重力梯度測(cè)量衛(wèi)星無拖曳控制技術(shù)*

鄒 奎，茍興宇，薛大同

(1.北京控制工程研究所，北京100190； 2.空間智能控制技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100190；3.蘭州空間技術(shù)物理研究所，蘭州 730000)

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重力梯度測(cè)量衛(wèi)星無拖曳控制技術(shù)*

鄒 奎1,2，茍興宇1,2，薛大同3

(1.北京控制工程研究所，北京100190； 2.空間智能控制技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100190；3.蘭州空間技術(shù)物理研究所，蘭州 730000)

無拖曳控制是當(dāng)前和未來若干空間任務(wù)中的一項(xiàng)關(guān)鍵技術(shù)．以重力梯度測(cè)量衛(wèi)星為對(duì)象，對(duì)無拖曳控制回路進(jìn)行深入剖析，包括對(duì)靜電引力梯度儀、離子推力器和空間環(huán)境的模型與建模方法及無拖曳控制律設(shè)計(jì)方法的綜述．借鑒GOCE衛(wèi)星(gravity field and steady-state ocean circulation explorer)的成功經(jīng)驗(yàn)并結(jié)合國內(nèi)離子推力器和靜電懸浮加速度計(jì)的研制現(xiàn)狀，對(duì)未來發(fā)展我國重力梯度測(cè)量衛(wèi)星無拖曳控制進(jìn)行難點(diǎn)分析與展望．

GOCE衛(wèi)星；靜電引力梯度儀；離子推力器；無拖曳控制

0 引 言

無拖曳控制是若干空間任務(wù)中的一項(xiàng)關(guān)鍵技術(shù)，早在20世紀(jì)60年代Lange[1-2]在其博士論文及相關(guān)文獻(xiàn)中首次提出無拖曳衛(wèi)星．無拖曳衛(wèi)星由衛(wèi)星本體及包含在其空腔中的檢驗(yàn)質(zhì)量構(gòu)成，封閉的空腔致使檢驗(yàn)質(zhì)量不受諸如大氣阻力、太陽光壓力等外界環(huán)境的干擾，若忽略能夠作用在檢驗(yàn)質(zhì)量上來自于衛(wèi)星本體的攝動(dòng)如自引力、雜散電磁耦合力和能夠穿透這層屏蔽的攝動(dòng)如由宇宙射線引起的庫倫力、洛倫茲力等，可以認(rèn)為檢驗(yàn)質(zhì)量的軌道是相對(duì)較純的引力軌道．無拖曳控制維持檢驗(yàn)質(zhì)量始終位于空腔中心，讓檢驗(yàn)質(zhì)量處于自由運(yùn)動(dòng)且不與腔體內(nèi)壁發(fā)生碰撞，那么整顆衛(wèi)星也沿著純引力軌道飛行．

早期采用無拖曳控制技術(shù)的衛(wèi)星如美國Triad系列衛(wèi)星[3-4]，其目的是測(cè)試衛(wèi)星星歷表，縮短軌道預(yù)報(bào)周期，提高導(dǎo)航精度．空間技術(shù)如高低衛(wèi)-衛(wèi)跟蹤技術(shù)、低低衛(wèi)-衛(wèi)跟蹤技術(shù)、電推進(jìn)技術(shù)和星載引力梯度儀測(cè)量技術(shù)等的日趨成熟，一定程度上激發(fā)了無拖曳控制技術(shù)的應(yīng)用潛力．2004年美國發(fā)射的GP-B衛(wèi)星(gravity probe B)[5]用于檢驗(yàn)廣義相對(duì)論的短程線效應(yīng)和慣性系拖曳效應(yīng)；2009年歐空局發(fā)射的GOCE衛(wèi)星[6-9]用于提供具有高空間分辨率和準(zhǔn)確度的靜態(tài)地球重力場(chǎng)模型；2015年美歐共同發(fā)射的LISA(laser interferometer space antenna pathfinder)[10]的科學(xué)目標(biāo)包括對(duì)低頻引力波探測(cè)器關(guān)鍵技術(shù)進(jìn)行飛行測(cè)試，后續(xù)eLISA(evolved-LISA)[11]任務(wù)將致力于深空低頻段引力波探測(cè)；歐洲NGGM(next generation gravimetry mission)[12]將對(duì)全球中低頻段重力場(chǎng)進(jìn)行長(zhǎng)期的連續(xù)檢測(cè)；美歐STEP(satellite test of the equivalence principle)衛(wèi)星[13]目的是研制一顆低軌地球衛(wèi)星，用于檢驗(yàn)廣義相對(duì)論的理論基礎(chǔ)，即等效原理是否在更高精度嚴(yán)格成立；由中國倪維斗教授主持的ASTROD (astrodynamical space test of relativity using optical devices)[14-15]系列計(jì)劃有望把廣義相對(duì)論后牛頓參數(shù)β,γ和萬有引力常數(shù)的時(shí)間變化率等基本物理參數(shù)的測(cè)試靈敏度提高1～3個(gè)數(shù)量級(jí)．這些科學(xué)實(shí)驗(yàn)的高精度性能指標(biāo)無疑對(duì)無拖曳控制技術(shù)提出更加苛刻的要求，對(duì)無拖曳控制器的魯棒性和系統(tǒng)噪聲抑制能力提出挑戰(zhàn)．

以上眾多計(jì)劃中，對(duì)地球重力場(chǎng)的研究一直受到了國內(nèi)外眾多科學(xué)家的關(guān)注．本文以重力梯度測(cè)量衛(wèi)星為對(duì)象，對(duì)無拖曳控制技術(shù)進(jìn)行深入剖析．

1 GOCE衛(wèi)星及其控制概述

GOCE衛(wèi)星是繼CHAMP衛(wèi)星(challenging mini-satellite payload)[16]與GRACE衛(wèi)星(gravity recovery and climate experiment)[17]之后首次采用無拖曳控制技術(shù)探測(cè)地球引力場(chǎng)中短波信息的重力衛(wèi)星，其分辨率不低于100 km，地面數(shù)據(jù)處理之后得到的引力異常精度優(yōu)于1mGal，大地水準(zhǔn)面精度優(yōu)于1 cm[7-8]．GOCE衛(wèi)星的測(cè)量帶寬為0.005～0.1 Hz．為了獲得足夠強(qiáng)的重力梯度信號(hào)，要求GOCE衛(wèi)星軌道高度非常低，故大氣阻力對(duì)衛(wèi)星軌道高度的影響最大，此外還有太陽光壓第三體攝動(dòng)等也會(huì)對(duì)衛(wèi)星的軌道高度產(chǎn)生影響．考慮最惡劣的條件下，250 km 高度上沿飛行方向的大氣拖曳力峰值約20.5 mN，由地球自轉(zhuǎn)引起沿軌道法向的大氣拖曳力約為飛行方向的6%，而徑向的大氣拖曳力非常小[18-19]．靜電引力梯度儀中的每臺(tái)靜電懸浮加速度計(jì)分辨率可達(dá)2×10-12(m/s2)/(Hz1/2)，此時(shí)加速度計(jì)量程限制在±6.5×10-6m/s2，此量程遠(yuǎn)不足以覆蓋大氣阻力加速度的變化范圍．由此可見，GOCE衛(wèi)星必須通過無拖曳控制來抵消非保守力，確保加速度計(jì)不發(fā)生測(cè)量飽和現(xiàn)象．無拖曳控制使衛(wèi)星所受非引力加速度的殘余量越小，表明無拖曳控制精度越高，在單位時(shí)間內(nèi)衛(wèi)星軌道高度的變化也越小，從而軌道維持的頻度和資源消耗也越?。?/p>

GOCE衛(wèi)星有多種操作模式[6]，本文僅關(guān)注無拖曳精確模式，該模式下梯度儀的量程小、測(cè)量精度非常高，反饋梯度儀的數(shù)據(jù)可進(jìn)行軌道與姿態(tài)無拖曳控制，反饋星敏感器的數(shù)據(jù)和GPS測(cè)量的位置、速度數(shù)據(jù)可進(jìn)行姿態(tài)控制[6，20，24]．無拖曳精確模式下的無拖曳與姿態(tài)控制指標(biāo)最為嚴(yán)格，要求殘余非引力加速度的單邊功率譜密度平方根指標(biāo)在低頻帶、測(cè)量頻帶和高頻帶范圍分別為35、0.025和0.2 μm/s2/Hz1/2，殘余角加速度的對(duì)應(yīng)指標(biāo)分別為70、0.025和0.025 μrad/s2/Hz1/2．

隨著對(duì)GOCE衛(wèi)星無拖曳及姿態(tài)控制技術(shù)的深入理解，重力梯度測(cè)量衛(wèi)星無拖曳及姿態(tài)控制技術(shù)相對(duì)于其它航天器軌道、姿態(tài)控制技術(shù)的難點(diǎn)與挑戰(zhàn)性在于要時(shí)刻在指定頻段高精度地抵消非保守力對(duì)衛(wèi)星在保守力場(chǎng)中自然軌道運(yùn)動(dòng)的影響及(非)保守力矩對(duì)衛(wèi)星姿態(tài)的影響，相關(guān)關(guān)鍵技術(shù)可概括為以下4個(gè)方面：

(1)靜電引力梯度儀建模：建立梯度儀的適合無拖曳控制器設(shè)計(jì)的模型及高精度的數(shù)學(xué)仿真模型，明確梯度儀的噪聲特性并力求真實(shí)地反映其噪聲特性．

(2)離子推力器建模：建立推力可高精度連續(xù)調(diào)節(jié)推力器的適合無拖曳控制器設(shè)計(jì)的模型及高精度的數(shù)學(xué)仿真模型，明確推力器的噪聲特性并力求真實(shí)地反映其噪聲特性．

(3)非保守力相關(guān)的空間環(huán)境建模：建立作用于衛(wèi)星的非保守外力及力矩的空間環(huán)境模型并對(duì)其變化范圍及頻譜特性等有深入的理解．

(4)無拖曳控制律設(shè)計(jì)：要保證在非保守力可能的幅、頻變化范圍內(nèi)及敏感器與執(zhí)行器噪聲變化范圍內(nèi)使閉環(huán)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)技術(shù)指標(biāo)要求．

2 無拖曳控制技術(shù)

無拖曳衛(wèi)星有兩種工作模式：位移模式和加速度計(jì)模式．文獻(xiàn)[21]對(duì)這兩種工作模式的區(qū)別和優(yōu)缺點(diǎn)進(jìn)行了比較研究.加速度計(jì)模式一方面可確保檢驗(yàn)質(zhì)量始終位于電極腔中心，具有最小的碰壁風(fēng)險(xiǎn)，另一方面具有模式靈活的特點(diǎn)[22]．文獻(xiàn)[23]對(duì)無拖曳衛(wèi)星的基本工作原理與無拖曳點(diǎn)進(jìn)行了介紹，若檢驗(yàn)質(zhì)量位于無拖曳點(diǎn)，那么其受到的耦合作用最小，理想情況下可認(rèn)為檢驗(yàn)質(zhì)量是自由運(yùn)動(dòng)的．將檢驗(yàn)質(zhì)量與衛(wèi)星之間的耦合作用近似為一個(gè)剛度系數(shù)為負(fù)的彈簧，則無拖曳點(diǎn)為由衛(wèi)星、檢驗(yàn)質(zhì)量和彈簧所構(gòu)成系統(tǒng)的平衡點(diǎn)．

2.1 靜電引力梯度儀模型與建模方法

GOCE衛(wèi)星搭載的梯度儀由3對(duì)靜電懸浮加速度計(jì)互相正交安裝構(gòu)成，且基線長(zhǎng)均為0.5 m．每臺(tái)加速度計(jì)具有2個(gè)超敏感軸和1個(gè)欠靈敏軸，電極腔內(nèi)的檢驗(yàn)質(zhì)量塊由鉑銠合金制成，重320 g，尺寸為4 cm×4 cm×1 cm．電極腔由8對(duì)電極構(gòu)成，檢驗(yàn)質(zhì)量靠靜電伺服機(jī)構(gòu)懸浮在電極腔的中心，其分辨率優(yōu)于CHAMP衛(wèi)星搭載的STAR加速度計(jì)和GRACE衛(wèi)星搭載的SuperSTAR加速度計(jì)，低于未來測(cè)試等效原理MICROSCOPE衛(wèi)星搭載的SAGE加速度計(jì)和LISA衛(wèi)星搭載的CAESAR加速度計(jì)[25-26]．分辨率和穩(wěn)定性是靜電懸浮加速度計(jì)的兩個(gè)重要指標(biāo)．靜電懸浮加速度計(jì)的分辨率僅受噪聲限制，噪聲來源包括探測(cè)器噪聲、驅(qū)動(dòng)噪聲、測(cè)量噪聲、加速度計(jì)偏值的熱敏感性以及驅(qū)動(dòng)檢驗(yàn)質(zhì)量的寄生力[27]．穩(wěn)定性主要由靜電伺服控制保證，靜電懸浮加速度計(jì)的伺服控制操作原理是用靜電力維持檢驗(yàn)質(zhì)量相對(duì)于電極腔的正中位置和姿態(tài)，該靜電力客觀反映了空間環(huán)境擾動(dòng)加速度的大小．

靜電懸浮加速度計(jì)在慣性空間中以衛(wèi)星軌道角速度ω旋轉(zhuǎn)，第i臺(tái)靜電懸浮加速度計(jì)檢驗(yàn)質(zhì)量質(zhì)心相對(duì)于衛(wèi)星質(zhì)心的平動(dòng)方程為

(1)

其中，ri表示檢驗(yàn)質(zhì)量相對(duì)于衛(wèi)星質(zhì)心的位移，fg表示檢驗(yàn)質(zhì)量和衛(wèi)星受地球引力加速度差，fe表示檢驗(yàn)質(zhì)量受靜電力加速度，fp表示衛(wèi)星施加給檢驗(yàn)質(zhì)量的自引力加速度，fc表示無拖曳控制力加速度，fd表示由外界環(huán)境引起的非保守力加速度．如果衛(wèi)星飛行在理想圓軌道上且無拖曳點(diǎn)恰好就在電極腔的中心，對(duì)上式進(jìn)行線性化處理可得著名的C-W-Hill方程[28]．3個(gè)方向檢驗(yàn)質(zhì)量的轉(zhuǎn)動(dòng)均受限于機(jī)械限位[29]，相對(duì)于衛(wèi)星本體姿態(tài)角θ變化很小，例如檢驗(yàn)質(zhì)量繞欠靈敏軸方向只能旋轉(zhuǎn)0.083°，因此檢驗(yàn)質(zhì)量相對(duì)于衛(wèi)星本體的轉(zhuǎn)動(dòng)方程可表示為

(2)

其中，Ipm表示檢驗(yàn)質(zhì)量的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩陣，lpm表示作用在檢驗(yàn)質(zhì)量上的靜電控制角加速度，ld表示作用在檢驗(yàn)質(zhì)量上的擾動(dòng)角加速度．

對(duì)于靜電懸浮加速度計(jì)的伺服控制，文獻(xiàn)[30]給出了一個(gè)通道的伺服控制原理．用一根金絲將高頻正弦波檢測(cè)電壓Vd和直流偏置電壓Vp施加到檢驗(yàn)質(zhì)量上與共用電極對(duì)構(gòu)成差動(dòng)電容式位置或姿態(tài)傳感器和靜電力驅(qū)動(dòng)器．共用電極采用分頻復(fù)用原理，用高頻激勵(lì)電壓進(jìn)行電容檢測(cè)位置或姿態(tài)，直流反饋電壓進(jìn)行加力．位移通道的反饋電壓Vf與靜電力Fe之間的關(guān)系為

(3)

其中，ε表示腔內(nèi)相對(duì)于真空的介電系數(shù)，A表示單通道電極面積，d0表示檢驗(yàn)質(zhì)量處于平衡位置時(shí)與電極腔之間的間隙，x表示檢驗(yàn)質(zhì)心偏離電極中心的位移，ωd為高頻正弦波檢測(cè)電壓的角頻率．3個(gè)姿態(tài)通道的加力模型具有類似的結(jié)構(gòu)，具體可參考文獻(xiàn)[31]．差動(dòng)電容C與位移x之間的關(guān)系

(4)

(5)

在此前提下

(6)

其中，kneg表示靜電負(fù)剛度．靜電負(fù)剛度的存在會(huì)導(dǎo)致閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，可考慮Vf取最大反饋電壓時(shí)即開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性最壞的情形進(jìn)行閉環(huán)校正[31]．

靜電懸浮加速度計(jì)各通道與平動(dòng)軸、轉(zhuǎn)動(dòng)軸的動(dòng)力學(xué)是互相耦合的，須找到8通道位置檢測(cè)、加力模型與平動(dòng)軸、轉(zhuǎn)動(dòng)軸之間的關(guān)系，然后將8個(gè)通道輸出的電壓數(shù)據(jù)分別整合為3個(gè)平動(dòng)軸和3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)軸的電壓數(shù)據(jù)進(jìn)行PID校正，PID校正后得到的6軸電壓數(shù)據(jù)再恢復(fù)成8個(gè)通道的電壓指令用于伺服反饋控制[34]．捕獲模式下梯度儀的量程大但精度低，要求伺服控制將檢驗(yàn)質(zhì)量塊“拉”向電極腔中心；科學(xué)模式下梯度儀的量程短但精度高，要求伺服控制具有較強(qiáng)的維持穩(wěn)定的能力．

梯度儀的精確動(dòng)力學(xué)及伺服控制較為復(fù)雜，進(jìn)行數(shù)學(xué)仿真驗(yàn)證時(shí)直接基于該復(fù)雜的模型進(jìn)行無拖曳控制律設(shè)計(jì)非常困難，故需進(jìn)行模型簡(jiǎn)化．文獻(xiàn)[35-36]把加速度計(jì)的所有內(nèi)部效應(yīng)和誤差源歸結(jié)為兩類噪聲：加速度噪聲和位置傳感器噪聲．總的噪聲單邊功率譜平方根曲線在低頻帶具有1/f下降斜率，轉(zhuǎn)折頻率為0.01 Hz，0.1 Hz以上具有f2增長(zhǎng)斜率，中間頻帶的斜率為0．文獻(xiàn)[37-39]進(jìn)行無拖曳控制器設(shè)計(jì)時(shí)把同軸的兩臺(tái)靜電懸浮加速度計(jì)的共模測(cè)量模型簡(jiǎn)化為二階線性系統(tǒng)，帶寬1 Hz和阻尼系數(shù)0.7，姿態(tài)、位置的噪聲指標(biāo)分別為3.78×10-11(rad/s2)/(Hz1/2)和3.78×10-11(m/s2)/(Hz1/2)，這種噪聲模型過于簡(jiǎn)單，影響無拖曳控制精度．文獻(xiàn)[18-19]把同軸兩臺(tái)靜電懸浮加速度計(jì)的共模測(cè)量模型看成是二階線性系統(tǒng)且基礎(chǔ)頻率為 20 Hz，測(cè)量噪聲的單邊功率譜密度具有碗型形狀[23]

(7)

其中，fu<5 mHz，fh>0.1 Hz，Sa0=2×10-12(m/s2)/(Hz1/2)．由于無拖曳回路的控制周期為0.1 s，為避免高頻f4噪聲進(jìn)入無拖曳控制器，可利用一個(gè)四階的抗混淆濾波器預(yù)先進(jìn)行濾波處理[18]．

2.2 離子推力器模型與建模方法

科學(xué)模式階段，重力梯度測(cè)量衛(wèi)星要求非保守力被抵消至幾十微牛量級(jí)和姿態(tài)跟蹤局部軌道坐標(biāo)系達(dá)微弧量級(jí)，從而要求無拖曳控制系統(tǒng)配備毫牛級(jí)的離子推進(jìn)系統(tǒng)和微牛級(jí)的冷氣或電推進(jìn)系統(tǒng)．

離子推進(jìn)系統(tǒng)的推力分辨率和穩(wěn)態(tài)輸出噪聲是影響無拖曳控制精度的關(guān)鍵因素之一，欲實(shí)現(xiàn)高分辨率和低噪聲，須通過離子推進(jìn)系統(tǒng)各個(gè)單元如離子推力器、離子推進(jìn)控制單元、成比例的氙氣供應(yīng)單元、氙氣存儲(chǔ)罐等的協(xié)調(diào)配合．GOCE衛(wèi)星搭載的T5離子推進(jìn)系統(tǒng)屬于Kaufman型，其輸出推力與3個(gè)主控參數(shù)質(zhì)量流率、陽極放電電流和勵(lì)磁電流之間具有非線性關(guān)系[40]．離子推進(jìn)系統(tǒng)是一個(gè)復(fù)雜的閉環(huán)系統(tǒng)，通過開環(huán)查表控制質(zhì)量流率和陽極放電電流實(shí)現(xiàn)推力粗調(diào)，控制頻率為10 Hz；通過閉環(huán)控制勵(lì)磁電流實(shí)現(xiàn)推力精調(diào)，控制頻率為100 Hz[41]．離子推進(jìn)系統(tǒng)的推力噪聲來源主要包括3類：類似等離子體的變化、射束電流的波動(dòng)等引起的物理過程噪聲，功率供應(yīng)單元引起的噪聲和離子推力器控制回路不精準(zhǔn)引起的偏差.其中第三類噪聲源對(duì)推力噪聲的影響最大[42-43]．理論模型與等離子體的物理過程是非常復(fù)雜的，本文不予討論，本小節(jié)主要關(guān)注適合無拖曳控制律設(shè)計(jì)的離子推力器動(dòng)力學(xué)及其噪聲模型．因離子推力器采用的是PID控制，故可用一個(gè)帶延時(shí)的二階環(huán)節(jié)描述其動(dòng)力學(xué)[18]

(8)

其中，基礎(chǔ)頻率ωt=20 πHz，阻尼系數(shù)ζt=0.7，系統(tǒng)延時(shí)τt=0.01 s．文獻(xiàn)[37-39]把離子推力器動(dòng)力學(xué)考慮成不帶延時(shí)的二階線性系統(tǒng)，與式(8)僅差一個(gè)延時(shí)環(huán)節(jié)．文獻(xiàn)[23]給出了離子推力器噪聲的單邊功率譜密度表達(dá)式

(9)

其中fl<5 Hz，ft>5 Hz，St0=50 μN(yùn)/Hz1/2．從文獻(xiàn)[43-44]提供的數(shù)據(jù)可知，工程實(shí)際中GOCE衛(wèi)星搭載的離子推力器的噪聲均優(yōu)于20世紀(jì)90年代末論證的推力器指標(biāo)[7]和推力器指標(biāo)[18]．這表明將來我國的重力梯度測(cè)量衛(wèi)星離子推力器的工程指標(biāo)允許比GOCE衛(wèi)星要差一些；另外，考慮到文獻(xiàn)[18]中采用的嵌入式模型無拖曳控制算法并非是最優(yōu)的，理論上來講可對(duì)離子推力器的指標(biāo)要求進(jìn)一步放松．

為抵消衛(wèi)星的角加速度，GOCE衛(wèi)星還配置了8臺(tái)微牛級(jí)冷氣推力器[18]．若要求重力梯度測(cè)量衛(wèi)星實(shí)施全自由度的無拖曳控制，除飛行方向外的其余5個(gè)自由度均由8個(gè)推力器負(fù)責(zé)實(shí)施無拖曳控制，這需要考慮推進(jìn)劑節(jié)省問題．若忽略推力器的暫態(tài)過程，穩(wěn)態(tài)電壓至力和力矩之間的關(guān)系為[22]

(10)

其中，F(xiàn)表示推力，C表示力矩，u>0表示推進(jìn)系統(tǒng)指令電壓矢量，wt表示推進(jìn)系統(tǒng)噪聲，B和Bq分別表示離子推力器和冷氣推力器配置矩陣．

2.3 空間環(huán)境模型與建模方法

主要有3類攝動(dòng)影響重力梯度測(cè)量衛(wèi)星的位置和姿態(tài)：1)非球形引力異常；2)大氣拖曳力和力矩；3)地球磁場(chǎng)力矩．重力梯度測(cè)量衛(wèi)星運(yùn)行在較低軌道上，雖有助于引力梯度信號(hào)的拾取，但熱層大氣的拖曳效應(yīng)會(huì)變得更加顯著，太陽光壓與地球輻射非常?。诠こ虒?shí)際要求精確的干擾模型，尤其是熱層大氣模型．下面僅對(duì)重力梯度測(cè)量衛(wèi)星所受的大氣阻力模型及其建模方法進(jìn)行闡述．

假設(shè)衛(wèi)星所在位置的大氣密度為ρ，則大氣阻力為

(11)

其中，Cd是大氣拖曳系數(shù)，S是衛(wèi)星迎風(fēng)面積，v是衛(wèi)星與大氣之間的相對(duì)速度．由此可知，大氣拖曳力主要分量沿著飛行反方向，由于地球自轉(zhuǎn)使得大氣在慣性空間中不斷旋轉(zhuǎn)，大氣拖曳力沿橫向具有小分量．衛(wèi)星周圍大氣密度隨軌道周期變化，對(duì)于GOCE衛(wèi)星，變化周期約T0=2/ω0≈5 370 s．大氣密度指數(shù)分布模型的表達(dá)式為[45]

ρ=ρoe-(h-h0)/H

(12)

其中，ρ0為參考高度h0處的大氣密度，H為密度標(biāo)高，h為衛(wèi)星當(dāng)前時(shí)刻的高度．當(dāng)h屬于200～600 km 時(shí)有

(13)

其中，H0為參考高度h0處的密度標(biāo)高，μ≈0.1，一般μ<0.2．由文獻(xiàn)[46]可知受太陽輻射強(qiáng)度、地磁活動(dòng)指數(shù)、季節(jié)、晝夜等因素影響，h0=200 km時(shí)ρ0處于(1.5～4.8)×10-10kg/m3之間，H0處于27～52 km之間．另外，美國NASA還提供了一種大氣密度經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ蚇RLMSISE-00，該模型只能夠提供低于0.1 Hz 的大氣密度頻譜，需要隨機(jī)地外擴(kuò)到感興趣的頻段[47]．

無拖曳控制需要建立高精度的擾動(dòng)觀測(cè)器，從而需要建立合適的擾動(dòng)統(tǒng)計(jì)模型．?dāng)_動(dòng)建模問題可歸結(jié)為用一個(gè)隨機(jī)過程來描述擾動(dòng)動(dòng)力學(xué)[48]．對(duì)于平穩(wěn)的零均值時(shí)間序列可用ARMA(autoregressive moving average)模型對(duì)擾動(dòng)進(jìn)行建模，而對(duì)非平穩(wěn)的時(shí)間序列可用ARIMA(autoregressive integrated moving average)模型描述擾動(dòng)動(dòng)力學(xué)[49-50]．熱層大氣拖曳力是一個(gè)非平穩(wěn)的隨機(jī)過程，Canuto給出受噪聲驅(qū)動(dòng)的二階擾動(dòng)嵌入式模型[51]

d(z)=w1(z)+(z-1)-1w2(z)+(z-1)-2w3(z)

(14)

其中，w1、w2和w3是驅(qū)動(dòng)噪聲, 文獻(xiàn)[24]進(jìn)一步給出了式(14)的狀態(tài)空間表達(dá)形式．該模型僅在階次上與擾動(dòng)是匹配的，需要配合噪聲估計(jì)器對(duì)擾動(dòng)狀態(tài)進(jìn)行實(shí)時(shí)更新．

2.4 無拖曳控制律設(shè)計(jì)方法

GOCE衛(wèi)星實(shí)施了4個(gè)自由度無拖曳控制，沿飛行方向的位移無拖曳控制采用離子推力器實(shí)現(xiàn)，滾動(dòng)、俯仰和偏航姿態(tài)無拖曳控制采用冷氣推進(jìn)實(shí)現(xiàn)．為滿足無拖曳控制指標(biāo)，尤其要滿足測(cè)量頻帶的嚴(yán)格指標(biāo)，要求無拖曳控制律能合適地對(duì)付這些隨機(jī)漂移、偏差及噪聲．無拖曳控制的帶寬比姿態(tài)控制的帶寬大，采用無拖曳控制來抵消姿態(tài)角加速度的同時(shí)會(huì)額外地引入梯度計(jì)的漂移，因這些低頻漂移在姿態(tài)控制的帶寬內(nèi)，姿態(tài)控制是足夠?qū)Ω兜腫51]．

為了保證無拖曳控制的魯棒性，文獻(xiàn)[37]采用H∞控制技術(shù)設(shè)計(jì)GOCE衛(wèi)星的無拖曳控制器，考慮到擾動(dòng)和噪聲的不確定性，根據(jù)最壞的情形選取相應(yīng)的加權(quán)函數(shù)，調(diào)節(jié)擾動(dòng)、噪聲和參考輸出的加權(quán)函數(shù)并對(duì)控制器進(jìn)行綜合，該設(shè)計(jì)過于保守．文獻(xiàn)[38]利用多種方法對(duì)外擴(kuò)擾動(dòng)的功率譜密度特征進(jìn)行對(duì)比研究，并采用線性矩陣不等式優(yōu)化H∞控制器．文獻(xiàn)[39]采用模型預(yù)測(cè)方法設(shè)計(jì)GOCE衛(wèi)星的無拖曳控制，在測(cè)量頻段內(nèi)沿著飛行方向的殘余非引力加速度具有90 dB的幅值裕度，優(yōu)于H∞控制器；同時(shí)還指出好的干擾抑制性能需要設(shè)計(jì)高帶寬的控制器，由于梯度儀高頻噪聲的存在，無拖曳控制器帶寬越高，消耗的推力越大．文獻(xiàn)[18]、[52]采用嵌入式模型研究了GOCE衛(wèi)星的無拖曳控制問題，從離子推力器至梯度儀的嵌入式模型用一個(gè)延時(shí)環(huán)節(jié)來表示，針對(duì)式(14)的擾動(dòng)嵌入式模型設(shè)計(jì)全維狀態(tài)觀測(cè)器，并反饋擾動(dòng)的一步向前預(yù)測(cè)值給無拖曳控制器.調(diào)節(jié)觀測(cè)器的特征根使從控制輸入至觀測(cè)器輸出的模型與嵌入式模型的誤差滿足F判據(jù)，從而確?？刂破鞯膬?nèi)穩(wěn)定[53]．文獻(xiàn)[51]采用嵌入式模型進(jìn)一步研究了GOCE衛(wèi)星的姿態(tài)無拖曳控制問題，利用嵌入式模型輸出與梯度計(jì)測(cè)量輸出之差對(duì)式(14)中的驅(qū)動(dòng)噪聲進(jìn)行估計(jì)，仍反饋擾動(dòng)的一步預(yù)測(cè)值給無拖曳控制器；嵌入式模型控制方法不需要建立擾動(dòng)的精確模型，但要設(shè)計(jì)噪聲估計(jì)器對(duì)擾動(dòng)狀態(tài)進(jìn)行更新，根據(jù)小增益定理調(diào)節(jié)噪聲估計(jì)器增益以確保誤差回路的穩(wěn)定性．

3 無拖曳控制難點(diǎn)分析與展望

高精度靜電引力梯度儀與連續(xù)可調(diào)毫牛級(jí)推力器的成功研制是建造重力梯度測(cè)量衛(wèi)星的先決條件．目前，國內(nèi)開展靜電懸浮加速度計(jì)的研究已有15年，具備高精度靜電引力梯度儀的研究基礎(chǔ)．而2012年電推進(jìn)技術(shù)成功在軌試驗(yàn)預(yù)示我國已經(jīng)具備高分辨率離子推力器的研制基礎(chǔ)．結(jié)合GOCE衛(wèi)星的成功經(jīng)驗(yàn)，對(duì)未來發(fā)展我國重力梯度測(cè)量衛(wèi)星無拖曳控制進(jìn)行難點(diǎn)分析與展望.

(1)仿真平臺(tái)．重力梯度測(cè)量衛(wèi)星的高精度無拖曳控制技術(shù)數(shù)學(xué)仿真驗(yàn)證需要搭建高精度的空間環(huán)境模型，衛(wèi)星姿態(tài)與軌道動(dòng)力學(xué)，載荷、敏感器和執(zhí)行器動(dòng)力學(xué)．空間環(huán)境的建模一直是個(gè)難點(diǎn)，仿真驗(yàn)證時(shí)可考慮嵌入NRLMSISE-00大氣模型、地球，地球磁場(chǎng)模型與EGM96地球引力位模型等.

(2)指標(biāo)分解．無拖曳控制器設(shè)計(jì)的突出特點(diǎn)在于控制回路中的梯度儀和推力器都不能當(dāng)成理想環(huán)節(jié)來處理．在預(yù)先研究中，為實(shí)現(xiàn)高精度的無拖曳控制指標(biāo)，須初探無拖曳控制系統(tǒng)對(duì)傳感器、執(zhí)行器的能力要求．指標(biāo)分解可從兩方面進(jìn)行：一是在已知回路中配置的傳感器與執(zhí)行器噪聲指標(biāo)的前提下，求解無拖曳控制系統(tǒng)的擾動(dòng)抑制極限，合理的無拖曳控制指標(biāo)提法必不違背該性能極限；二是在未知傳感器與執(zhí)行器噪聲指標(biāo)的情況下，為實(shí)現(xiàn)某一合理的無拖曳控制指標(biāo)，探索所有可能實(shí)現(xiàn)這一無拖曳控制指標(biāo)的傳感器與執(zhí)行器噪聲指標(biāo)，即無拖曳控制系統(tǒng)部件噪聲聯(lián)合指標(biāo)分解．

(3)解耦控制．針對(duì)動(dòng)力學(xué)模型的復(fù)雜性，可進(jìn)行無拖曳與姿態(tài)控制的分層解耦和姿態(tài)的坐標(biāo)解耦控制．無拖曳控制是具有寬帶寬的內(nèi)部閉環(huán)回路控制，可與姿態(tài)控制分開設(shè)計(jì)．姿態(tài)控制是具有窄帶寬的外部閉環(huán)回路控制，進(jìn)行姿態(tài)控制器設(shè)計(jì)時(shí)可采用坐標(biāo)解耦控制．

(4)發(fā)展方向．GOCE衛(wèi)星基于當(dāng)時(shí)技術(shù)水平限制，實(shí)際中僅實(shí)施了4個(gè)自由度的無拖曳控制．隨著我國近些年在電推進(jìn)技術(shù)方面的突破，在未來的科學(xué)研究和觀測(cè)任務(wù)中，全電推進(jìn)技術(shù)又勢(shì)在必行，因此未來我國重力梯度測(cè)量衛(wèi)星宜考慮依托全電推進(jìn)平臺(tái)實(shí)施6自由的無拖曳控制，為靜電引力梯度儀提供更加寧靜的工作環(huán)境．

4 結(jié)束語

重力梯度測(cè)量衛(wèi)星旨在為星上靜電引力梯度儀提供寧靜的工作環(huán)境，本文對(duì)其無拖曳控制技術(shù)中的各項(xiàng)關(guān)鍵技術(shù)進(jìn)行了綜述，并從仿真平臺(tái)、指標(biāo)分解、解耦控制和發(fā)展方向四個(gè)方面對(duì)未來發(fā)展我國重力梯度測(cè)量衛(wèi)星進(jìn)行難點(diǎn)分析與展望．

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An Overview on Drag-free Control for Gravitational Gradiometry Satellites

ZOU Kui1,2, GOU Xingyu1,2, XUE Datong3

(1.BeijingInstituteofControlEngineering,Beijing100190,China;2.ScienceandTechnologyonSpaceIntelligentControlLaboratory,Beijing100094,China;3.LanzhouInstituteofPhysics,CAST,Lanzhou730000,China)

Drag-free control is a key technology for some present and future space missions. This paper deeply analyzes the drag-free control technology of gravitational gradiometry satellites, with electrostatic gravity gradiometer, ion thruster, space environment and drag-free control law included in the drag-free loop. Referring to the successful experiences of GOCE and linking with the development status of ion thruster and electrostatic suspended accelerometer, some difficulties and prospects related to drag-free control of Chinese future gravitational gradiometry satellite are discussed in depth.

GOCE satellite； electrostatic gravity gradiometer； ion thruster； drag-free control

*國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61333008).

2016-12-19

V448.2

A

1674-1579(2017)02-0028-08

10.3969/j.issn.1674-1579.2017.02.005

鄒 奎(1987—)，男，博士研究生，研究方向?yàn)楹教炱鳠o拖曳控制技術(shù)；茍興宇(1970—)，男，研究員，研究方向?yàn)楹教炱鲃?dòng)力學(xué)與控制；薛大同(1938—)，男，研究員，研究方向?yàn)檎婵瘴锢砼c微重力測(cè)量技術(shù)．