順勢而為溯源明道提煉優(yōu)術

范志文

習題課是初中數(shù)學課堂教學的重要課型，如果教師在教學傳授中方向不明、深度不夠、方法不當，那么學生就看不清知識的發(fā)展趨勢，不能明白知識的真諦，無法提升自身的學習能力，學生負擔就會過重，總體效果也不明顯.惟有深入研究試題，進而加深對課標和教材的理解，才會發(fā)現(xiàn)習題教學引導功能和教學價值，使教師的教學工作游刃有余.帶著這些思考，筆者結合日常教學，通過具體案例談談個人對習題教學中的“取勢、明道、優(yōu)術”三個層面的認識.

一、且做且思提煉結論順勢而為

習題教學的最終目標是追求解題“隨機而發(fā)，順勢而為”，從而使解題變得快速而精確，充滿穿透力.提煉“基本結論”是解題高效的最好保障.當學生學會自覺地反思、推進、提煉的時候，解題將會充滿樂趣.

例1如圖1，在平面直角坐標系中，以原點O為圓心的的圓過點A（13，0），直線y=kx-3k+4與⊙O交于B，C兩點，則弦BC的長的最小值為.

解如圖2，因為直線y=kx-3k+4必過點D（3，4），且OD=5，⊙O的半徑為13，所以D（3，4）在⊙O內(nèi)，因此，過點D（3，4）的最短的弦BC與OD垂直.

連接OB.在Rt△BOD中，OB=13，OD=5，所以BD=12.故BC的長的最小值為24.

提煉結論過圓內(nèi)一點的弦中，與過該點的直徑垂直的弦最短.

例2如圖3，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，點D是BC的中點.作正方形DEFG，連接AE，若DE=BC=2，將正方形DEFG繞點D旋轉一定角度，當AE為最大值時，求AF的值.

解當正方形DEFG繞點旋轉時，點E在以點D為圓心，2為半徑的圓上，此時點A在該圓內(nèi)，所以當線段AE經(jīng)過點D時AE的值最大（如圖4），這時AE=3，EF=2.又因為∠E=90°，所以由勾股定理，得AF=32+22=13.

提煉結論如圖5，若點P不在⊙O上，射線OP交⊙O于M，射線OP的反向延長線交⊙O于N，則點P到⊙O上各點的距離中，點P到M的距離最小，點P到N的距離最大.

例3如圖6，在平面直角坐標系中，已知點A（6，0），B（0，6），動點C在半徑為3的⊙O上，當點C在⊙O上運動到什么位置時，△ABC的面積最大？并求出△ABC的面積最大值.

解如圖7，因為△OAB為等腰直角三角形，所以AB=2OA=62.

當點C到AB的距離最大時，△ABC的面積最大.

過O點作OD⊥AB于D，OD的反向延長線交⊙O于C，此時點C到AB的距離最大.OD=12AB=32，所以CD=OC+OD=3+32.

圖8△ABC的面積為12AB·CD=12×62×（3+32）=92+18.

提煉結論如圖8，直線l與⊙O相離，線段OP⊥l，垂足為P，交⊙O于點M，PO的延長線交⊙O于點N，則⊙O上各點到直線l的距離中，最小距離是PM，最大距離是PN.

例4如圖9，在Rt△AOB中，OA=OB=32，⊙O的半徑為1，點P是AB邊上的動點，過點P作⊙O的一條切線PQ（點Q為切點），則切線PQ的最小值為.

解如圖10，連接OP、OQ.由PQ是⊙O的切線，得QO⊥PQ.由勾股定理，得PQ=OP2-OQ2.因為OQ=3是定值，所以當OP最小時，線段PQ最小，即當PO⊥AB時，線段PQ最短.

在Rt△AOB中，OA=OB=32，

所以AB=2OA=6，OP=OA·OBAB=3.

所以PQ=OP2-OQ2=32-12=22.

即PQ的最小值為22.

提煉結論直線l與半徑為r的⊙O相離，圓心O到直線l的距離為d，點P為直線l上任一點，PA與⊙O相切于點A，則PA的最小值是d2-r2.

顯然，有了這些結論的提煉，學生可以摸透命題的態(tài)勢和發(fā)展走向，解題順勢而為，并且可以借鑒這些結論舉一反三，觸類傍通，輕松解決同一類型的數(shù)學問題.基本結論無窮盡，常做有心人，且思且提煉.

二、回歸課本探究本質溯源明道

“以課本為根本”一直是數(shù)學命題的一大特色，習題教學中應重視探究習題的原型，課本內(nèi)的“母題”.以最短問題為例，形式各異的考題一般都是從課本出發(fā)，再加以引申和改編.

例5已知，如圖11，點M在銳角∠AOB的內(nèi)部，在OB邊上求作一點P，使得點P到點M的距離與點P到OA的距離之和最小.

解析如圖12，作M關于直線OB的對稱點M1，作M1Q⊥OA，交OB于點P，則點P為所求點，連接PM，此時PM+PQ為最小.

課本原型探究“造橋選址”：如圖13，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋EF，橋造在何處才能使從A到B的路徑最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）

解析如圖14，過點A作直線垂直于河邊，在直線上截取AC等于橋長，然后連接CB交河邊于點F，最后過點F作FE垂直于河邊.則EF即為所求的架設橋的地點.分析出“AE+BF”轉化為“CF+FB”，從而實現(xiàn)了問題的求解.

例6已知，如圖15，∠MON=30°，A為OM上一點，OA=5，D為ON上一點，OD=12，C為射線AM上任意一點，B為線段OD上任意一點，求拆線AB-BC-CD的長度的最小值.

解析如圖16，作點D關于OM的對稱點D′，作點A關于ON的對稱點A′，連接A′D′，分別交OM，ON于點C，B，則拆線長最小值為AB+BC+CD=A′B+BC+CD′=A′D′.在直角三角形A′OD′中，∠A′OD′=90°，OD′=12，OA′=5，所以A′D′=13，即折線AB-BC-CD的長度的最小值為13.

課本原型探究“將軍飲馬”：如圖17，將軍每天從軍營A出發(fā)，先到河邊飲馬，然后再去河岸同側的軍營B開會，應該怎樣走才能使路程最短？

解析如圖18，作點A關于河岸的對稱點A1，連接A1B，交河岸于P點，邊接AP，則AP+PB就是最短路徑.很顯然“AP+PB”最小轉化為“A1P+PB”最小，利用“兩點之間線段最短”.

通過課本原型探究，不僅可以讓學生充分認識到“兩點之間，線段最短”和“垂線段最短”是最短問題的核心依據(jù)，掌握“平移、旋轉、翻折”等基本方法；熟練運用“作圖、計算、推理”等基本手段，而且讓學生明白了知識的真諦，成就了解題的大智慧.

三、一題多解舍繁求簡提煉優(yōu)術

習題教學既要關注方法的多樣化，又對方法進行優(yōu)化，那么教學效果定能明顯提高.通過方法比較，使學生從多個角度思考問題，形成多樣化的問題解決意識，又幫助學生舍繁求簡，歸納提煉了思考問題的基本方法和途徑.

例7（2015寧波中考例卷）如圖19，△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8，D、E、F分別在AB，BC，AC上，DE⊥BC，DF⊥AC，則EF的最小值是.

解設DF=x，由題設知DF∥CE，則△AFD～△ABC，則AF=43x，F(xiàn)C=8-43x，EF=FC2+CE2=43x2+8-43x2，即EF=259x2-693x+64，根據(jù)二次函數(shù)可求出EF的最小值為4.8.

方法優(yōu)化如圖20，連接CD，由題設可知四邊形FDEC為矩形，則CD=EF，故EF的最小值可轉化為求CD的最小值，所以當CD⊥AB時，CD最小，利用“等積法”易求出此時CD的最小值為4.8.

例8如圖21，△ABC中，AB=7，BC=8，AC=9，過△ABC的內(nèi)切圓圓心I作DE∥BC，分別與AB、AC相交于點D、E，求DE的長.

解設△ABC內(nèi)切圓的半徑為r，BC邊上的高為h.由三角形的面積公式得12r·AB+12r·AC+12r·BC=12h·BC，即12r×（7+8+9）=12h×8，所以r=13h.因為DE∥BC，所以△ADE～△ABC，DEBC=h-rh，即DE8=h-13hh，所以DE=163.

方法優(yōu)化如圖22，連接BI、CI，因為⊙I為△ABC的內(nèi)切圓，所以∠DBI=∠CBI.因為DE∥BC，所以∠DBI=∠IBC，∠DBI=∠DIB，所以DI=DB.同理IE=EC，所以DE=DI+IE=DB+EC.所以△ADE的周長=AD+DE+AE=AD+DB+CE+AE=AB+AC=16.因為DE∥BC，所以△ADE～△ABC.所以C△ADEC△ABC=DEBC，即1624=DE8.所以DE=163.

例9如圖23，已知四邊形ABCD為直角梯形，且AB=BC=2AD，PA=1，PB=2，PC=3，求直角梯形ABCD的面積.

解如圖24，作PM⊥AB，PN⊥BC，垂足分別M，N.設AB=m，PM=x，PN=y，則x2+y2=4，

x2+（m-y）2=1，

（m-x）2-y2=9， 解得m2=5±22.由題設取m2=5+22，

故S梯形ABCD=m·m2+m2=34m2=154+322.

圖25方法優(yōu)化如圖25，將△APB繞點B順時針旋轉90°得△CBE.連接PE，則△PBE為等腰直角三角形，∠PEB=45°，所以PE2=BP2+BE2=8，EC2=1.所以PE2+CE2=9=PC2，故∠PEC=90°，∠BEC=135°，作BF⊥CE交CE延長線于點F，則∠BEF=45°，

所以BF=EF=22BE=2，F(xiàn)C=2+1，

于是BC2=BF2+FC2=5+22.

故S梯形ABCD=12（AD+BC）AB=34BC2=154+322.

一個好的解題方法，一定有方法常用、思路常見、運算簡潔等特征，以上三個例題的優(yōu)化方法正是如此，不僅大大簡化了運算過程，解題中所涉及的知識與方法都是平時學習中經(jīng)常出現(xiàn)，反復用到了.通過這種對比，能夠激發(fā)學生主動探索的欲望，從不同的角度去研究一個題目的解法，尋找更有價值的解題方法，從而大大提升自身的數(shù)學水平和解題技巧.

“順勢而為”是讓學生看清命題的發(fā)展趨勢及導向，“勢”往往無形，卻具有方向；“溯源明道”讓學生回歸教材，明白知識的規(guī)律、原則，明確自己的學習方向，擺正自己的位置；“提煉優(yōu)術”讓學生不斷提升方法，探索和積累實用的策略，積淀適合于自己的解題經(jīng)驗.

【參考文獻】

[1]范建兵.追“本”溯源，品味“最短問題”[J].中學數(shù)學（下），2014（2）.

[2]田傳弟.聚焦中考熱點之圓中的幾何最值問題[J].中學數(shù)學（下），2014（4）.