通過一道題談?wù)n堂內(nèi)容教學(xué)的有效性

王輝

課堂的上課方式有很多形式，如多媒體輔助、自主探究。如今流行的與提倡的微課堂等等形式。但本人認(rèn)為除以上課堂教學(xué)的方式方法外，對(duì)所講內(nèi)容的處理方式也是同樣重要的。以2016年某市高三質(zhì)檢第十二題為例，提出自己的一些看法。

原題：（12） 已知x>0，y>0，且4x+1x+y+9y=26，則函數(shù)F（x，y）=4x+y的最大值與最小值的差為

（A）24 （B）25 （C）26 （D）27

課前與學(xué)生交流，絕大多數(shù)學(xué)生對(duì)此題無從下手，個(gè)別學(xué)生竊喜蒙對(duì)了。那么此題對(duì)學(xué)生就沒有一點(diǎn)利用價(jià)值嗎？本人想通過以下途徑使得本題具有實(shí)際的意義。

首先、要精心備課。雖然本題是一道難題，但學(xué)生不可能都放棄，那么在考試過程中就有很多解題的想法，也有思維的鍛煉。學(xué)生在進(jìn)行了大量思考而沒有解決問題，在心理上會(huì)有一定的影響，這時(shí)候應(yīng)與學(xué)生交流，在心理上也要有輔導(dǎo)，同時(shí)對(duì)學(xué)生的想法也要善于利用。

閱卷后對(duì)該題的基本情況作好統(tǒng)計(jì)與分析：如本題市平均分0.9466；標(biāo)準(zhǔn)差1.9588；區(qū)分度0.1652；難度0.1893等。數(shù)據(jù)表現(xiàn)出來的實(shí)際問題可對(duì)學(xué)生解釋（與統(tǒng)計(jì)學(xué)相聯(lián)系）。另外，需要準(zhǔn)備教學(xué)資料，這樣可以很快的找出相關(guān)的練習(xí)。

其次、注重學(xué)生的想法參與。在評(píng)講此題時(shí)，可以提問學(xué)生："讀題后，有什么樣的解題想法和念頭，或者從感性上認(rèn)識(shí)到什么，聯(lián)想到什么相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)？"這樣，大多數(shù)知識(shí)性的，運(yùn)算馬虎粗心所導(dǎo)致的錯(cuò)誤學(xué)生自己可以解決掉。教師那種面面俱到，一人講評(píng)的低效教學(xué)狀態(tài)也得以改變，而且能夠調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)主體性，培養(yǎng)學(xué)生自我糾正能力。

如：在講本題時(shí)學(xué)生聯(lián)系想到4x+1x，y+9y，x>0，y>0，可以產(chǎn)生定值，得到最小值，這樣與基本不等式有關(guān)；令z=4x+y寫成學(xué)生習(xí)慣的式子，即聯(lián)系到是否線性規(guī)劃題型有關(guān)呢？；是否可以轉(zhuǎn)化為關(guān)于某個(gè)自變量的函數(shù)有關(guān)，求函數(shù)的最值呢？等等這些都是在與學(xué)生互動(dòng)時(shí)，學(xué)生在考試或上課時(shí)的想法。五花八門的想法是解題的源泉，但真正與題相關(guān)的還要提練。

那么對(duì)于題本人提出，若對(duì)要求與已知對(duì)照會(huì)發(fā)現(xiàn)，原式可以變形成4x+y+1x+9y=26，分成兩個(gè)部分。于是聯(lián)想到題型：已知x>0，y>0，x+y=1求1x+1y的最小值（學(xué)生對(duì)此類題相對(duì)較熟悉），可求出某種范圍。則有（4x+y）（1x+9y）=4+36xy+yx+9≥25（等號(hào)可取或利用柯西不等式）對(duì)求最值有幫助。

又利用函數(shù)與方程，整體化歸思想，可得（1x+9y）=26-（4x+y）

即：（4x+y）[26-（4x+y）]=（4x+y）（1x+9y）≥25

解得：1≤（4x+y）≤25所以最大值與最小值的差的絕對(duì)值為24。

本題主要講清為什么突然提出（4x+y）（1x+9y） ，理清如何聯(lián)想到此式并得到解，怎么樣才能更好的利用學(xué)生想法，最后得出結(jié)論。

3.難點(diǎn)的點(diǎn)撥，教師重點(diǎn)講解"為什么"

對(duì)學(xué)生所提問題的分析，要從原因入手，從概念、規(guī)律認(rèn)識(shí)、理解的深刻性、全面性方面。從解題方法、技巧的靈活性方面，從解題過程的規(guī)范性方面，從題干情景和設(shè)問的變化性等方面進(jìn)行重點(diǎn)分析、舉一反三。

4.變式拓展，對(duì)于本題考查基本不等式應(yīng)用，函數(shù)方程、整體化歸思想

可以投放一些題補(bǔ)償訓(xùn)練，以強(qiáng)化對(duì)問題的進(jìn)一步理解。訓(xùn)練題的選擇可以是變式處理，或相類似一起講解，增強(qiáng)適應(yīng)能力和遷移能力。

如：（1）可以把本卷的解答題（17）提前講解在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c。若sin（A-B）+sinC=2sinA。（Ⅰ）求角B的值；（Ⅱ）若b=2，求a2+c2的最大值，并求取得最大值時(shí)角A，C的值。

（2）已知a>0，b>0，a+b+ab=8，求a+b，ab的取值范圍。

解析：本題同樣考查基本不等式的應(yīng)用，當(dāng)求a+b時(shí)，應(yīng)用ab≤（a+b2）2，即有

8=a+b+ab≤a+b+a+b22，令t=a+b>0，解得t≥4，當(dāng)a=b取等號(hào)，即a+b≥4。

又a+b≥2ab，即有8=a+b+ab≥2ab+ab，令t=ab>0，解得0

（3）已知兩正數(shù)x，y滿足x+y=1，則z=（x+1x）（y+1y）的最小值為________。

解一：因?yàn)閷?duì)a>0，恒有a+1a≥2，從而z=（x+1x）（y+1y）≥4，所以z的最小值是4。

解二：z=2+x2y2-2xyxy=（2xy+xy）-2≥22xy·xy-2=2（2-1），所以z的最小值是2（2-1）。

【錯(cuò)因分析】錯(cuò)解一和錯(cuò)解二的錯(cuò)誤原因是等號(hào)成立的條件不具備，因此使用基本不等式一定要驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，只有等號(hào)成立時(shí)，所求出的最值才是正確的。

【正確解答】z=（x+1x）（y+1y）=xy+1xy+yx+xy=xy+1xy+.x+y.2-2xyxy=2xy+xy-2，令t=xy，則0

（4）（2011年浙江）設(shè)x，y為實(shí)數(shù)，若4x2+y2+xy=1=1，則2x+y的最大值是____。

解析：4x2+y2+xy=1，∴4x2+4xy+y2-3xy=1

∴（2x+y）2-1=3xy=32·2x·y≤32·（2x+y2）2

∵（2x+y）2-1≤38（2x+y）2 ∴（2x+y）2≤85

即-2105≤2x+y≤2105當(dāng)且僅當(dāng)2x=y時(shí)取等號(hào)，∴（2x+y）最大值=2510。

（5）已知x>0，y>0，且x+y=8，求3x+4y的最小值。解略以上盡管不是運(yùn)用絕對(duì)相同的思路，但在基本不等式變形方面大致相同，這樣讓學(xué)生感到熟悉又新奇，對(duì)學(xué)生變形能力的薄弱之處進(jìn)行了充分地針對(duì)性的訓(xùn)練，滿足了學(xué)生在聽懂了教師的講解之后需要加強(qiáng)鞏固的心理需求。

進(jìn)行變式拓展是試卷講評(píng)的重要環(huán)節(jié)。這一環(huán)節(jié)可以解決學(xué)生由聽懂到通過簡單的模仿學(xué)習(xí)再到操作性學(xué)習(xí)而真正掌握，也為學(xué)生的創(chuàng)造性學(xué)習(xí)提供了充分的機(jī)會(huì)。

5.最后指導(dǎo)學(xué)生建立錯(cuò)題集，學(xué)生建立錯(cuò)題集時(shí)應(yīng)該把題目抄下來，自己重新做一遍

另外，錯(cuò)題集需要不斷刪改，對(duì)于以前未掌握后來掌握的東西要及時(shí)刪除，提高復(fù)習(xí)效率。教師在指導(dǎo)學(xué)生建立錯(cuò)題集的同時(shí)，對(duì)學(xué)生的錯(cuò)題自己也建立相應(yīng)的題集，并對(duì)錯(cuò)題進(jìn)行研究，那么對(duì)教師教學(xué)來說，這無疑是積累了一筆豐富的課程資源，對(duì)教師個(gè)體的專業(yè)化發(fā)展也起到一定的推動(dòng)作用。

以上是本人對(duì)一道題講解的一些看法，沒有特別的課堂表現(xiàn)形式，只是對(duì)內(nèi)容的一些深化理解，并引導(dǎo)學(xué)生如何理解這道題?？傊?，當(dāng)過于注重課堂形式的現(xiàn)在，應(yīng)留時(shí)間思考如何使學(xué)生思維得到鍛煉，數(shù)學(xué)思想方法在課堂中的滲透，如何利用數(shù)學(xué)邏輯思維解決問題等實(shí)質(zhì)的話題。