初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽的一把鑰匙

康軍

【摘要】數(shù)學(xué)競(jìng)賽題的解題技巧十分靈活，解答一個(gè)問(wèn)題，方法的選擇常常決定解題的速度和成敗.“旋轉(zhuǎn)變換”就是一把巧妙的鑰匙，準(zhǔn)確、靈活地運(yùn)用這把鑰匙可以收到事半功倍的效果.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)；競(jìng)賽；鑰匙

旋轉(zhuǎn)變換是把一個(gè)圖形繞著一個(gè)定點(diǎn)按一定方向旋轉(zhuǎn)某個(gè)角度得到另一個(gè)圖形，簡(jiǎn)稱旋轉(zhuǎn).它的主要性質(zhì)有：旋轉(zhuǎn)前后，對(duì)應(yīng)直線的交角等于旋轉(zhuǎn)角，所得圖形與原圖形全等.

在初中數(shù)學(xué)各級(jí)各類競(jìng)賽中，我們常碰到借助旋轉(zhuǎn)變換這把“鑰匙”解決的幾何問(wèn)題.對(duì)多年的試題進(jìn)行分析可發(fā)現(xiàn)，這類競(jìng)賽題常見于等腰直角三角形、等邊三角形、正方形中，旋轉(zhuǎn)角以旋轉(zhuǎn)45°，60°，90°或180°最為常見.

一、三角形中的旋轉(zhuǎn)變換

（一）利用等邊進(jìn)行變換（在等腰直角三角形和等邊三角形中常常依托相等的邊，旋轉(zhuǎn)相應(yīng)的角度使等邊得以重合）

圖1例1（第三屆吳中杯數(shù)學(xué)競(jìng)賽決賽試題）如圖1，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，M，N分別是BC上的兩點(diǎn)，若BM=3，MN=5，NC=4，則∠MAN的度數(shù)為（）.

A.32°B.45°

C.60°D.75°

分析要直接求出∠MAN的度數(shù)困難較大，但題中BM=3，MN=5，CN=4的條件正好是一組勾股數(shù)，如果將MN，BM，CN集中在同一個(gè)三角形中，問(wèn)題可得解.由于△ABC是等腰直角三角形，依據(jù)AB=AC，將△ABM繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△ACP，于是△ACP≌△ABM，則∠B=∠ACP=45°，∠BCP=90°，CP=BM=3，連接NP，NP=5.△AMN≌△APN，即∠MAN=∠NAP=12∠MAP=45°，故選B.

提煉借助等腰直角三角形的條件，將圖形繞著等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°，使相等的兩腰重合，將條件集中起來(lái)，從而“化零為整”.

例2如圖2，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜邊BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是AB，AC邊上的點(diǎn)，且DE⊥DF.若BE=12，CF=5，求：①△BDE與△DCF的面積之和；②△DEF的面積.

分析① 連接AD，即可發(fā)現(xiàn)△DCF與△DAE全等，從而把△DCF繞D點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，得到△DAE，于是△DCF就與△BDE“湊”在一起了.于是所求△BDE與△DCF的面積之和=△BDE與△DAE的面積之和=△ABD的面積=△ABC面積的一半，輕松求解. ② 在等腰Rt△DEF中，求得斜邊EF上的高，進(jìn)一步得到△DEF的面積.

提煉如果兩個(gè)全等三角形有公共頂點(diǎn)，則相互之間可旋轉(zhuǎn)重合，從而將圖形進(jìn)行有目的的割補(bǔ).

（二）利用中點(diǎn)（中線）變換（三角形邊的中點(diǎn)或中線在旋轉(zhuǎn)變換時(shí)經(jīng)常用到）

圖4例3（1997年天津市初三數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）如圖4，D是△ABC的BC邊的中點(diǎn)，過(guò)D作兩條互相垂直的射線，分別交AB于E，交AC于F，求證：BE+CF>EF.

分析題目結(jié)論中的三條線段之間并無(wú)直接的聯(lián)系，要設(shè)法使它們處在同一個(gè)三角形中，進(jìn)而利用三角形的三邊關(guān)系來(lái)完成證明.充分考慮題目中D是中點(diǎn)這一條件，可以把△BDE繞著中點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，得到△CDP，連接FP，由旋轉(zhuǎn)變換可以得到△EDB≌△PDC，再說(shuō)明EF=PF，這樣，在△CPF中，由三角形的三邊關(guān)系，可以得到PC+CF>PF，即BE+CF>EF.

提煉其實(shí)旋轉(zhuǎn)180°，就是中心對(duì)稱變化，這個(gè)輔助線的添加，也可認(rèn)為是倍長(zhǎng)DE.當(dāng)條件中有中點(diǎn)或中線，且條件與結(jié)論之間無(wú)直接關(guān)聯(lián)時(shí)，可以通過(guò)旋轉(zhuǎn)變化來(lái)實(shí)現(xiàn)在已知和結(jié)論之間架設(shè)橋梁的目的.

二、多邊形中的旋轉(zhuǎn)變換

（一）正方形中的變換

圖5例4如圖5，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊BC，CD上的點(diǎn)，且EF=BE+DF.求證：∠EAF=45°

證明將△ABE以點(diǎn)A為中心旋轉(zhuǎn)90°得到△ADE1，從而得證△AEF≌△AE1F，∴∠EAF=∠E1AF=12∠EAE1=45°.

提煉旋轉(zhuǎn)的目的是使BE+DF合二為一成線段E1F，進(jìn)一步尋三角形全等的條件.

（二）任意多形中的旋轉(zhuǎn)變換

圖6例5（2002年江蘇數(shù)學(xué)奧林匹克培訓(xùn)題）如圖6，在凸四邊形中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=DC.求證：BD2=AB2+BC2.

分析結(jié)論中的三條線段應(yīng)是一個(gè)直角三角形的三邊長(zhǎng)，因此，想辦法把BD，AB，BC放在同一個(gè)直角三角形中，是解答本題的關(guān)鍵.連接AC，則△ADC是一個(gè)等邊三角形，將△DCB繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△ACP，于是△DCB≌△ACP，△BCP是等邊三角形，∴∠ABP=90°，由勾股定理得AP2=AB2+BP2.

提煉從結(jié)論發(fā)掘出一條思路——直角三角形，而題中有等邊三角形，于是繞著等邊三角形某一頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)60°，使分散的條件集中起來(lái)，從而使輔助線的添加顯得自然流暢，同時(shí)，也使解題過(guò)程變得簡(jiǎn)捷而有趣.