遵循認(rèn)知規(guī)律，優(yōu)化數(shù)學(xué)課堂教學(xué)

何文勝

【摘要】生活中的優(yōu)化問題集函數(shù)應(yīng)用于一身，解決相關(guān)問題不僅能較好地提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力，而且使學(xué)生了解數(shù)學(xué)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，具有非常好的現(xiàn)實(shí)意義.如何提高其課堂教學(xué)實(shí)效？反思整個(gè)教學(xué)實(shí)踐歷程，采取“導(dǎo)學(xué)案”形式分散重難點(diǎn)，注重課堂生成，可以提高課堂效率.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；優(yōu)化問題；合理安排；課堂生成；課堂效率

本著既尊重教材和課標(biāo)要求，又從學(xué)生實(shí)際出發(fā)，遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，創(chuàng)造性地使用教材的理念，筆者對(duì)教材進(jìn)行二度開發(fā).本文就此做一介紹，以期拋磚引玉.

一、引導(dǎo)學(xué)生深入閱讀教材，提煉有效信息，激發(fā)求知欲

應(yīng)用題主要的難點(diǎn)就在于，題目背景復(fù)雜，數(shù)學(xué)信息隱藏在繁雜的文字材料中.從最近幾年的全國各地的高考原題看，一道應(yīng)用題的閱讀量都在200字左右.所以，在教學(xué)時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真閱讀教材中的數(shù)學(xué)材料，并深入理解其中的內(nèi)涵，準(zhǔn)確把握句段之間的緊密聯(lián)系，并學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)符號(hào)、圖形、圖表等數(shù)學(xué)語言來理解數(shù)學(xué)概念、公式、定律中的深刻意義，并且還要善于聯(lián)系生活中的實(shí)際案例來論證教材中的各項(xiàng)定律、法則、公式等，從而深刻地理解教材中的數(shù)學(xué)閱讀材料，掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)涵與外延，逐漸訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)解題思維.

在“生活中的優(yōu)化問題舉例”的教學(xué)中，為了更好地解決內(nèi)容多、課時(shí)少，努力提高課堂效率.采用“導(dǎo)學(xué)案”形式，讓學(xué)生課前按教師要求預(yù)習(xí)相應(yīng)內(nèi)容，帶著問題進(jìn)課堂，師生共同解決問題出課堂，教學(xué)中重視學(xué)生在課堂教學(xué)中的“參與度”.

課前，學(xué)生按要求閱讀探究教材.教師給出依據(jù)教材內(nèi)容編制的思考提綱引導(dǎo)學(xué)生怎樣獲取有效數(shù)學(xué)信息，學(xué)生憑借已有知識(shí)和技能初步了解教材中的基本內(nèi)容，它不僅能使學(xué)生步入認(rèn)知領(lǐng)域，而且能引發(fā)學(xué)生向情感領(lǐng)域探求的欲望，培養(yǎng)自學(xué)能力.“生活中的優(yōu)化問題”思考提綱主要引導(dǎo)學(xué)生思考兩個(gè)方面的問題：一是引導(dǎo)學(xué)生讀題、審題，找出未知與已知的關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型，寫出解析式；二是引導(dǎo)學(xué)生求解所列函數(shù)的最值.

二、以問題為主線，串聯(lián)學(xué)生思維

從復(fù)雜的文字背景材料中獲取數(shù)學(xué)信息，對(duì)學(xué)生來說本身就是一大困難.（附教材P101例1學(xué)校或班級(jí)舉行活動(dòng)，通常需要張貼海報(bào)進(jìn)行宣傳.現(xiàn)讓你設(shè)計(jì)一張如圖所示的豎向張貼的海報(bào)，要求版心面積為128 dm2，上、下兩邊各空2 dm，左、右兩邊各空1 dm.如何設(shè)計(jì)海報(bào)的尺寸，才能使四周空白面積最??？）為分解難點(diǎn)，突出重點(diǎn)，設(shè)計(jì)問題鏈，課前發(fā)給學(xué)生的閱讀思考提綱如下.

1.四周空白面積S與整個(gè)矩形面積和版心面積有何關(guān)系？設(shè)計(jì)海報(bào)的尺寸即確定其高和寬.

2.教材中設(shè)版心的高為x dm后，是如何列出函數(shù)解析式的？定義域是如何確定的？

3.你能總結(jié)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)S（x）=2x+512x+8，x>0的最小值的步驟嗎？

4.你還可以利用什么方法求上述函數(shù)的最小值？

課堂生成1以閱讀思考提綱為載體，生生之間、師生之間共同討論，澄清疑點(diǎn)，教師板書重點(diǎn)及注意點(diǎn).本節(jié)課教師引導(dǎo)學(xué)生歸納知識(shí)要點(diǎn)，板書如下.

1.幾何中的優(yōu)化問題，常用幾何圖形的周長(zhǎng)、面積、體積公式或其他性質(zhì)建立函數(shù)解析式，定義域由線段的長(zhǎng)大于0而得.

2.利用導(dǎo)數(shù)求最值的步驟是：求f′（x）→由f′（x）的正負(fù)→確定f（x）的增減→結(jié)合f（x）的圖像求最值.

3.利用基本不等式求最值應(yīng)注意：一正、二定、三相等.

課堂生成2即有層次的題組練習(xí).教師依據(jù)教材中的各類習(xí)題或相關(guān)資料，精心選編、改編或創(chuàng)編由淺入深、循序漸進(jìn)的課堂練習(xí)題，以滿足所有學(xué)生（特別是基礎(chǔ)較差的學(xué)生）的成功欲，使學(xué)生在教師引導(dǎo)下的解題中提高興趣，逐步形成技能.為了使學(xué)生進(jìn)一步掌握幾何中的優(yōu)化問題的解題技巧，逐個(gè)出示如下練習(xí)題，并提問學(xué)生口答或板演，讓學(xué)生暴露思維弱點(diǎn)，為教師講解準(zhǔn)備素材.

問題1要做一個(gè)圓錐形漏斗，其母線長(zhǎng)為20 cm，要使其體積最大，則其高為（）.

A.2033 cm B.100 cm C.20 cm D.203 cm

解析設(shè)高為x cm，則在Rt△ABO中，

BO=400-x2.

由圓錐的體積公式得

V（x）=13π（400-x2）·x，

即V（x）=-13πx3+400π3x（0

所以V′（x）=-πx2+400π3，

由V′（x）=0得x=2033∈（0，20），選A.

強(qiáng)調(diào)：在實(shí)際問題中，由f′（x）=0得到一個(gè)解，若這個(gè)解在f（x）的定義域內(nèi)，則這個(gè)根處的函數(shù)值就是所求f（x）的最值.

問題2如圖，要設(shè)計(jì)一個(gè)矩形廣告牌，含有大小相等的左右兩個(gè)矩形欄目，這兩欄目的面積之和為18 000 cm2，四周空白的寬度為10 cm，兩欄目之間的中縫空白的寬度為5 cm.怎樣確定廣告牌的高與寬的尺寸（單位：cm），才能使矩形廣告牌面積最小.

解析設(shè)廣告牌的高為x cm，寬為y cm，

則（x-20）·y-252=9000y=18000x-20+25，

所以廣告牌面積為

S（x）=xy=x18000x-20+25=18000xx-20+25x，x>20.

解法一（利用導(dǎo)數(shù)求解）

因?yàn)镾′（x）=18000（x-20）-18000x（x-20）2+25

=-36000（x-20）2+25=25（x+100）（x-140）（x-20）2.

由S′（x）>0得，x>140，

所以S（x）的單增區(qū)間為（140，+∞），同理，S（x）的單減區(qū)間為（20，140），

所以當(dāng)x=140時(shí)，即廣告牌的高為140 cm，寬為175 cm時(shí)，廣告牌的面積最小.

解法二（利用基本不等式求解）

因?yàn)镾（x）=18000xx-20+25x=36000x-20+25（x-20）+18500，

而x>20，即x-20>0，

所以S（x）≥236000×25+18500=24500，

當(dāng)且僅當(dāng)36000x-20=25（x-20），即x=140時(shí)等號(hào)成立.

所以當(dāng)x=140時(shí)，S（x）的最小值為24500 cm2.

問題3（2011年江蘇高考）請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)包裝盒.如圖所示，ABCD是邊長(zhǎng)為60 cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個(gè)全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得A，B，C，D四點(diǎn)重合于圖中的點(diǎn)P，正好形成一個(gè)正四棱柱形狀的包裝盒.E，F(xiàn)在AB上，是被切去的一個(gè)等腰直角三角形斜邊的兩個(gè)端點(diǎn).設(shè)AE=FB=x（cm）.

（1）若廣告商要求包裝盒的側(cè)面積S（cm2）最大，試問x應(yīng)取何值？

（2）某廠商要求包裝盒的容積V（cm3）最大，試問x應(yīng)取何值？并求出此時(shí)包裝盒的高與底面邊長(zhǎng)的比值.

解析注意引導(dǎo)學(xué)生立體幾何平面化，即從左邊平面圖形中求得右邊立體圖形所要的線段長(zhǎng).

（1）因?yàn)镋F=60-2x，所以陰影部分的等腰直角三角形直角邊長(zhǎng)為60-2x2，在Rt△BFG中，F(xiàn)G=2x，

所以包裝盒的側(cè)面積為

S=4×60-2x2×2x=-8x2+240x.

由EF=60-2x>00

因?yàn)閽佄锞€開口向下，且對(duì)稱軸x=24016=15∈（0，30），

所以當(dāng)x=15時(shí)，側(cè)面積S最大.

（2）包裝盒的容積為

V=（2x）2·60-2x2=-22x3+602x2，0

所以V′=-62x2+1202x=-62x（x-20）.

當(dāng)00，V單增，當(dāng)20

所以當(dāng)x=20時(shí)，V取最大值，此時(shí)，高與底面邊長(zhǎng)的比值為60-2x2∶2x=12.

課堂完成，師生共同進(jìn)行課堂小結(jié).其目的是培養(yǎng)學(xué)生歸納小結(jié)能力，及時(shí)復(fù)習(xí)所學(xué)知識(shí).

三、總結(jié)歸納，提升思維品質(zhì)

本節(jié)課可引導(dǎo)學(xué)生做如下小結(jié).

1.幾何中的優(yōu)化問題，常用幾何圖形的周長(zhǎng)、面積、體積公式或其他性質(zhì)建立函數(shù)解析式，定義域由多條線段的長(zhǎng)大于0（即保證實(shí)際問題有意義）求得.

2.求函數(shù)的最值時(shí)，可根據(jù)所列函數(shù)解析式靈活選擇二次函數(shù)法、基本不等式法及導(dǎo)數(shù)法求解，不過導(dǎo)數(shù)法求解是通性通法.

解決問題的具體步驟：

（1）通過閱讀，明確題目的目標(biāo)；

（2）找出數(shù)量關(guān)系，對(duì)得到的數(shù)學(xué)關(guān)系進(jìn)行分析、聯(lián)想，抽象出一個(gè)或幾個(gè)數(shù)學(xué)模型，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；

（3）列出函數(shù)關(guān)系；

（4）根據(jù)函數(shù)關(guān)系式的不同類型，求出函數(shù)的最值.

利用“導(dǎo)學(xué)案”的教學(xué)方式，能較好地體現(xiàn)學(xué)生的主動(dòng)性、主體性，教師的主導(dǎo)性與之相融合，從簡(jiǎn)單到復(fù)雜依次遞進(jìn)推出有階梯的題組，遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，讓學(xué)生首先能理清思路、找出題目的目標(biāo)要求，逐漸能找出題目中的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而列出函數(shù)關(guān)系，最終能根據(jù)不同類型的函數(shù)表達(dá)式求出最值.

同時(shí)，使學(xué)生在知識(shí)與技能方面也經(jīng)歷了四個(gè)階段：一是誘導(dǎo)階段，即通過“課前有目的性預(yù)習(xí)”使學(xué)生初步了解教材中的基本內(nèi)容；二是解決問題階段，即通過“課堂生生、師生討論”讓學(xué)生在教師的逐步引導(dǎo)下自己解決問題，進(jìn)一步理解、掌握教材中的重、難點(diǎn)內(nèi)容；三是內(nèi)化階段，通過在教師的引導(dǎo)下走模式化途徑解決實(shí)際問題，最后能擺脫固有模式，化有形于無形內(nèi)化成自己的能力；四是發(fā)展提升階段，即通過“變式練習(xí)、小結(jié)提升”發(fā)展學(xué)生的技能，使得學(xué)生的能力得到質(zhì)的飛躍.在引導(dǎo)和講解過程中，也做到了時(shí)刻關(guān)注學(xué)生疑難點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)，以問題為主線，以學(xué)生為主體，進(jìn)而提高學(xué)生的應(yīng)用題學(xué)習(xí)效率.

【參考文獻(xiàn)】

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