小問題

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2017-1自由剛體的一般運動在哪些條件下可以當(dāng)作剛體平面運動？提示：綜合考慮運動學(xué)條件、受力條件、質(zhì)量與慣量的條件等.

(2017年1月清華大學(xué)錢學(xué)森力學(xué)班“動力學(xué)與控制”課期末考試的簡答題，李俊峰、馬曙光供稿)

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*《小問題》2016-2解答*

問題：豎直平面內(nèi)一個質(zhì)量為M、半徑為R的勻質(zhì)圓盤可繞過其圓心且垂直于圓盤的水平軸自由轉(zhuǎn)動.一個質(zhì)量為m的小蟲在圓盤邊緣的最底端.初始時系統(tǒng)靜止.現(xiàn)小蟲突然啟動，沿著圓盤邊緣以相對速度u(t)爬行.(1)求系統(tǒng)運動的微分方程.(2)分析小蟲與圓盤的相互作用力.(3)假設(shè)小蟲的相對加速度a=˙u(t)是常數(shù)，求小蟲能夠爬到的最大高度，并討論小蟲能夠爬到圓盤頂端的條件.

解答：如圖1，小蟲起動前后，系統(tǒng)對圓盤中心O點的角動量守恒.假設(shè)小蟲起動后瞬間相對圓盤參考系的速度為u0=u(0),方向向左為正；而圓盤相對于固定參考系的角速度為ω0,以逆時針為正.則有

圖1

若求小蟲爬到圓盤頂端所需最小相對加速度a?,則可令θ=π,=0,而得到

注意到a?可正可負.當(dāng)a?≤0,即當(dāng)

時，小蟲相對圓盤勻速爬行就能爬到圓盤頂端.對小蟲做透力分析，圓盤對小蟲作用力由下式

給出，其中Fn指向圓心O,Fθ沿著圓盤切向并指向θ增大方向.