dòng)時(shí)間到了。我們把這個(gè)數(shù)稱為“參照數(shù)”，因?yàn)樗强梢怨蚕淼暮饬繕?biāo)準(zhǔn)。這些數(shù)字是用作參照的，就像命名數(shù)一樣也沒(méi)有實(shí)際的數(shù)學(xué)意義，例如我們經(jīng)常會(huì)說(shuō)“明天下午4點(diǎn)見(jiàn)”或者“明天暖和，大概有25攝氏度”。盡管參照數(shù)也可以排列或者比較，如20攝氏度要比10攝氏度暖和，或者下午3點(diǎn)要比下午4點(diǎn)早一個(gè)小時(shí)，但我們一般不對(duì)這些數(shù)字進(jìn)行數(shù)學(xué)思考。