演化博弈理論的發(fā)展、應(yīng)用及未來(lái)研究方向

左俊梅 謝銳彬

[摘 要]演化博弈理論的應(yīng)用從細(xì)胞動(dòng)力學(xué)到社會(huì)進(jìn)化尤其在生物學(xué)中得到了深遠(yuǎn)的發(fā)展。多人博弈理論可以引入到先行已經(jīng)建立起博弈理論的任何領(lǐng)域。文章回顧了多人演化博弈理論及其應(yīng)用發(fā)展的歷史過(guò)程，介紹該理論的發(fā)展現(xiàn)狀，旨在給出無(wú)限種群中類似于有限群體中的理論性的結(jié)論，并且討論多人博弈理論在生態(tài)、社會(huì)科學(xué)、人口遺傳領(lǐng)域中的成功應(yīng)用。在文章末尾，文章探索了多人博弈理論復(fù)雜性應(yīng)用值得深入研究的一個(gè)特定方向。

[關(guān)鍵詞]非線性性；同質(zhì)總體；隨機(jī)效應(yīng)

[DOI]10.13939/j.cnki.zgsc.2017.12.149

1 引 言

博弈理論的根源可以追溯到Babylonian Talmud，但是運(yùn)用博弈理論進(jìn)行的第一個(gè)數(shù)學(xué)證明是由Zermelo進(jìn)行的圍棋博弈，傳統(tǒng)觀點(diǎn)把演化博弈理論的起源歸因于Morgernstern和Von Neumann，他們出版了第一部有啟發(fā)性的關(guān)于博弈理論的文章。但是大多數(shù)博弈論僅限于雙人博弈，正如納什所說(shuō)，它事實(shí)上應(yīng)該包括多人博弈的部分。演化概念已經(jīng)在20世紀(jì)80年代推廣到多人博弈的理論中。

2 從成對(duì)競(jìng)爭(zhēng)到社會(huì)間相互作用

在過(guò)去的十年間，人們見(jiàn)證了博弈理論中有限種群動(dòng)力學(xué)結(jié)論的蓬勃發(fā)展，這極大地拓寬了博弈論的研究范圍，得出了很多優(yōu)美而簡(jiǎn)潔的結(jié)論。類似地，在博弈理論中考慮非線性性也能拓展出一個(gè)新的研究方向。因此，我們列出了在演化博弈理論中處理由多人博弈所產(chǎn)生的非線性作用時(shí)得出的結(jié)論，這些結(jié)論將有可能去證明傳統(tǒng)的雙人博弈無(wú)法解決的新的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。

2.1 復(fù)制動(dòng)態(tài)

復(fù)制者方程讓不同的策略在種群中出現(xiàn)的頻數(shù)去決定該策略的適應(yīng)性，而不是將每種策略都設(shè)置為一個(gè)固定的常數(shù)。在無(wú)限種群中，采取自下而上的方法來(lái)建立復(fù)制者方程，考慮兩種策略A和B。兩種策略出現(xiàn)的頻率分別用x和1-x表示，兩種策略的相互作用用一個(gè)矩陣來(lái)表示。

這個(gè)支付矩陣表明，當(dāng)一個(gè)A策略個(gè)體與另一個(gè)A策略個(gè)體相互博弈時(shí)，它得到的支付是a1，當(dāng)它與B策略個(gè)體博弈時(shí)得到a0，從這個(gè)支付矩陣我們能計(jì)算出兩種策略的平均支付，πA=a1x+a0（1-x）， πB=b1x+b0（1-x）。

我們可以把平均支付直接看作兩種策略的適應(yīng)性，分別記作fA=πA， fB=πB，根據(jù)傳統(tǒng)篩選思想，如果某種策略的適應(yīng)性比種群的平均適應(yīng)性大，則該策略勝出并且取代另一種策略。

雙人博弈的可能結(jié)果與三人兩種策略博弈的結(jié)果

因?yàn)殡p人博弈中fA-fB的斜率是線性的，可能的結(jié)果中至多有一個(gè)內(nèi)部均衡點(diǎn)，這個(gè)均衡點(diǎn)可能穩(wěn)定也可能不穩(wěn)定。增加博弈人數(shù)增加了動(dòng)態(tài)方程的復(fù)雜性，此時(shí)選擇斜率為非線性。以三人博弈為例，動(dòng)態(tài)方程為二項(xiàng)式，因此能包含至多兩個(gè)內(nèi)部均衡點(diǎn)，這些均衡點(diǎn)可能穩(wěn)定也可能不穩(wěn)定。

這些概念可以用關(guān)于x的微分方程來(lái)表示，即

因此，演化博弈通過(guò)策略的適應(yīng)性被引入到動(dòng)力學(xué)中，這個(gè)方程有三個(gè)可能解，A策略消失即x=0，或者B策略消失即x=1，最后如果兩種策略有相同的適應(yīng)性，即fA=fB，則x*=[SX（]b0-a0[]a1-a0-b1+b0[SX）]。

對(duì)于一般的多人博弈，情況比較復(fù)雜，因此我們從最簡(jiǎn)單的三人博弈開(kāi)始，依然只有上面介紹過(guò)的A、B兩種策略。兩種策略出現(xiàn)的頻率分別用x和1-x表示，兩種策略的相互作用用一個(gè)矩陣來(lái)表示。

焦點(diǎn)個(gè)體用行表示，因?yàn)槭侨瞬┺?，所以另外兩個(gè)個(gè)體用列表示，它們可能為AA、AB、BA、BB，我們假設(shè)與AB博弈和與BA博弈結(jié)果是相同的。兩種策略的平均支付是關(guān)于頻數(shù)的二元函數(shù)。

跟前面的方法一樣，我們可以得到如下復(fù)制方程：

這個(gè)方程除了在邊界存在這兩個(gè)根之外，還可能存在其他根，我們可以把這種分析推廣到任意數(shù)量d個(gè)博弈者中，那么在這種情況下，除了x=0， x=1這兩個(gè)根之外，還可能存在d-1個(gè)根。對(duì)于兩個(gè)策略的博弈，跟蹤一個(gè)策略的頻數(shù)就能得到動(dòng)態(tài)過(guò)程的全部信息。對(duì)于n策略的博弈，我們需要知道n-1個(gè)變量的時(shí)間演化過(guò)程。因此，對(duì)于一個(gè)有d個(gè)博弈者n種策略的博弈，動(dòng)態(tài)過(guò)程在n-1維空間上進(jìn)行。因?yàn)樵诿總€(gè)維度上內(nèi)部均衡點(diǎn)可能有d-1個(gè)，所以總共至多會(huì)有（d-1）n-1個(gè)不同的內(nèi)部均衡點(diǎn)。

2.2 從無(wú)限種群到有限種群

復(fù)制者動(dòng)態(tài)描述了在無(wú)限大種群中策略頻數(shù)的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程，顯然，這是一種近似。眾所周知，對(duì)有限種群的研究有能力去挑戰(zhàn)在無(wú)限種群中得到的結(jié)論。早期，運(yùn)用哲學(xué)原理，Thomas 和Pohley證明了傳統(tǒng)ESS理論在研究有限種群時(shí)的不足。在研究小的有限種群時(shí)，傳統(tǒng)的ESS概念既不是刻畫演化穩(wěn)定的充分條件也不是必要條件。自此，演化博弈中的有限種群分析得到了迅速的發(fā)展。

3 多人合作博弈的應(yīng)用

基于其一般性，復(fù)制者方程容納了廣闊的生物學(xué)背景，從生態(tài)到種族遺傳，從生命起源到社會(huì)演化，因此變成了行為生態(tài)學(xué)家、種族遺產(chǎn)學(xué)家、社會(huì)學(xué)家、哲學(xué)家廣為使用的工具。從生態(tài)學(xué)到社會(huì)學(xué)逐漸發(fā)展成門類繁多的學(xué)科。

4 討 論

演化博弈理論的發(fā)展可能是因?yàn)椴┺睦碚摷捌鋺?yīng)用之間的良性循環(huán)，我們僅僅接觸了演化博弈理論的三個(gè)應(yīng)用，但是博弈理論作為研究工具的必要性很有可能會(huì)開(kāi)辟新的研究方向。例如，在生態(tài)學(xué)中，種群數(shù)量的演化依然是一個(gè)開(kāi)放性課題，這個(gè)課題可以用演化博弈理論近似處理。另一個(gè)有意思的研究方向是關(guān)于變異，通常人們所說(shuō)的變異是發(fā)生在現(xiàn)存的物種中，完全新奇的變異很難發(fā)現(xiàn)。在特定的條件下，這樣的變異也能在種群里長(zhǎng)期存在，研究多個(gè)突變體在動(dòng)態(tài)演化過(guò)程中如何達(dá)到平衡將會(huì)是一個(gè)非常有意義的研究方向。

參考文獻(xiàn)：

Fisher RA.The Genetical Theory of Natural Selection[M].Oxford：Clarendon Press，1930.

[基金項(xiàng)目]周口師范學(xué)院校本項(xiàng)目（項(xiàng)目編號(hào)：zknuB1201601）；河南省高等學(xué)校重點(diǎn)科研項(xiàng)目（項(xiàng)目編號(hào)：17A110039）。

[作者簡(jiǎn)介]左俊梅（1986—），女，漢族，河南周口人，研究生學(xué)歷，周口師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院講師。研究方向：數(shù)學(xué)教育、博弈論。