在構(gòu)建數(shù)學(xué)模型中深化對(duì)知識(shí)本質(zhì)的理解

林雪霖

（長樂市洞江小學(xué)，福建長樂350200）

在構(gòu)建數(shù)學(xué)模型中深化對(duì)知識(shí)本質(zhì)的理解

林雪霖

（長樂市洞江小學(xué)，福建長樂350200）

在小學(xué)階段，數(shù)學(xué)模型的表現(xiàn)形式為一系列的概念系統(tǒng)，算法系統(tǒng)，關(guān)系、定律、公理系統(tǒng)等。模型思想的建立是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。從數(shù)學(xué)教育層面分析，數(shù)學(xué)模型關(guān)注的不僅僅是結(jié)果，更多的是過程。在建模的過程，通過豐富的表象，從特定的生活原型提煉出數(shù)學(xué)問題，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷觀察、操作、對(duì)比、分析等過程，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)數(shù)學(xué)模型，再拓展模型綜合應(yīng)用，以解決生活實(shí)際問題。不僅能使學(xué)生在知識(shí)、技能方面得到培養(yǎng)，更有思想、方法經(jīng)驗(yàn)的積累，集中體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價(jià)值。

數(shù)學(xué)模型；豐富表象；經(jīng)歷過程；拓展應(yīng)用

所謂數(shù)學(xué)模型，就是根據(jù)特定的研究目的，采用形式化的數(shù)學(xué)語言，去抽象、概括地表征所研究對(duì)象的主要特征及其關(guān)系所形成的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)?！敖！钡倪^程就是引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷這個(gè)“火熱”的數(shù)學(xué)思考過程，從而理解教材所呈現(xiàn)出來的“冰冷”的結(jié)果，感悟數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)。然而，模型思想的培養(yǎng)并不能一蹴而就，需要教師們?cè)诮虒W(xué)活動(dòng)中，引導(dǎo)學(xué)生挖掘隱藏在客觀事物背后的數(shù)學(xué)規(guī)律，在解決問題的過程中，不斷調(diào)整、反思、積累屬于學(xué)生自己的“數(shù)學(xué)化”“再創(chuàng)造”，學(xué)會(huì)問題解決與實(shí)踐創(chuàng)新。下面，筆者針對(duì)如何在構(gòu)建數(shù)學(xué)模型中深化對(duì)知識(shí)本質(zhì)的理解，結(jié)合一些具體教學(xué)案例，談?wù)勛约旱乃伎肌?/p>

一、豐富表象，在模型體驗(yàn)中感悟本質(zhì)

數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，不是依賴單純的課堂講解讓學(xué)生去掌握。模型思想作為一種思想要真正使學(xué)生有所感悟需要經(jīng)歷一個(gè)長期的過程。在教學(xué)活動(dòng)中，教師要注意根據(jù)學(xué)生的年齡特征和不同學(xué)段的要求，抓住知識(shí)的本質(zhì)，多側(cè)面、多維度給學(xué)生創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，提供豐富的表象啟發(fā)學(xué)生思考，讓學(xué)生在參與模型體驗(yàn)的同時(shí)，感悟知識(shí)的本質(zhì)，積累思維和實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn)，形成和發(fā)展核心素養(yǎng)。

比如數(shù)的概念，日常生活中使用最多的計(jì)數(shù)方法——十進(jìn)制計(jì)數(shù)法就是表示數(shù)的一個(gè)基本模型，它也是整數(shù)四則單項(xiàng)運(yùn)算的基礎(chǔ)。為了加深對(duì)“十”這個(gè)計(jì)數(shù)單位的體會(huì)，教師們可以設(shè)置一個(gè)比眼力的小游戲，要求：只給2秒鐘的時(shí)間觀察，看誰能快速說出小方塊的個(gè)數(shù)。先出現(xiàn)第一行方塊（見圖1），2秒鐘的時(shí)間很快，學(xué)生根本來不及數(shù)就隱去了。這時(shí)再出現(xiàn)第二行方塊（見圖1），引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)到這樣擺一眼就能看出方塊的個(gè)數(shù)，體驗(yàn)10的作用，突出對(duì)10有需求。這樣讓學(xué)生在第一次認(rèn)識(shí)10的時(shí)候就留下深刻印象。通過這樣的活動(dòng)能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感，夯實(shí)對(duì)“十進(jìn)制計(jì)數(shù)法”模型的體驗(yàn)。

圖1 1個(gè)十

以《100以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)》為例，教學(xué)目標(biāo)除了認(rèn)識(shí)數(shù)的意義（數(shù)學(xué)意義，現(xiàn)實(shí)意義）；還有讀寫：感知十進(jìn)制、位置值。教師們?cè)诮虒W(xué)中要重視引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從現(xiàn)實(shí)情景抽象出數(shù)的過程，讓學(xué)生從量或形的視角，去觀察、把握周圍的現(xiàn)實(shí)事物，深入感知“位值”“數(shù)級(jí)”。如為了體會(huì)“33”這個(gè)數(shù)中兩個(gè)“3”所代表的數(shù)值是不同的，可以設(shè)計(jì)一個(gè)循序漸進(jìn)的過程，建構(gòu)數(shù)概念的模型。先從實(shí)物數(shù)量過渡到符號(hào)表示——畫圈，緊緊抓住“怎樣用符號(hào)（畫圈）表示班級(jí)學(xué)生的人數(shù)”這個(gè)具有生成性和結(jié)構(gòu)性的現(xiàn)實(shí)問題，引導(dǎo)學(xué)生逐步建構(gòu)數(shù)學(xué)圖像語言，即有結(jié)構(gòu)地畫出33個(gè)圈。在畫圖活動(dòng)中，教師讓每一位學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐，在操作中體驗(yàn)、感悟。當(dāng)然這種具體、半形象的教學(xué)情境，只停留在操作表面。接著，在畫47個(gè)圈這一環(huán)節(jié)，教師不再讓學(xué)生實(shí)際動(dòng)手畫，而是要求學(xué)生在頭腦中想象“47個(gè)圈該怎么畫、54根小棒該怎么擺？”當(dāng)學(xué)生在頭腦中形成各種具體表象后，再過渡到借助教學(xué)模型，如計(jì)數(shù)器、方格圖，這些模型、半抽象情境教學(xué)，潛移默化中豐富學(xué)生的數(shù)感，從多個(gè)方面抓住數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，感受位值模型的好處。不僅到第二學(xué)段認(rèn)識(shí)較大的數(shù)能水到渠成，而且這種層次性認(rèn)識(shí)客觀世界的獨(dú)特方式，是每個(gè)社會(huì)公民無論從事何種職業(yè)都不可或缺的基本素養(yǎng)。

二、經(jīng)歷過程，在建模中把握本質(zhì)

現(xiàn)實(shí)生活中有這樣的例子，有人問一個(gè)小學(xué)生：“米是從哪里來的？”小學(xué)生回答：“米是從米缸中來的?！痹诮虒W(xué)中也有類似的例子。反思教師們的教學(xué)，經(jīng)常出現(xiàn)重結(jié)果、輕過程的現(xiàn)象。教師用自己的理智代替學(xué)生的朦朧，不注重學(xué)生探索完善這個(gè)框架的過程，建立模型的前半部分常常是匆匆而過直奔主題。造成的惡果是，學(xué)生對(duì)概念的來源不清楚，對(duì)知識(shí)體系的本質(zhì)不清晰，只知其然，不知所以然，對(duì)知識(shí)的掌握更多是靠記憶，只會(huì)復(fù)制例題，不會(huì)創(chuàng)新應(yīng)用。而模型思想的構(gòu)建過程是一個(gè)極其重要的抽象過程，這也是極富數(shù)學(xué)營養(yǎng)的過程，它有利于創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力的培養(yǎng)，恰好彌補(bǔ)了這個(gè)不足。因此，教師們?cè)诮５倪^程要重視數(shù)學(xué)意識(shí)、數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)思維方式等數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)。大致可分為提取現(xiàn)實(shí)問題——分析數(shù)學(xué)信息——建立模型——求解模型——驗(yàn)證模型——應(yīng)用模型六個(gè)步驟。

以數(shù)學(xué)廣角中的“烙餅問題”為例，教師創(chuàng)設(shè)情境：來客人，一張鍋每次最多烙2張餅，每張餅需要烙兩面，每面需要3分鐘，烙好27張餅最少需要多少分鐘？顯然這是一個(gè)復(fù)雜問題，大多數(shù)學(xué)生會(huì)感到很困擾，無從下手，而解決問題模型不應(yīng)該是教師講給學(xué)生的，而應(yīng)該是讓學(xué)生自己悟出來的。教師就要把自己的思維有意識(shí)地退回與學(xué)生相同的水平上，感受困惑，和學(xué)生一起經(jīng)歷探究模型的過程。最后形成簡化意識(shí)：這個(gè)問題的難點(diǎn)是什么？烙的餅太多了，能不能把這個(gè)問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)簡單的問題呢？烙一張最少需要多少時(shí)間？烙2張？使學(xué)生明確要解決的問題：一共要烙3張餅，怎樣烙花費(fèi)的實(shí)踐最少？先獨(dú)立思考再小組討論交流不同方案。在探索更優(yōu)方案時(shí)，可以這樣啟發(fā)引導(dǎo)：在烙第3張餅時(shí)，本來一次可以烙兩張餅的鍋現(xiàn)在只烙一張，是不是浪費(fèi)時(shí)間了呢？想一想有沒有更好的方案？也可以讓學(xué)生用硬幣、課本、或?qū)懼罢薄胺础眱勺值南鹌げ?、圓片來代表餅，動(dòng)手試一試，并把實(shí)踐結(jié)果記錄下來。在優(yōu)化的過程體會(huì)到省時(shí)的關(guān)鍵在于充分利用了鍋的空間。在教師的組織參與下，學(xué)生從具體的計(jì)算（數(shù)學(xué)思維最顯著的方式）出發(fā)，在計(jì)算的過程中，使學(xué)生感悟運(yùn)算的本質(zhì)（算理），這也是積累最正確的思考問題經(jīng)驗(yàn)的主要途徑之一。最后通過反思交流，得出最少時(shí)間的數(shù)學(xué)模型：偶數(shù)張餅——2張時(shí)間：6分×（張數(shù)÷2），奇數(shù)張餅——3張時(shí)間：9分+6×［（張數(shù)-3）÷2］。像這樣通過把復(fù)雜的問題簡單化、條理化（計(jì)算、分析、推理），達(dá)到直觀化的目的，引導(dǎo)學(xué)生充分經(jīng)歷從數(shù)學(xué)原型到數(shù)學(xué)模型的創(chuàng)造過程。

三、拓展模型，在應(yīng)用中強(qiáng)化本質(zhì)

人類通過數(shù)學(xué)模型搭起了數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界間的橋梁，使數(shù)學(xué)走進(jìn)了生活，產(chǎn)生了巨大的效益。在建模過程中，要引導(dǎo)學(xué)生自覺主動(dòng)地從數(shù)學(xué)的角度探索這一知識(shí)在實(shí)際中的應(yīng)用價(jià)值，拓展模型外延，會(huì)思考問題、解決問題，找出已有知識(shí)與待解決問題的本質(zhì)相同、相似之處，給予學(xué)生充足的時(shí)間、空間來展開聯(lián)想，培養(yǎng)學(xué)生“預(yù)知結(jié)果”和“探究成因”的能力。

以“雞兔同籠”問題模型為例，他的教學(xué)價(jià)值取向是什么呢？回顧這個(gè)教學(xué)過程，學(xué)生剛開始是在一個(gè)朦朧的思維狀態(tài)下憑直覺（畫圖、列表）解決問題，并在這個(gè)過程中感悟運(yùn)算方法的道理。隨著幾個(gè)一類簡單問題的解決，當(dāng)原有的方法及用起來十分不便時(shí)，他們這種直覺的方法有了邏輯，不得不創(chuàng)造新的方法，既先都看作雞畫出來，結(jié)果和給定的條件比較，少了幾條腿，再把少的腿添回去，獲得新的經(jīng)驗(yàn)即假設(shè)法，使雞變成兔抽象出新方法，思維也逐漸地清晰和深刻。通過具體的問題抽象提煉構(gòu)建起相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，再組織學(xué)生應(yīng)用模型解決生活實(shí)際問題，提高數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)。例如解決生活中的問題：（1）小明和媽媽恰好花100元買了10本書，單價(jià)有8元一本和13元一本的兩種，各買了幾本？（2）六年級(jí)參加植樹，男生和女生有36人，其中男生人數(shù)是女生的3倍，男女生各有多少人？（3）六年級(jí)參加植樹，男生和女生有36人，其中男生人數(shù)的是女生人數(shù)的2倍，男女各有幾人？解決這些問題可以嘗試假設(shè)法，就是通過對(duì)原數(shù)學(xué)問題數(shù)據(jù)適當(dāng)?shù)母淖儯u看作兔，或反之），然后根據(jù)題中的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，再根據(jù)計(jì)算所得數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)的差異進(jìn)行修正和還原，最后使原問題得到解決，其本質(zhì)屬于小學(xué)階段常用的一種思想方法——轉(zhuǎn)化。像這樣不斷豐富和拓展模型的外延，是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)最有效的動(dòng)力，能增強(qiáng)學(xué)生的發(fā)散思維能力。

［1］劉勛達(dá).小學(xué)數(shù)學(xué)模型思想及培養(yǎng)策略研究［D］.武漢：華中師范大學(xué)，2013.

［2］魏雪峰，崔光佐.小學(xué)數(shù)學(xué)問題解決認(rèn)知模型研究［J］.電化教育研究.2012（11）.

（責(zé)任編輯：陳志華）

福建省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃2015年度課題“學(xué)本課堂理念下探究性學(xué)習(xí)的策略研究”（項(xiàng)目編號(hào)：FJJK15-351）。