合理選材無痕對接
——《平方數(shù)的相差關系》教學實踐與思考

張翼文（特級教師）

【適合年級】

六年級

【教學目標】

學生能通過合適的學習材料進行自主地分析、比較、概括等活動，讓學生發(fā)現(xiàn)平方數(shù)的相差關系存在的一般性規(guī)律；通過看看、畫畫、想想、說說等活動，自主有效地建構平方差公式，并且運用規(guī)律解決相關數(shù)學問題。

【教學重點、難點】

掌握并運用平方差公式解決相關的數(shù)學問題；自主探索，發(fā)現(xiàn)平方數(shù)的相差關系存在的一般性規(guī)律。

【教學過程】

一、復習引入，激發(fā)參與

1.舊知回顧，引入學習。

師：32、42、52、62、72、352、652你認識這些數(shù)嗎？

師：你能說說，它們分別表示什么意思？怎么讀呢？

生：32表示 3×3，讀作 3 的平方。

……

師：我們把這些數(shù)叫做“平方數(shù)”。在兩個平方數(shù)之間添加一個減號，如“42-32”，這兩個平方數(shù)就建立了相差關系。

師：請大家回憶一下，以前學習哪個知識時，是兩個完全相同的數(shù)相乘的？

生：邊長×邊長=正方形面積。

2.揭示課題，明確方向。

師：今天我們就一起來研究“平方數(shù)的相差關系”。

【設計意圖：簡單的回顧環(huán)節(jié)，其目的之一是讓學生的學習有一個預熱的過程；其次是課的開始起點低些，利于學生高效參與；同時，也能促進學生學習進入溫故而知新的狀態(tài)?！?/p>

二、新知探索，自主建構

1.初步感知平方數(shù)的相差關系。

師：下圖中小正方形的面積為1個面積單位的話，你能從格子圖中找到42與32分別在哪里嗎？

師：你們能找到42與32的相差部分嗎？并把它涂上陰影。

師：如果再給幾組有相差關系的平方數(shù)，讓你研究他們之間相差關系存在什么規(guī)律，你們可以完成嗎？

【設計意圖：學習的過程是一個由淺入深、循序漸進的過程，此環(huán)節(jié)借助格子圖來直觀感知平方數(shù)及其相差部分，目的在于讓抽象的數(shù)能與直觀的圖初步建立聯(lián)系，為后面深入進行有效探索做好鋪墊。】

2.深入探究平方數(shù)的相差關系。

（1）問題驅動，自主探索平方數(shù)的相差關系。

（在黑板上依次寫出幾組具有相差關系的平方數(shù)52-32、72-42、652-352，并出示活動要求）

活動要求：

①選擇1～2個算式，在對應的格子圖中表示出兩個平方數(shù)相差的關系，并用陰影涂出這兩個平方數(shù)相差的部分。

②根據(jù)“等積變形”規(guī)律，通過割、移、補等方法把兩個平方數(shù)相差部分轉化為規(guī)則圖形（用示意圖表示出來），并用一個算式表示出它的大小。

③完成后，請你把完成的過程跟同桌說一說。

（2）匯報交流，依次呈現(xiàn)探索的成果。

生:42-32=7×1。

生:52-32=8×2。

生：72-42=11×3。

師：大家選擇了以上幾組相差關系的平方數(shù)，并順利地完成其要求，為什么沒有同學選擇“652-352”呢？

生：因為前面都有相應的格子圖，這個沒有，所以很難完成就沒有選擇它。

師：如果給你一個沒有格子圖的方形圖，你能表示出“652-352”之間的關系嗎？

（安靜了會，大部分學生舉手示意可以辦到）

（請學生直接到媒體上演示并講解）

生：652-352=100×30。

【設計意圖：這是本節(jié)課的重要環(huán)節(jié)，學生根據(jù)活動要求，進行自主選擇探索，在活動中能主動借助于格子圖（形）來直觀說明平方數(shù)相差部分，并能用式（數(shù)）來表示相差部分的大小，讓數(shù)與形有機結合。同時，在匯報交流中，要求學生用完整的語言表達自己選擇與探索的過程及結果，促進學生進行深度學習，以此提升思維品質。】

3.自主感悟平方數(shù)的相差關系的規(guī)律。

（1）呈現(xiàn)成果，幫助提供豐富的感觀信息。

師：為了讓大家看得明白些，老師也做了準備，黑板上是剛才同學們的作品。

【設計意圖：學生的學習從感性到理性、從具體到抽象、從特殊到一般，是需要多維信息提供支撐的。本環(huán)節(jié)中把學生研究的成果予以統(tǒng)一呈現(xiàn)，讓學生能再次直觀感知相對豐富的信息，接著為后面抽象、概括出平方數(shù)的相差關系的內在規(guī)律性提供更充足、可靠、有形的感性材料?！?/p>

（2）引導觀察，自主發(fā)現(xiàn)平方數(shù)相差關系的一般性規(guī)律。

師：仔細觀察以上等式左右的數(shù)據(jù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？跟同桌同學說一說。

生：我發(fā)現(xiàn)“42-32=7×1”中等式右邊的7就是等式左邊4與3的和，等式右邊的1就是等式左邊4與3的差。

生：我發(fā)現(xiàn)“52-32=8×2”中等式右邊的8就是等式左邊5與3的和，等式右邊的2就是等式左邊5與3的差。

……

【設計意圖：學生數(shù)學素養(yǎng)提升不是一蹴而就的，它需要教師在平時的課堂活動環(huán)節(jié)中有心地慢慢滲透。此環(huán)節(jié)讓學生在幾組不同的學習活動的成果材料中去求相同之處（即異中求同），這是數(shù)學學習中促進學生思維品質與數(shù)學素養(yǎng)提升的重要數(shù)學活動之一?！?/p>

（3）對應求聯(lián)，讓數(shù)形有機結合。

師：大家發(fā)現(xiàn)了等式左右兩邊式子中數(shù)之間的內在聯(lián)系及其規(guī)律性，那你能分別結合圖來說一說，如42-32=7×1=（4+3）（4-3）中的“（4+3）（4-3）”分別在圖中的哪里？

（52-32、72-42、652-352學生表述略）

【設計意圖：教學行進過程中如何夯實與細化目標是促進數(shù)學課堂高效的關鍵。至此平方數(shù)相差關系的一般性規(guī)律已經發(fā)現(xiàn)，那么如何讓學生把發(fā)現(xiàn)的抽象規(guī)律（數(shù)）與具體格子方形圖（形）再次進行無痕對接呢？就需要有一個這樣“回流”過程，讓課堂教學趨向更扎實、有效?！?/p>

（4）順勢概括，抽象出平方數(shù)相差關系的一般性規(guī)律。

師：大正方形的邊長可以用字母a表示，小正方形可以用字母b。因此，我們可以把發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用一般形式表示出來。

生：42-32=7×1=（4+3）（4-3）。

生：52-32=8×2=（5+3）（5-3）。

生：72-42=11 ×3=（7+4）（7-4）。

生 ：652-352=100×30=（65+35）（65-35）。

……

生：a2-b2=(a+b)(a-b)。

【設計意圖：抽象過程也正是學生活動經驗積累水到渠成的過程，這個環(huán)節(jié)讓學生抽象出平方數(shù)的相差關系的內在規(guī)律性（即平方差公式），主要是讓學生的思維從特殊到一般的過程，學生經歷了一次完整的數(shù)學歸納過程，以此促進學生思維走向深刻?！?/p>

三、運用規(guī)律，解決問題

1.20162-20142。

2.廣場內有一塊邊長為2a米的正方形草坪，統(tǒng)一規(guī)劃后，南北方向要縮短3米，東西方向要加長3米，改造后的長方形草坪的面積是多少？

3.12-22+32-42+…+92-102+112。

【設計意圖：練習設計應該體現(xiàn)一定的層次性和靈活性。目的之一是夯實學生的基礎，基礎知識和基本技能是學生發(fā)展的根本，教學中不能輕易淡化；另一方面讓學生的思維走向靈活，著眼學生的可持續(xù)發(fā)展?！?/p>

【教學后思考】

選擇合適的有形學習素材是數(shù)學學習中循序漸近地點化學生潛在思維水平的一個關鍵。換言之，兒童的無形數(shù)學思維（意識形態(tài)）是需要有形學習材料（視覺感觀）作為載體的，在有形刺激與無形頓悟中去完成數(shù)學的外在與內隱活動。

1.提供可“觀察”信息。

學生要進行內隱性的數(shù)學思維活動，需要一些有形的數(shù)學信息作為支持。以上教學中，先依次在黑板上寫出幾組具有相差關系的平方數(shù)52-32、72-42、652-352，并出示活動要求，進行自主選擇探索，在活動中能主動借助于格子圖（形）來直觀說明平方數(shù)相差部分，并能用式（數(shù)）來表示相差部分的大小，讓數(shù)與形有機結合。學生展示與交流作品的過程就是人人獲取思維有形信息材料的過程。同時，在匯報交流中，不但展示自己的作品，而且要求學生用完整的語言表達自己選擇與探索的過程及結果，促進學生進行深度學習，以此提升思維品質。接著，教師又把學生的作品進行一次完成梳理展現(xiàn)在黑板上，讓學生進一步完整地獲取內隱性數(shù)學活動所需要觀察的必要支撐信息。

2.創(chuàng)設可“比較”材料。

學生思維水平節(jié)節(jié)攀升是需要有效信息作為比較載體的。以上教學活動中，其中教師一一呈現(xiàn)自主探索活動成果，幫助提供豐富的感觀信息，讓學生能再次獲取直觀感知相對充足的可視信息，接著為后面抽象、概括出平方數(shù)的相差關系的內在規(guī)律性提供更充足、可靠、有形的感性材料，也就是為內隱性的數(shù)學活動走向深刻提供可以比較的材料。

3.完善可“概括”條件。

有效概括需要建立在充分的數(shù)學活動基礎上。如以上教學活動中，為促進學生能進行有效地概括，環(huán)節(jié)中自主感悟平方數(shù)的相差關系的規(guī)律分為“四步曲”。即呈現(xiàn)成果，幫助提供豐富的感觀信息；引導觀察，自主發(fā)現(xiàn)平方數(shù)相差關系的一般性規(guī)律；對應求聯(lián)，讓數(shù)形有機結合；順勢概括，抽象出平方數(shù)相差關系的一般性規(guī)律。學生數(shù)學思維提升不是一蹴而就的，它需要教師在平時的課堂活動環(huán)節(jié)中有心地慢慢滲透。此環(huán)節(jié)讓學生在幾組不同的學習活動成果材料中去求相同之處（即異中求同），這是數(shù)學學習中促進學生思維品質與數(shù)學素養(yǎng)提升的重要數(shù)學活動之一。

4.把握可“抽象”時機。

抽象是數(shù)學學習活動的最高階段，它的過程正是學生活動經驗積累水到渠成的過程。以上教學活動中在“順勢抽象”一般性規(guī)律之前，讓學生深入經歷——抽象前的“信息感知、自主觀察、對應求聯(lián)”“三部曲”，可以說經歷數(shù)學抽象“前奏三部曲”后就是抽象時機了。因此，最后順勢讓學生抽象出平方數(shù)相差關系的內在一般規(guī)律性（即平方差公式），學生的思維從特殊到一般，經歷了一次完整的數(shù)學歸納過程，促進學生思維走向深刻。